2021-2022学年上海市进才中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市进才中学高一上学期10月月考数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市进才中学高一上学期10月月考数学试题 一、单选题1．己知、、，那么下列命题中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据不等式性质及特例法即可作出判断.【详解】对于A，若，，则，故A错误；对于B，若，，则，故B错误；对于C，若，此时，∴，故C正确；对于D，若取，，则，故D错误．故选：C．2．用反证法证明：“、、、，，，且，则、、、中至少有一个负数”时的假设为（    ）A．、、、中至少有一个正数 B．、、、全为正数C．、、、中至多有一个负数 D．、、、全都大于或等于【答案】D【分析】利用反证法的定义即可得出答案.【详解】反证法的假设为结论的否定，即应假设“a、b、c、d全都大于或等于0”.故选：D．3．设、、是非零实数，式子所有可能取的值组成的集合记为；满足的实数所有可能取的值组成的集合记为；己知，，则是的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】D【分析】讨论、、的符号可求集合，根据子集的概念可求集合，再根据充分、必要条件理解判断.【详解】对于集合，则有：当a，b，c全正时，，当a，b，c两正一负时，，当a，b，c一正两负时，，当a，b，c全负时，，所以，对集合，则有：因为，当，则当，则，即当，则，即所以∵，且则是的非充分非必要条件，故选：D．4．设数集同时满足条件：①中不含元素，0，1，②若，则．则下列结论正确的是（    ）A．集合中至多有2个元素； B．集合中至多有3个元素；C．集合中至少有4个元素； D．集合中有无穷多个元素．【答案】C【分析】根据条件分别进行推理即可得到结论【详解】由，则，所以，所以，所以，若，则无解，因为，所以互不相等，此时集合中含4个元素，所以集合中至少有4个元素，故选：C 二、填空题5．用描述法表示被3除余2的整数集为__________．【答案】【分析】由描述法的格式写出集合：集合中元素即为3的整数倍再加2．【详解】由题意知，要求集合中元素即为3的整数倍再加2，可表示为．故答案为：．6．若全集，则__________．【答案】【分析】根据集合的补集运算求解.【详解】∵∴故答案为：.7．用列举法表示方程组的解集 ___．【答案】【分析】解方程组，并用列举法表示点的集合．【详解】解方程组得，故方程组解的集合为：．故答案为：8．设、，集合，，若，则__________．【答案】【分析】根据列方程组，由此求得的值.【详解】因为a、，集合，，，，所以，解得，．故答案为：9．关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】由题意得，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得：，所以．故答案为：.10．已知，为常数，若的解集是，则的解集是__________．【答案】【分析】由不等式的解集可得且，代入不等式中求解即可.【详解】由题意，不等式解得，∴，，即，则即，解得，所以解集为．故答案为：11．集合有且仅有两个子集，则实数__________．【答案】或【分析】根据集合有且仅有两个子集确定集合元素个数，分类讨论求得的值.【详解】集合中有且仅有一个元素，即方程有且仅有一个根．当时，方程有一根符合要求；当时，，解得，故满足要求的a的值为1或．故答案为：1或12．已知全集，集合，满足，，，则集合__________．【答案】【分析】根据集合间的关系及运算结合题意即可求解集合.【详解】已知，，所以集合A中至少有2，4，6，集合B中没有2，4，6，因为，，所以集合A中没有5，7，9，集合B中有5，7，9，集合A、B中没有0，1，10，综上，集合A中没有5，7，9，1，10，集合B中没有2，4，6，1，10，所以．故答案为：.13．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入．据了解，该企业研发部原有名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，要使这名研发人员的年总投入不低于调整前名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多为__________人．【答案】【分析】根据题干列不等式，解不等式即可.