第十七章 小结与复习课件 2022-2023学年人教版数学八年级下册

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小结与复习第十七章 勾股定理回顾整个单元的学习内容，补充知识结构图： 直角三角形 性质 判定 角 边 角 边 勾股定理 勾股定理的逆定理 互逆定理知识结构1. 如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边 为 c，那么_____________.a2 + b2 = c2 在直角三角形中才可以运用2. 勾股定理的应用条件： ___________________________一、勾股定理 3. 勾股定理表达式的常见变形： a2＝c2－b2，b2＝c2－a2， 知识回顾二、勾股定理的逆定理1. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.2. 勾股数3. 原命题与逆命题如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.考点一 勾股定理及其应用例1 Rt△ABC 中，斜边 BC = 2，则 AB2 + AC2 + BC2 的值为 ( ) A. 8 B. 4 C. 6 D. 无法计算 A分析：在 Rt△ABC 中，BC2 = AB2 + AC2AB2 + AC2 + BC2 = 2BC2 = 8考点讲练例2 一直角三角形的三边分别为 2、3、x，那么以 x 为边长的正方形的面积为___________.5 或13 分析：题目没有告诉斜边长，则需要分两种情况讨论：当斜边长为 3 时，以 x 为边长的正方形的面积 = x2， x2 = 32 - 22 = 5；当斜边长为 x 时，以 x 为边长的正方形的面积 = x2， x2 = 32 + 22 = 13.例3 在 O 处的某海防哨所发现在它的北偏东 60° 方向相距 1000 米的 A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的 B 处.(1) 此时快艇航行了多少米？分析：将实际问题转化为几何问题已知： OA = 1000 米，∠AOC = 30°，∠COB = 45° ，AB⊥OC.求解： AB 的长.解：根据题意得∠AOC = 30°，∠COB = 45°，AO = 1000 米.∴ AC = 500 米，BC = OC. 在 Rt△AOC 中，由勾股定理得∴ BC = OC = (米).AB60°45°C已知： OA = 1000 米，∠AOC = 30°，∠COB = 45° ，AB⊥OC.求解： AB 的长.30°(2) 此时快艇距离哨所多少米？解：在 Rt△BOC 中，由勾股定理得AB60°45°C分析：将实际问题转化为几何问题，即求 OB 的长.1. 已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a + b = 14 cm， c = 10 cm，求△ABC 的面积.解：∵ a + b = 14，∴ (a + b)2 = 196.又∵ a2 + b2 = c2 = 100，∴ 2ab = 196 - (a2 + b2) = 96，∴ ab = 24，即△ABC 的面积为 24 cm2．练一练2. 如图，在△ABC 中，AB∶BC∶CA = 3∶4∶5，且周长为 36 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒 2 cm的速度移动，点 Q 从点 C 沿 CB 边向点 B 以每秒1 cm的速度移动，如果同时出发，则过 3 s时，求 PQ 的长．解：设 AB 为 3x cm，BC 为 4x cm，AC 为 5x cm，∵ 周长为 36 cm，即 AB + BC + AC = 36 cm，∴ 3x + 4x + 5x = 36，解得 x = 3.∴ AB = 9 cm，BC = 12 cm，AC = 15 cm.∵ AB2 + BC2 = AC2，∴ △ABC 是直角三角形，过 3 秒时，BP = 9 - 3×2 = 3 (cm)，BQ = 12-1×3 = 9 (cm)，在 Rt△PBQ 中，由勾股定理得解：当高 AD 在△ABC 内部时，如图①.在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴ CD＝9. ∴ BC＝BD＋CD＝25，∴ △ABC 的周长为 25＋20＋15＝60.3. 在△ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 为 BC 边上的高，且AD＝12，求 △ABC 的周长． 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高 AD 在△ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ABC 外的情形.当高 AD 在△ABC 外部时，如图②.同理可得 BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为 7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为 42 或 60.注意例1 判断：满足下列条件的△ABC 是否一定是直角三角形？(一定是的打“√”，不确定的打“×”)( ) (2) ∠A = 35°，∠B = 55°；( ) (3) ∠A = 45°，BC = 5；( ) (4) AB = 8，AC = 17，BC = 15.( ) ×√√×考点二 勾股定理的逆定理及其应用例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 20 cm，BC = 15 cm，CD = 7 cm，AD = 24 cm，∠ABC = 90°．猜想∠BAD 与∠BCD 的关系，并加以证明．分析：连接 AC.20 15 7 24 25 AB = 20 ，BC = 15 ，∠ABC = 90°AC = 25 △ADC 是直角三角形 20 15 7 24 25 例3 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60° 方向以每小时 8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 n mile 的速度前进，2 h 后，甲船到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？AB60°45°C30°解：甲船航行的距离为 BM = 16 (n mile)，乙船航行的距离为 BP = 30 (n mile)．∵162 + 302 = 1156，342 =1156，∴BM2 + BP2 = MP2，∴△MBP 为直角三角形，∴∠MBP = 90° ，∴乙船是沿着南偏东 30° 方向航行的．1. 已知 a，b， c 是△ABC 的三边长，如果，那么△ABC ( )A. 是以 a 为斜边的直角三角形 B. 是以 b 为斜边的直角三角形C. 是以 c 为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形C 练一练2. 如图，在△ABC 中，已知∠A 为钝角，边 AB ，AC的垂直平分线分别交 BC 于点 D，E. 如果 DE2 = BD2 + EC2 ，那么∠A 的度数是_________.135° 3. 写出下列命题的逆命题，并指出这些逆命题的真假. (1) 如果两个角是直角，那么它们相等；(2) 如果两个实数相等，那么它们的平方相等；解：如果两个角相等，那么它们是直角.假命题解：如果两个实数的平方相等，那么它们就相等.假命题 4. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 8，BC = 6， AC = 10， AD = CD = ，求四边形 ABCD 的面积.∴△ ABC 是直角三角形，且∠B 是直角.∴ △ADC 是直角三角形，且∠D 是直角.1. 如图，已知等腰直角三角形 ABC，∠ABC ＝ 90°，AB ＝ 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为腰向外作等腰三角形 ACD. 依次作下去，则第 4 个等腰直角三角形的面积 S4 = _________； 第 10 个等腰直角三角形的面积 S10 = _________；第 n 个等腰直角三角形的面积 Sn = _________.ABC D 拓展延伸D n 2-1 20 21 22 Sn = 2n-2 指数比序号少2