2021-2022学年四川省成都市成都外国语学校高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年四川省成都市成都外国语学校高一上学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省成都市成都外国语学校高一上学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A．{0，1} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【答案】A【分析】利用交集定义直接求解.【详解】∵集合，，∴．故选：A．2．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过函数的定义域以及函数的值域，结合函数的定义判断选项的正误即可．【详解】函数的定义域为，值域为，可知A图象定义域不满足条件；B图象不满足函数的值域；C图象满足题目要求；D图象，根据函数定义可知，对于每一个都有唯一确定的对应，所以不是函数的图象；故选：C．3．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义域、值域和对应关系对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A选项，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不符合题意.B选项，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不符合题意.C选项，，所以两个函数是相同函数，符合题意.D选项，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不符合题意.故选：C4．函数的大致图象是（    ）．A． B．C． D．【答案】C【解析】先利用定义判断函数定义域和对称性，结合对数函数图象和平移变换作出y轴右侧部分图象，再结合对称性即得到函数图象.【详解】函数中，令得定义域为，且，即是偶函数，图象关于y轴对称，当时，，图象可由向右平移一个单位得到（如图所示），再关于y轴对称得到时的图像，即函数图象为选项C中的图象.故选：C.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．已知函数的定义域是，则函数的定义域是(    )A． B． C． D．【答案】C【分析】结合已知条件，利用抽象函数的定义域求法且分式中分母不为0，即可得到的定义域.【详解】由函数的定义域是，结合函数的特征可知， 解得，故函数的定义域为.故选：C.6．奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数为奇函数，可得，即和同号，所以或，再结合函数的大致图象即可求解．【详解】解：在定义域上为奇函数，，，或，由题可知的大致图象如图：∴该不等式的解集为,故选：D.7．已知函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分段函数解析式，可将自变量的值一步一步代入，即可求解.【详解】由题意得，当时，，则.∵当时，∴，即.故选：C.8．已知，则a， b， c的大小关系为（    ）A．c<b<a B．b<c<a C．c<a<b D．a<b<c【答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的性质比较即可【详解】因为，，所以，又因为，故，故选：C.9．国防部新闻发言人在9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”．如图为我空军战机在海面上空绕台巡航．已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（是自然对数的底数，是常数）．根据实验知高空处的大气压强是，则我战机在高空处的大气压强约是（    ）．（结果保留整数）A． B． C． D．【答案】A【分析】由时，，得到，结合指数幂的运算，即可求得高空处的大气压强．【详解】由题意，海面上大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为，当时，，即，所以高空处的大气压强约为．故选：A.10．若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的范围，再由条件判断出的范围，再根据复合函数“同增异减”原则求单调区间．【详解】解：当时，，因为函数在区间内恒有，，函数，由和复合而成，因为时，在上是增函数，所以只要求的单调增区间．的单调递增区间为，的单调增区间为，故选：．11．已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2−x），若函数 y=|x2−2x−3|与y=f（ x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则 A．0 B．m C．2m D．4m【答案】B【详解】试题分析：因为的图像都关于对称，所以它们图像的交点也关于对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为，因此选B.【解析】 函数图像的对称性【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心. 12．已知函数在区间，上都单调递增，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】设的零点为，且，讨论区间范围写出的分段函数形式，讨论参数结合各区间的函数性质判断单调性，根据已知区间的单调性求参数范围即可.【详解】设，其判别式，∴函数一定有两个零点，设的两个零点为，且，由，得，，∴，①当时，在上单调递减或为常函数，从而在不可能单调递增，故；②当时，，故，则，∵在上单调递增，∴在上也单调递增，，，由在和上都单调递增，且函数的图象是连续的，∴在上单调递增，欲使在上单调递增，只需，得，综上：实数的范围是.