2022-2023学年安徽省安庆市桐城中学高一上学期第一次月考数学试题

2022-2023高一年级上学期桐城中学第一次月考

数学试卷

一、选择题（共8小题）

1．下列各组函数是同一个函数的是（    ）

A．与        B．与

C．与        D．与

2．集合的真子集个数为（    ）

A．3     B．4     C．7     D．8

3．已知，，，则（    ）

A．     B．   C．   D．

4．不等式的解集为（    ）

A．    B．    C．    D．

5．使函数满足：对任意的，都有的充分不必要条件为（    ）

A．         B．

C．         D．

6．《九章算术》中有“勾股客方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ）

A．由图1和图2面积相等得

B．由可得

C．由可得

D．由可得

7．已知是关于x的方程的两根，下列结论一定正确的是（    ）

A．    B．   C．    D．，

8．对任意，存在，使得不等式成立，则实数a的最大值为（    ）

A．2     B．5     C．4     D．3

二．多选题（共4小题）

9．设集合，，则（    ）

A．    B．   C．    D．

10．已知不等式恒成立，，不等式，则下列说法正确的是（    ）

A．p的否定是：，不等式

B．q的否定是：，不等式

C．p为真命题时，

D．q为假命题时，

11．已知，，且，则（    ）

A．的最大值为        B．的最小值为9

C．的最小值为       D．的最大值为2

12．下列叙述中正确的是（    ）

A．若，则“”的充要条件是“”

B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

C．若，则“对恒成立”的充要条件是“”

D．“”是“”的充分不必要条件

三．填空题（共4小题）

13．已知，则的解析式为__________．

14．设，则的最小值为__________．

15．已知命题“，使”是假命题，其实数m的取值为集合A，设不等式的解集为集合B，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围为__________．

16．设a、b、c是三个正实数，且，则的最大值为__________．

四．解答题（共6小题）

17．已知；；若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

18．已知，，

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）试用函数单调性定义证明：在上单调递增．

19．已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若时，恒成立，求a的取值范围．

20．已知正实数a、b满足．

（1）求的最小值；

（2）求的最小值；

（3）求的最小值．

21．某展览馆用同种规格的木条制作如图所示的展示框，其内框与外框均为矩形，并用木条相互连结，连结木条与所连框边均垂直．水平方向的连结木条长均为，竖直方向的连结木条长均为，内框矩形的面积为．（不计木料的粗细与接头处损耗）

