2021-2022学年新疆乌鲁木齐第101中学高一下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年新疆乌鲁木齐第101中学高一下学期期末考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年新疆乌鲁木齐第101中学高一下学期期末考试数学试题 一、单选题1．已知，，如果，那么（    ）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】A【分析】由可知，，互斥，由概率的加法公式即可得出结果.【详解】∵，∴，互斥，∴.故选：A.2．“某彩票的中奖概率为”意味着（    ）A．买张彩票就一定能中奖 B．买张彩票中一次奖C．买张彩票一次奖也不中 D．购买彩票中奖的可能性是【答案】D【分析】根据概率的意义可得出结论.【详解】由概率的意义可知，“某彩票的中奖概率为”意味着“购买彩票中奖的可能性是”.故选：D.3．已知向量，，则（    ）A． B．8 C．3 D．9【答案】C【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可.【详解】故选：C4．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别频数1213241516137 则样本数据落在上的频率为（    ）A．0.42 B．0.39 C．0.52 D．0.64【答案】D【分析】由频数分布表可直接计算求得结果．【详解】由频数分布表知：样本数据落在内的频率为.故选：D．5．抛掷2枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”；下列结论正确的是（    ）A． B．与互斥C．与相等 D．与是对立事件【答案】A【分析】根据事件发生的结果，仔细辨别对立事件、互斥事件和相等事件即可.【详解】A选项，因为，所以，故A选项正确；B选项，事件与可以同时发生，所以与不是互斥事件，故B选项错误；C选项，事件与可以同时发生，也可能不同时发生，所以与不相等，故C选项错误；D选项，事件与可以同时发生，所以与不是对立事件，故D选项错误；故选：A.6．如图：在长方体中，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列向量是平面的一个法向量的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由图中空间直角坐标系求得，，设平面的一个法向量的是，利用解出即可.【详解】由题意得，，，，，设平面的一个法向量的是，由，令，则，，∴平面的一个法向量的是.故选：D7．某城市抽样了户居民月均用水量（单位：），并作出频率分布表分组频数频率 估计百分位数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据频率可计算知所求百分位数位于，由百分位数的计算方法可求得结果.【详解】，，百分位数位于，则百分位数为.故选：C.8．由于夏季某小区用电量过大，据统计一般一天停电的概率为0.2，现在用数据0，9表示停电；用1、2、3、4、5、6、7、8表示当天不停电，（那么使用随机模拟方法得到以下30个数据），38  21  79  14  56            74  06  89  53  90            14  57  62  30  9378  63  44  71  28            67  03  53  82  47            63  10  94  29  43那连续两天中恰好有一天停电的概率为（    ）A．0.260 B．0.300 C．0.320 D．0.333【答案】B【分析】由列举法结合古典概型的概率公式求解即可【详解】连续两天中恰好有一天停电的情况有：79  06  89   30  93  03  10  94  29 共9种，所以连续两天中恰好有一天停电的概率为，故选：B9．已知为直线的方向向量，，是平面，的法向量（，是不同平面），那么下列说法正确的个数有（    ）①②③④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据法向量与方向向量的定义判断即可.【详解】解：因为为直线的方向向量，，是平面，的法向量（，是不同平面），若，则，由于不确定直线是否在平面内，当直线不在平面内，则，故①错误；若，则，故②正确；若，则，故③正确；若，即也是平面的法向量，所以，故④错误；故选：B10．已知一组数据的平均数为2，方差为1；则的平均数和方差分别为（    ）A．2，1 B．8，3 C．8，5 D．8，9【答案】D【分析】根据平均数和方差的性质求解即可.【详解】因为数据的平均数为2，方差为1；所以的平均数为6，方差，所以的平均数为8，,方差.故选：D11．如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（      ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.【详解】由题意得：，故选：A12．概率论起源于16-17世纪对赌博问题的研究，概率的要义在17世纪中叶由法国数学家帕斯卡与费马的讨论才明确．当时有个叫梅罗骑士因赌注分配的问题写信求教于帕斯卡．背景：“甲乙两人赌注共有144收金，赌局分为五局三胜制，谁先赢得3局，即可获得全部赌注，现已知在甲获得2局胜乙获得1局胜利时，因某种原因赌局被中止了，给甲乙俩人怎样分配赌注才合理"，已知甲乙每局获胜的概率均为0.5，且每局输赢相互独立．你认为乙应该获得多少妆金才合理（    ）A．24 B．36 C．48 D．72【答案】B【分析】根据题意计算出乙胜出的概率，从而可求出乙应该获得的妆金.【详解】因为甲获得2局胜乙获得1局胜利，所以根据题意可知乙第四五局均胜，乙才能胜出，因为甲乙每局获胜的概率均为0.5，所以乙胜出的概率为，所以乙应该获得的妆金为，故选：B 二、填空题13．已知空间向量，，若，则___________．【答案】-2【分析】由向量共线，列出坐标满足的关系式，解出x的值.【详解】因为，所以，又因为，，所以，解得，.故答案为：-2.14．某心理学机构为研究血型与人的气质类型，已知血型型的人分别有 人，若要按分层抽样得到一个72人的样本，则样本中O型血的人数为___________．【答案】24【分析】根据分层抽样的比例可得血型为型的人所占比例，由此即可求得答案.【详解】由题意可得血型型的人分别有人，要按分层抽样得到一个72人的样本，则样本中O型血的人数为（人），故答案为：2415．箱子内有大小相同的六个小球，有一个标号1点，两个标号2点，三个标号3点，现从中一次性任取出2个，两个标号之和大于5点的概率为____________．【答案】0.2【分析】先写出所有的组合，然后找出两个标号之和大于5点的组合，求概率即可.