2021-2022学年四川省峨眉第二中学校高一下学期3月月考数学（理）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年四川省峨眉第二中学校高一下学期3月月考数学（理）试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省峨眉第二中学校高一下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．若，则（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据向量模的坐标表示运算即可.【详解】，.故选：B2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为(　　)A．＋1 B．2＋1C．2 D．2＋2【答案】C【分析】由A与B的度数求出sinA与sinB的值，再由a的值，利用正弦定理即可求出b的值．【详解】由正弦定理可知：，b2，故选C．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理的公式．3．已知，，则（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示可得结果.【详解】由已知可得.故选：B.4．在中，，则一定是（       ）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】由题意结合正弦定理可得到，进而得，由此可判断答案.【详解】由题意，知，根据正弦定理可得：,故，即 ,而 ，故 ,则一定是等边三角形,故选：D5．在 中，若，则角的值为A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【详解】 两边同时除以 得故本题正确答案是 6．在数列冲，已知，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由递推公式先计算，再计算．【详解】因为，，所以，．故选：A．7．已知，，且，的夹角的余弦，则向量在向量上的投影等于（       ）A． B．4 C． D．【答案】D【分析】根据向量在向量上投影的定义求解即可.【详解】因为，且，的夹角的余弦，所以向量在向量上的投影为，故选：D8．若平面四边形ABCD满足：，，则该四边形一定是（       ）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形.【详解】，,所以四边形ABCD为平行四边形，, ，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.故选：B9．若平面向量，，两两所成的角相等，且，，则等于（       ）A．6 B．8 C．2或8 D．6或【答案】C【分析】三个平面向量两两夹角相等，易知夹角大小为或0，再利用向量数量积的运算律有，即可求模.【详解】由题意，平面向量，，的两两夹角相等，可知夹角均为或0，且，，∴当夹角为时，，当夹角为0时，.故选：C10．在中，已知，且，则的形状为（       ）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】由题意,可知,展开并代入原式,可得到,可求出，再由，结合余弦定理可求出A,即可判断出的形状.【详解】由题意,,则,又，则,由可得，即，所以，由，知，综上可知即的形状是等边三角形.故选：B11．在三角形ABC中，，，，则满足这个条件的三角形个数是（       ）个A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【分析】由正弦定理判断．【详解】由正弦定理得，无解．故选：D．12．若，且，则的最大值是．A．1 B． C． D．2【答案】C【详解】由题意,故选C.二、填空题13．在中，，则_________.【答案】【分析】由角的比值结合三角形内角和定理求出角，直接计算正弦值即可得解.【详解】,   ,,故答案为：14．已知数列中，，，则_________.【答案】【分析】由等差数列的通项公式即得．【详解】因为，所以数列是等差数列，公差，又，所以．故答案为：．15．已知正方形ABCD的边长为1，，，，则的模等于____.【答案】【解析】由向量加法法则可求出，从而可求出模.【详解】解：.故答案为: .16．如图，AD是的内角∠BAC的平分线，BE是边AC的中线，且AD与BE交于点O，，，若，，则_________.【答案】【分析】根据角平分线、中线的性质，利用向量的加法、减法、数乘运算化简即可求解.【详解】在中，是角平分线，所以，, 即，在中，AD是角∠BAC的平分线，所以.,   ,又,，即，，故答案为：.三、解答题17．已知，分别是x，y轴上的单位向量，且，．(1)若，求实数k的值；(2)若，求k的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用向量共线的坐标表示计算作答.（2）根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示计算作答.【详解】(1)因，分别是x，y轴上的单位向量，不妨令，的方向分别与x，y轴正方向一致，则由，，得，，又，则有，解得，所以实数k的值是.(2)由（1）知，，，因，则有，解得k=2，所以k的值是2.18．已知数列中，，，.(1)求；(2)判断66是不是该数列中的项?若是，是第几项?(3)当n为何值，有最小值?并求出最小值．【答案】(1)(2)是，第12项(3)当或4时，有最小值，最小值为【分析】（1）由已知求得得，代入易得；（2）解方程可得；（3）结合二次函数性质可得．【详解】(1)由题可知，，解之得p=7，q=6．可得，所以.(2)设数列的第n项为66，则，即，解之得n=12或－5（舍去），所以66是数列的第12项．(3)因为，当n=3或4，最小．此时，故当n=3或4时，有最小值为．19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若，，求b，c的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）由两角和的正弦公式及正弦定理可求出，即可得解；（2）由正弦定理及余弦定理建立方程，求解即可.【详解】(1)由题可知，，即，化简得，即，得.由知.(2)因为，由正弦定理可得，所以，解得，.20．如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以20海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间．【答案】缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时.【分析】在中，由余弦定理求得，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得∠BCD，得，由速度公式可得时间．【详解】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则海里，BD=20t海里．在中，由余弦定理，有则.又，，∴∠ABC=45°，故B点在C点的正东方向上．∴∠CBD=90°+30°=120°，在中，由正弦定理得，，，∴∠BCD=30°，则缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．又在中，∠CBD=120，∠DCB=30°，∴∠CDB=30，.，解得，故缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时．21．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且A为钝角．(1)证明：；(2)求的取值范围．【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】（1）根据正弦定理、同角三角函数间的基本关系及诱导公式即可得证；（2）由（1）可得,再由诱导公式及二倍角的余弦公式化简为，由二次函数的性质可求取值范围.【详解】(1)，，，，因为为钝角， ，因为，均为锐角，故，即.(2)，，.，，，，.当时，取得最大值为，当时取得最小值1，所以时，的取值范围为.22．已知向量，.(1)求证：；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使得，，且，求函数关系式；(3)若，满足时，恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由垂直的坐标表示证明；（2）由可得关系式，从而求得函数式；（3）不等式变形为即在恒成立．令，t>2．分类讨论确定在上的最小值，由最小值大于0可得．【详解】(1)，.(2)，，解之得.(3)由对恒成立，即在恒成立．，∴原不等式可化简为，即在恒成立．令，t>2．当时，即a≤1时，在上单调递增，则恒成立，故a≤1．当2a>2时，即a>1时，函数在上单调递减，在上单调递增，要使在恒成立，即，则，即，解之得，，故有.综上，要使对恒成立，则a的取值范围为.