2021-2022学年浙江省“9 1”高中联盟高一下学期期中数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年浙江省“9 1”高中联盟高一下学期期中数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省“9+1”高中联盟高一下学期期中数学试题 一、单选题1．已知复数满足，i是虚数单位，则是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的除法运算法则直接计算.【详解】.故选：C.2．已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量共线定理可得存在唯一实数，使得，列出方程组，解之即可得解.【详解】解：因为与平行，所以存在实数，使得，即，又为不共线，所以，解得.故选：B.3．已知的面积为，下图是的直观图，已知，，过作轴于，则的长为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形直观图面积和原图面积之间的关系，结合题意，即可容易求得.【详解】设三角形直观图的面积为，显然，又，解得.故选：4．如图是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成.其中，圆锥的底面和球的直径都是0.6m，圆锥的高是0.4m.要对这个台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶200克，则共需胶（    ）克.A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圆锥的侧面积和半球面的表面积后，然后乘以200即可．【详解】由题意圆锥的母线长为，所以台灯表面积为，需胶重量为（克）．故选：B．5．已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由知，为直角三角形；根据在上的投影向量为计算.【详解】设的中点为，则，所以，所以外心与中点重合，故为直角三角形.设，则，，，设为方向上的单位向量，则 在上的投影向量为.故选：C.6．若，则=（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函数关系，结合正弦的二倍角公式，带值计算即可.【详解】.故选：D.7．在△中，内角的对边分别是，且，则等于（    ）A．1 B． C．3 D．【答案】A【分析】根据正弦定理，结合已知条件，即可容易求得结果.【详解】在三角形中，由正弦定理可得：.故选：A.8．在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中点为，结合极化恒等式以及余弦定理，即可求得结果.【详解】根据题意，连接，取中点为，作图如下：，在三角形中，由余弦定理可得：，即，则，故，显然当且仅当时，取得最小值，故，的最小值为.即的最小值为.故选： 二、多选题9．函数图象与轴交于点，且为该图像最高点，则（    ）A．B．的一个对称中心为C．函数图像向右平移个单位可得图象D．是函数的一条对称轴【答案】AB【分析】利用待定系数法分别求出，注意，从而可求出函数的解析式，再利用代入检验法结合正弦函数的对称性即可判断BD；根据平移变换的原则即可判断C.【详解】解：因为为该图像最高点，所以，又函数的图象与轴交于点，则，又，所以，则，则，所以，由图可知，所以，所以，所以，故A正确；对于B，因为，所以的一个对称中心为，故B正确；对于C，函数图像向右平移个单位可得图象，故C错误；对于D，不是最值，所以不是函数的一条对称轴，故D错误.故选：AB.10．已知的内角的对边分别是，，，则下列正确的是（    ）A．若，则有二解B．若有解，则的范围为C．若，，则的长度为D．若是的中点，是的中点，那么的取值范围【答案】BCD【分析】对选项A与B：可用余弦定理转化为二次方程解的个数问题;对选项C与D：可用，分别表示 ，，，长度问题转化向量模长解决.【详解】对选项A：在中，由余弦定理可知，，即，整理可得:，即，则，故选项A错误；对选项B：在中，由余弦定理可知，，设，即，整理可得:，因为有解，方程需有正解，所以且，解得，即，因为，则，故选项B正确；对选项C：.因为，所以所以，所以，所以选项C正确.对选项D：因为为的中点，所以，因为为的中点，所以，设，因为，所以，则，因为函数是增函数，所以，故选项D是正确的.故选：BCD.11．设均为单位向量，对任意的实数有恒成立，则（    ）A．与的夹角为 B．C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BD【分析】根据已知条件求得的夹角以及数量积，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择.【详解】对：设的夹角为，，两边平方可得：，即对任意的恒成立，故可得：，即，则，又，故，故错误；对：，故正确；对：，当且仅当时取得等号，故错误；对：，对，当且仅当时取得最小值，故的最小值为，故正确.故选：.12．已知正方体的棱长为，分别为棱的中点，点为内（包括边界）的一个动点，则下列结论正确的是（    ）A．对于任意点，直线与直线为异面直线B．线段长的最小值为C．三棱锥的体积为定值D．三棱锥外接球的表面积最大值为【答案】ACD【分析】结合图象可判断A；取的中点，连接，计算可判断B；连接，因为分别为棱的中点，由正方体的结构特征结合线面垂直的判定定理，可得平面，且平面，平面平面，由此可判断CD【详解】对于A：由图象易知四点不可能共面，所以直线与直线为异面直线是异面直线，故A正确；对于B：取的中点，连接，则易知， 此时，故B错误；对于C：连接，因为分别为棱的中点，由正方体的结构特征结合线面垂直的判定定理，可得平面，且平面，平面平面，且与和的交点分别为，且分别为和的中心，为内（包括边界）的一个动点，所以点到平面的距离为，又因为的面积与都为定值，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；对于D：又C可知三棱锥外接球的球心必在上，其中的外接圆为球的一个小圆，且为定圆，当过点的球与所在平面相切于中心时，此时球的半径最小，根据运动的思想，可得当点与或或重合时，此时外接球的半径最大，设此时外接球的半径为，由正方体的棱长为1，可得，连接，在等边中，由，可得，在等边中，由，可得，则，设，则，在直角三角形中，有，在直角三角形中，有，所以，解得，所以，所以最大外接球的表面积为，故D正确；故选：ACD 三、填空题13．