【详解】假设标号1点的一个为，标号2点的两个为，标号3点的三个为，则任意取出两个的组合有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种；两个标号之和大于5点的有，，共三种，所以两个标号之和大于5点的概率为.故答案为：16．如图二面角的大小为，其中，，，，，，，求的长____________．【答案】【分析】在平面内作且，根据二面角平面角定义可知，由线面垂直的判定和平行关系可得平面，从而得到；利用余弦定理可求得，根据勾股定理可求得结果.【详解】在平面内作且，连接，，，四边形为平行四边形，，，又，，即为二面角的平面角，；，，，平面，平面，又，平面，平面，；，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中两点间距离的求解问题，解题关键是能够根据二面角平面角的定义，通过垂直关系确定二面角的平面角，从而利用解三角形的知识求得所需的线段长度. 三、解答题17．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某此数学考试成绩（卷面100分），得到了样本的频率分布直方图（如图）．一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀．(1)根据频率分布直方图，估计3000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数．(2)依据以上样本的频率分布直方图，估计总体成绩的众数和平均数．【答案】(1)840人(2)众数为75，平均数71.2. 【分析】（1）由样本的频率分布直方图求出成绩大于等于80分的频率，再乘以总人数即可；（2）由样本的频率分布直方图看出众数为75，利用每一个小矩形面积乘以区间中点的横坐标求和即可求出平均数.【详解】（1）由样本的频率分布直方图可知：在该次数学考试中成绩优秀的频率是，则3000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数为人.（2）由样本的频率分布直方图可知：总体成绩的众数为，平均数为所以总体成绩的众数为75，平均数71.2.18．已知箱子内有张大小相同的卡片，其中张金卡，张银卡，从中不放回地依次随机抽取张，求下列事件的概率(1)“第二次抽到金卡”(2)“至少抽到一次金卡”【答案】(1)(2) 【分析】用列举法写出基本事件空间，利用古典概型公式直接得解.【详解】（1）将张金卡编号为，，张银卡编号为，，，，从中不放回地依次随机抽取张，所有的可能有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，其中满足事件的有，，，，，，，，，，共种，所以；（2）满足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，所有.19．为参加数学选拔赛，某校对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下：理科：80  79  81  79  94  92  85  90文科：94  80  90  81  73  84  90  80(1)计算出理科、文科两组同学成绩的平均数；(2)通过计算理科、文科两组同学成绩的方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥更好．[备注：方差]【答案】(1)理科的平均数为85；文科的平均数为84；(2)理科同学发挥的更好些. 【分析】(1)根据平均数的定义计算即可；(2)计算出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小，方差小的组发挥就更稳定.【详解】（1）解：设理科的平均数为，文科的平均数为，则有，；（2）解：设理科的方差为，文科的方差为，则有=33.5，=41.75，因为，所以理科同学发挥的更好些.20．在直三棱柱中，，D是AB中点，．(1)求异面直线与所成角的大小；(2)证明：平面．【答案】(1).(2)证明见解析. 【分析】（1）通过作辅助线，连接交于O点，作出异面直线与所成角或其补角，根据直三棱柱的特征和已知条件求得相关线段长，可推得，即得答案;（2）根据线面平行的判定定理即可证明结论.【详解】（1）直三棱柱中,连接交于O点，由于是矩形，故O为的中点，又D是AB中点，故为的中位线，所以,则即为异面直线与所成角或其补角，因为，则,因为，则, ,由直三棱柱可知平面,平面,故,,故，则有,即，所以异面直线与所成角为.（2）由（1）知，平面，平面，故平面.21．工艺厂准备烧制甲、乙两件不同的工艺品，制作过程必须先后经过2次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙两件产品合格的概率依次为0.6，0.75，经过第二次烧制后，甲、乙两件产品合格的概率依次为0.5，0.4．(1)求第一次烧制后至少有一件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求时的概率值．【答案】(1)0.9(2)0.42 【分析】（1）利用对立事件求概率即可；（2）的含义是经过两次烧制后，恰有1个产品是合格品，分别求出两件工艺品经过两次烧制后合格的概率，即可得出结论.【详解】（1）设事件：甲工艺品第一次烧制后合格，事件：乙工艺品第一次烧制后合格，事件：第一次烧制后至少有一件产品合格，则，，即第一次烧制后至少有一件产品合格的概率为.（2）当时，即经过两次烧制后，恰有1个产品是合格品，甲工艺品两次烧制后合格的概率为，乙工艺品两次烧制后合格的概率为，则经过两次烧制后，恰有1个产品是合格品的概率为:.故时的概率.22．如图，四面体中，，，，E为AC的中点，且平面平面，若，．(1)证明：；(2)点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)； 【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合线面垂直的判定定理，得到平面，最后即可证明；（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，再根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.【详解】（1）因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，，所以平面，因为平面，所以，.（2）连接，由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小过作，垂足为，在中，，解得，所以，得，，因为，所以，又因为，所以是等边三角形，因为E为的中点，所以，，因为，所以,在中，，所以，又由（1）得，，所以，面，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，由，得到，又因为为中点，则， 由此可得，，，则，由图可得，平面的一个法向量为，所以，，设与平面所成的角的正弦值为，所以，所以与平面所成的角的正弦值为.