（1）如何设计外框的长与宽，才能使外框矩形面积最小？

（2）如何设计外框的长与宽，才能使制作整个展示框所用木条最少？

22．已知函数．

（1）若值域为，且关于对称，求的解析式；

（2）若的值域为，

①当时，求b的值；

②求b关于a的函数关系．

2022-2023高一年级上学期桐城中学第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题）

1．【解答】解：对于A，的定义域是，的定义域是R，∴与不是同一函数，故A错误；

对于B，与对应关系相同，定义域都是R，∴与是同一函数，故B正确；

对于C，的定义域是，的定义域是R，∴与不是同一函数，故C错误；

对于D， ，当时，与对应关系不同，

∴与不是同一函数，故D错误．

故选：B．

2．【解答】解：∵集合，

∴真子集的个数是：个，

故选：C．

3．【解答】解：∵，，，

∴，

∴，

∴，

故选：D．

4．【解答】解：，整理得，

即，即，

故，

由于，

所以

故选：A．

5．【解答】解：∵当时，在上递减，在递减，

且，∴在上递减，若，在上递减，

在上递增，，，∴任意，都有，

即对任意的，都有的等价条件是或，

则对应的充分不必要条件是或，故选：B．

6．【解答】解：对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错，

对于B，因为，所以，所以，，

因为，所以，整理得，故B错，

对于C，因为D是斜边的中点，所以，因为，所以，整理得，故C正确，

对于D，因为，所以，整理得，故D错误，

故选：C．

7．【解答】解：由，是关于x的方程的两根，可得，，

所以，与异号，又恒成立，即a取任意值，且与不等，

故选：A．

8．【解答】解：由，得，

当时，取得最小值，

所以．

因为，所以．

因为函数在上单调递增，所以的最大值为，

所以实数a的最大值为3．

故选：D．

二．多选题（共4小题）

（多选）9．【解答】解：∵集合，

，

∴．

故选：BD．

（多选）10．【解答】解：因为不等式恒成立为全称命题，

所以p的否定是：，不等式，A正确；

，不等式为特称命题，q的否定是：，不等式，B错误；

若p为真命题，则，解得，C正确；

q为假时，则，不等式恒成立为真，

则在时恒成立，

因为，当且仅当时取等号，

故，D正确．

故选：ACD．

（多选）11．【解答】解：∵a，b均为正数，且，

∴由基本不等式可得，，解得，

当且仅当，即，时等号成立，故A选项错误；

，当且仅当即时，等号成立，故B选项正确；

∵，∴，

结合二次函数的性质可知，，故C选项正确；

，故D错误．

故选：BC．

（多选）12． 【解答】解：对于A：若，则“”是“”的充分不必要条件，故A错误；

对于B：“方程有一个正根和一个负根”则，整理得，

则“”是“”的必要不充分条件，故B正确；

对于C：若，则对于一元二次不等式，

当时，“对恒成立”的充要条件是“”故C错误；

对于D：当“”时“”成立，

当“”时，“或”，故“”是“”的充分不必要条件，故D正确．

故选：BD．

三．填空题（共4小题）

13．．【解答】解：因为，

所以，

联立可得，．

故答案为：．

14．【解答】解：由，可得，

可令，

即，

则

当且仅当，即，取得最小值．

故答案为：．

15．【解答】解：由命题“，使”是假命题，

知命题“，使”是真命题，

所以，解得，

所以，

因为是的充分不必要条件，所以AB，

设，则，即，解得或，

所以实数a的取值范围为．

故答案为：．

16．【解答】解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

解法一：设，则，；

∴，

当且仅当时成立；

∴的最大值为3．

解法二：由，得，

∴；

设，则，

所以，

当且仅当时取等号，

∴，

即的最大值为3．

故答案为：3．

四．解答题（共6小题）

17．【解答】解：由，得．

∴，

又，

∵q是p的必要不充分条件，且，∴AB．

∴，即，

∴m的取值范围是．

18．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，

解得，

∴；

（Ⅱ）证明：设，

则，

由，得，，，

∴，即，即有，

故在上单调递增．

19．【解答】解：（1）若，，即

即

所以…（6分）

（2）解：，

即在时恒成立，…（8分）

令，等价于在时恒成立，…（10分）

所以，当且仅当，即时，取等号；

所以．…（12分）

故所求a的取值范围是．…（13分）

20．【解答】解：，即，，，，，

（1）因为a、b是正实数，

所以，

当且仅当时等号成立，

故的最小值为4；

（2）因为，，所以，，

则，

当且仅当，时等号成立，

故的最小值为25；

（3）因为，，，

所以当且仅当，时等号成立，

故的最小值为．

21．【解答】解：（1）设展示框外框的长为，宽为，则内框长为，宽为，由题意，，因为内框的面积为，所以（，所以，外框面积为，因为，所以，所以，当且仅当即时等号成立，

所以外框的长与宽分别是，时，才能使外框矩形面积最小；

（2）由（1）可知，所用木条的总长度为，当且仅当即，时等号成立；

所以外框的长与宽分别是，时，才能使制作整个展示框所用木条最少

22． 【解答】解：函数的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增．

（1）因为恒成立，

所以的对称轴是，故，

因为值域为，可得，解得，

所以．

（2）①，设，

则，，

当，即时，的最小值，舍去；

当时，的最小值，

解得（舍）或，

综上所述，．

②，记，

设，，

若，，所以；

反之，若，只能，

否则若，则与最小值为0矛盾．

若，则与最小值为0矛盾．

故时，，即．

若，由上述解答过程知（否则由），

在上单调递增，，

所以，，

所以（若，则与矛盾），

所以，即．

综上所述， ．