关于的实系数方程的一个虚根为，i为虚数单位，则实数______.【答案】5【分析】将虚根代入方程，根据复数相等列出等量关系，即可求得结果.【详解】根据题意可得：，即，故，且，解得.故答案为：.14．鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则该鲁洛克斯三角形的面积为______.【答案】【分析】由弧长公式可求得等边的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.【详解】解：由题意可知，设，则弧的长度为，所以，设弧所对的扇形的面积为，，则该鲁洛克斯三角形的面积为.故答案为：.15．已知一个健身球放在房屋的墙角处，紧靠墙面和地面，即健身球与围成墙角的三个两两互相垂直的面都相切，若球的体积是，则墙角顶点到球面的点的最近距离为______.【答案】【分析】根据球体的体积公式，结合题意，即可容易求得结果.【详解】根据题意，作图如下：设墙角顶点为，球心为，该球与墙面的切点分别为，设球体的半径为，因为其体积为，则，解得，又因为，解得，墙角顶点到球面的点的最近距离为.故答案为：.16．已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的最大值是______.【答案】【分析】根据题意做出几何图形，结合平面向量的基本知识以及正弦定理，数形结合即可求解.【详解】根据题意，作图如下：令，根据题意可得：，且，取中点为，故，点在以为直径的圆上运动；显然当三点共线时，取得最大值，即；不妨设三角形的外接圆圆心为，显然，在三角形中，由正弦定理可得：，即，故，当且仅当时取得，同时；显然当三点共线时，取得最大值，此时故，当且仅当，且四点共线时取得.故答案为：.【点睛】关键点点睛：问题的关键点是能够充分的进行数形结合结合圆的知识求解. 四、解答题17．如图，在五棱柱中，侧棱垂直于底面，，，AE⊥AB，，AA1=3，过点作截面AB1D1E.(1)求直三棱柱的表面积；(2)求多面体的体积.【答案】(1)(2)12 【分析】（1）根据多面体的表面积公式计算即可；（2）分别求出直三棱柱的体积和直五棱柱的体积，然后相减即可得解.【详解】（1）解：由题意得：，直三棱柱的表面积为；（2）解：直三棱柱的体积为，如图，在五边形中，连接，因为，且，AE⊥AB，所以四边形为矩形，则，所以在中，边上的高为，所以五边形的面积为，直五棱柱的体积为，所以多面体的体积为.18．已知函数(1)求的最小正周期和单调增区间；(2)当时，，求.【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为(2) 【分析】（1）先化简，再由周期公式可得周期，由可解得递增区间；（2）由可得，进而得，则，即可求解【详解】（1）因为，所以的最小正周期为，由，得；所以单调递增区间为.（2）因为，所以，即，又，则，又，则，那么，从而.19．在△中，内角对应的边分别为，请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题：(1)求角的大小；(2)已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求△的面积.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据正余弦定理，结合不同的选择，进行边角转化，即可求得结果；（2）根据余弦定理求得，结合三角形面积公式，即可求得结果.【详解】（1）选①，因为，所以，得，即，由正弦定理得：，因为，所以()，所以．选②，因为，所以，()得，即，，所以()，所以．选③，因为，所以，，，，，，即，因为，所以，所以．（2）在△中，由余弦定理，则，那么；由角平分线定理,则,那么.20．已知向量，，，，.若与垂直.(1)求的值及与之间的夹角；(2)设，求的取值范围.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由与垂直，可得，即可求出的值；设与之间的夹角为，先求出的坐标，再代入，即可得出答案；（2）将坐标代入，可表示出，再代入化简结合三角函数的性质即可得出答案.【详解】（1）由化简得：，因为，，所以，，则，则因为，解得，因为，则；设与之间的夹角为则，因为，故.（2）由得：，即，，.则，所以.21．如图，在点处有一座灯塔，是一条直的海岸线，已知，，从灯塔处射出的灯光照到线段上的线段，、是线段（含端点）上的动点，在转动灯光的过程中，始终保持不变.(1)当时，求被灯光照到的区域的面积；(2)求海岸线上被照到的线段长的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）分别利用正弦定理求得，再根据三角形得面积公式即可得解；（2）设A到EF的距离为，根据可求得，从而可得EF的最小值即为面积的最小值，设，，分别利用正弦定理求得，再根据三角形得面积公式结合三角恒等变换求得面积的最小值，从而可得出答案.【详解】（1）解：在中，，由正弦定理，得，所以，在中，，由正弦定理，得，所以，所以；（2）解：设A到EF的距离为，由，得，所以EF的最小值即为面积的最小值，设，，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，，当且仅当时，取“”，当面积最小时，由，得，所以线段的最小值为.22．在△中，已知，，，设点为边上一点，点为线段延长线上的一点，且.(1)当且是边上的中点时，设与交于点，求线段的长；(2)若，求的最小值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据点是三角形的重心，结合三角形重心的向量表示以及数量级运算，即可求得结果；（2）设，根据平面向量的线性运算结合题意，求得与的关系，再求得关于的函数关系，求该函数的最小值即可.【详解】（1）设，，当，是的中点时，则是△的重心，,.（2）设，则，，由，得：.∴，因为，，所以，，令，则当且仅当时取到等号，所以的最大值是又，在上单调递减，所以.故的最小值为.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的线性运算以及数量积运算，解决问题的关键是充分掌握三角形重心的向量表示，以及根据题意，建立参数与的对应关系，求函数的最值，属综合困难题.