【详解】由题意得，解得，又且，所以调整后的技术人员的人数最多人，故答案为：.14．己知，设集合不为空集，则的取值范围为__________．【答案】【分析】对参数分类讨论不等式的解集问题.【详解】当时，，舍去；当时，由，对应方程的，满足题意，当时，若集合不为空集,，所以，或（舍去）综上，a的取值范围为．故答案为：.15．对于集合，给出如下结论，其中正确的结论的序号是__________．（1）如果，那么（2）如果，那么（3）如果，，那么（4）如果，，那么【答案】（3）【分析】根据集合满足的条件，对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于（1），，，恒有，所以，所以，故（1）错误；对于（2），，，若，则存在x、使得，所以，又和同奇或同偶，若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除，所以，即，故（2）错误；对于（3），，，设，，、；则，那么，故（3）正确；对于（4），，，可设，，、；则，故（4）错误．故正确的是（3）．故答案为：（3）．16．若集合，集合，且中有四个元素，则元素和能被整除的集合的个数为__________．【答案】【分析】根据题意结合子集的概念分析求解.【详解】把集合A中按元素除以3的余数分成三个集合，，，则集合有如下可能：由中的所有元素和一个元素组成，则有3个；由中的所有元素和一个元素组成，则有3个；由中的两个元素和中的两个元素组成，中的两个元素有三种可能：，，中的两个元素有三种可能：，，则有个由中的一个元素、中的一个元素和的两个元素组成，中的两个元素有三种可能：，，则有个所以集合B的个数为故答案为：42 三、解答题17．已知方程的两个实根为，.（1）用含的代数式表示和；（2）若该方程的两个实数根都大于，求实数的取值范围.【答案】（1）），；（2）.【分析】（1）用韦达定理即可求解；（2）结合根的判别式和韦达定理即可解出来.【详解】（1），；（2）方程的两个实数根都大于，，解得所以实数的取值范围是18．关于的不等式的解集为．(1)求解集；(2)集合，若，求．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【分析】（1）不等式可化为，根据与1的关系分类讨论得出解集；（2）根据已知条件求出，然后根据解集端点的大小关系讨论得出结果．【详解】(1)由得，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；(2)若，则，，当时，，；当时，，．19．（1）实数，比较与的大小；（2）证明：是无理数．【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）利用作差法即可比较大小；（2）利用反证法证明即可【详解】（1）因为，所以，所以；（2）假设是有理数，则，其中是互质的整数，则，两边平方得，所以为偶数，设，则即，所以为偶函数，与“是互质的整数”矛盾，所以假设不成立.所以是无理数．20．定义区间、、、的长度均为，其中．(1)求不等式的解集区间的长度；(2)如果数集，都是集合的子集，那么集合，的长度的最小值和最大值分别是多少?(3)已知不等式组的解集构成的各区间的长度和等于，求实数的范围．【答案】(1)(2)长度的最大值为，最小值为；长度的最大值为，最小值为；(3) 【分析】（1）解一元二次不等式即可得到答案；（2）由，得到，的长度，结合，都是集合的子集即可求解；（3）设的解集为C，由于的解集为，长度为6，结合题意可得，然后分，和讨论的解集情况，列出不等式即可求解【详解】(1)由得，所以的解集为，故解集区间的长度为；(2)由，可得到A的长度为，B的长度为，因为，都是集合的子集，所以长度的最大值为，最小值为；长度的最大值为1，最小值为；(3)由即得，此不等式解集长度为6，又不等式组的解集构成的各区间的长度和等于6，设的解集为C，则，由得，当时，，显然成立；当时，，由得或，所以或；当时，，由得即，所以；综上，实数k的范围是21．符号表示不大于的最大整数（），例如：，，．(1)解下列两个方程：，；(2)分别研究当，时，不等式是否成立，并说明理由；(3)求方程的实数解．【答案】(1)，(2)证明见解析(3)答案见解析 【分析】（1）结合题目所给定义解方程即可；（2）由所给定义得到，结合不等式的性质即可求得不等式是否成立；（3）由，将问题转化为关于的不等式组，解出代入方程求解即可.【详解】(1)因为，所以，因为，所以，所以．(2)对任意x，有，当时，成立，因为故当时，不成立，因为故(3)因为，又不是解，所以，所以，解得或，解得或或7或8，分别代入方程得，解得，，，，，，，经检验，这四个值都是原方程的解．