故选：D.【点睛】关键点点睛：先研究绝对值部分的零点，进而写出的分段函数表达式，再讨论参数a，根据函数性质及已知区间单调性求参数的范围. 二、填空题13．满足的集合有______个.【答案】8【分析】根据题意依次列举即可得答案.【详解】解：因为，所以集合可以为，共8个故答案为：814．已知，，则等于______.【答案】1【分析】利用换元法求出函数的解析式，根据解析式可得，解方程即可求解.【详解】由，∴，∵，∴，解得，故答案为：1.15．已知幂函数在为增函数，则实数的值为___________.【答案】4【分析】根据幂函数的定义和单调性，即可求解.【详解】解：为递增的幂函数，所以，即，解得：，故答案为：416．已知a>1，函数f(x)＝，g(x)＝x＋＋4， 若对于任意的x1∈[1，3]，总存在x2∈[0，3]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则a的取值为__________.【答案】17【分析】先求出f(x)在上的值域和g(x)在上的值域，然后根据题意的值域为的值域的子集，由集合的包含关系列出不等式组求解即可得答案.【详解】解：，函数，即为，由，可得在，上单调递增，所以的值域为，；因为g(x)＝x＋＋4，所以令，则g(t)，由对勾函数单调性知，g(t)在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以g(x)的值域为，因为对于任意的x1[1，3]，总存在x2[0，3]，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以的值域为的值域的子集，即，，，所以，解得，所以．故答案为：17． 三、解答题17．计算求值：（1）.（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用指数幂的运算法则化简可得结果；（2）利用对数的运算性质、换底公式化简可得结果.【详解】（1）原式；（2）,原式.18．已知，（1）若时，求；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用集合的并集定义代入计算即可;（2）求出集合，利用集合包含关系，分类讨论和两种情况，列出关于m的不等式，求解可得答案.【详解】（1）当时，，则即．（2）或，由，可分以下两种情况：①当时，，解得：②当时，利用数轴表示集合，如图由图可知或，解得；综上所述，实数m的取值范围是：或，即【点睛】易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.19．已知函数为奇函数.(1)求实数的值，判断并证明在上的单调性；(2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】(1)，增函数，证明见解析(2) 【分析】（1）由是定义在上的奇函数，可得，从而可得，利用函数单调性的性质即可判断函数的单调性，再根据函数单调性的定义即可证明；（2）利用函数的奇偶性及单调性将原问题等价转化为的解集非空，即在上有解，则由即可得答案.【详解】(1)解：因为是定义在上的奇函数，所以对一切x，都有，令，可得，解得，所以，此时满足，所以函数是奇函数，所以.任取，且，则因为，，，所以，即，所以是上的增函数；(2)解：因为为奇函数，且的解集非空，可得的解集非空，又因为在上单调递增，所以的解集非空，即在上有解，所以，解得，所以实数的取值范围.20．经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．（1）求的函数关系式；（2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．【分析】（1）根据该水果树的单株利润为市场售价单株产量肥料成本其它成本，从而可求出的函数关系式；（2）分两段进行讨论：第一段利用二次函数的性质求出最大值；第二段利用基本不等式求出函数的最大值，最后比较两个最大值即可得结论．【详解】解：（1），所以；（2）当时，，所以当时，取最大值为元，当时，，而，当且仅当即时取等号，所以元，综上，当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．21．已知是定义在集合M上的函数，若区间，且对任意，均有，则称函数在区间D上封闭.（1）判断函数在定义域上是否封闭，并说明理由；（2）若函数在区间上封闭，求实数a的取值范围.【答案】(1) 在定义域上封闭,证明见解析；(2)【分析】(1)换元令,再求解函数的值域与的定义域判定即可.(2)根据定义域为求解函数的值域,再根据值域区间端点满足的关系式求解即可.【详解】(1)函数的定义域是：,令,∴,∴,∴在定义域上封闭；(2) ,由题意得：,即.因为,故.故【点睛】本题主要考查了函数新定义求解参数取值范围与值域的运用等.需要根据题意与函数的性质求解对应的定义域与值域等.属于中档题.22．已知函数（k为常数，）.请在下面四个函数：①  ②  ③  ④中选择一个函数作为，使得是偶函数.（1）请写出表达式，并求k的值；（2）设函数，若方程只有一个解，求a的取值范围.【答案】（1），；（2）或；【分析】(1)根据偶函数的定义依次分析判断四个选项，得到的表达式及k的值；（2）将不等式化简得到，利用换元法得到方程只有一个解，接着对a的取值进行分类讨论求解即可；【详解】（1）因为函数（k为常数，）.若选择①，则，因为，故不是偶函数；若选择②，则，，故不是偶函数；若选择③，则，因为，当时，，故是偶函数；若选择④，则，因为，故不是偶函数；综上：，；（2）若方程只有一个解，即只有一个解，整理得：，令得，因为，所以与同号，当时，，则，所以方程在区间上只有一个解，因为方程对应的二次函数图像是开口向上的，且，，，所以当时方程在区间上只有一个解；当时，，则，所以方程在区间上只有一个解，因为方程对应的二次函数图像是开口向下的，且，，则解得，所以当时，方程在区间上只有一个解；综上：当或时，方程只有一个实根.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．