2022-2023学年北京市通州区高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市通州区高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合,那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出集合,通过集合中的元素和集合之间的关系选出答案.

【详解】解:由题知, ,

所以,,

故选:A

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意要使函数有意义，则，解之即可.

【详解】要使函数有意义，则， ，，

故函数的定义域为：

故选：C

3．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据基本初等函数的单调性及单调性的定义判断．

【详解】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，，为反比例函数，在区间上为减函数，不符合题意；

对于B，，为幂函数，区间上为增函数，符合题意；

对于C，，为指数函数，在区间上为减函数，不符合题意；

对于D，，在区间上为减函数，不符合题意；

故选：B.

4．下列函数中与函数是同一个函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数定义域和对应法则相等即可判断是相等函数.

【详解】函数的定义域，值域，

对于A，中，，A错误；

对于B，，B错误；

对于C，，，C错误；

对于D，当时，，当时，，

与函数是同一个函数，D正确.

故选：D

5．已知幂函数的图象过点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据幂函数过点得到幂函数解析式，然后求即可.

【详解】设幂函数的解析式为，将代入，得，解得，所以，.

故选：B.

6．下列命题中为真命题的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据不等式的情况，分别判断各选项.

【详解】A选项：当时，，故A选项错误；

B选项：由于恒成立，故B选项错误；

C选项，D选项：由恒成立，所以，正确，C选项正确，D选项错误；

故选：C.

7．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.

【详解】当时，；当时，，不一定，所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

8．某商品自上市后前两年价格每年递增，第三年价格下降了，则第三年降价后与上市时价格相比，变化情况是（    ）

A．下降了 B．增加了

C．下降了 D．增加了

【答案】C

【分析】前两年的价格按照等比数列计算，第三年的价格按照百分数单位一计算.

【详解】设上市时的价格为x，则由题意：第二年的价格为 ，第三年的价格为 ，

，所以是下降了 ；

故选：C.

9．已知，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数与幂函数的单调性比大小.

【详解】由，，又函数在是上单调递增，

所以，即，

又，，且函数在上单调递增，

所以，即，

综上所述，

故选：B.

10．若函数是定义在上的奇函数，且在区间上，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据奇函数的性质，利用分类讨论法进行求解即可.

【详解】当时，；

当时，，

，

而，所以，

因为函数是定义在上的奇函数，所以，显然不成立，

综上所述：不等式的解集是，

故选：D

【点睛】关键点睛：利用奇函数的性质分类讨论是解题的关键.

二、填空题

11．命题“，”的否定是__________.

【答案】，

【分析】根据命题的否定的概念直接可得.

【详解】，的否定时，，

故答案为：，.

12．设全集，，，则__________.

【答案】

【分析】首先用列举法表示出全集，再根据补集、交集的定义计算可得.

【详解】解：因为，又，，

所以，所以；

故答案为：

13．不等式的解集为__________.

【答案】.

【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得原不等式的解集.

【详解】由，得，从而解得，

所以，不等式的解集为，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

14．已知函数，则函数在区间内的最小值是__________.

【答案】

【分析】根据基本不等式进行求解即可.

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当取等号，即当时，函数有最小值，

故答案为：

三、双空题

15．为了方便居民购买新鲜、安全、价廉的蔬菜，某社区搭建从“菜园子”到“菜篮子”的直通车，建起多家“社区直销店”，不仅便利了居民生活，也提高了农民收入.某“社区直销店”第一天直销蔬菜种，第二天直销蔬菜种，第三天直销蔬菜种.其中，前两天直销的蔬菜中有种相同，后两天直销的蔬菜中有种相同.第一天直销但第二天没直销的蔬菜有__________种，这三天直销的蔬菜最少有__________种.

【答案】     16     29

【分析】首先用图表示三天直销蔬菜品种的集合，根据图表示每部分集合的个数，即可求解.

【详解】设分别表示第一天，第二天，第三天直销蔬菜品种所组成的集合，三天中直销相同的蔬菜有种，第一天与第三天直销的蔬菜有种相同，

依题意可得如下的图，

第一天直销但第二天没直销的蔬菜有种，

因为图中所标注的各数均为自然数，所以，，

这三天直销的蔬菜品种有：

，

又因为，所以，

所以这三天直销的蔬菜最少有29种.

故答案为：16；29

四、解答题

16．已知集合，，.

(1)求，；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)或.

【分析】（1）根据集合的交并运算求得，；

（2）根据是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围.

【详解】（1），，

∴，.

（2），

当时，，∴．

当时，，∴．

综上所述，或.

17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，.

(1)求函数的解析式；

(2)画出函数的图象，并根据图象写出函数的单调区间.

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）先根据奇偶性求出x < 0时的解析式，注意偶函数性质的应用；

（2）根据偶函数的图象关于y轴的对称，结合二次函数的图象的特征做出所求的函数的图象，再根据函数图象读出函数的单调区间.

【详解】（1）因为是定义在R上的偶函数，当时，，

则当时，，则，

所以；

（2）画出函数图象如下：

根据函数图象可得，的单调递减区间为，单调递增区间为.

18．已知函数.

(1)求函数在区间上的最大值和最小值;

(2)若方程在区间内有解,求实数的取值范围.

【答案】(1)最大值;最小值

(2)

【分析】(1)因为函数为增函数,根据单调性求解即可;

(2)转化为函数与函数的交点问题,根据函数单调性求出其在区间内的值域即可得到结果.

【详解】（1）函数在区间上为增函数,

最大值为,的最小值为.

（2）方程在区间内有解即函数与函数在区间内有交点.

函数在区间上为增函数,

,

解得.

19．已知函数是奇函数.

(1)求实数的值；

(2)用定义证明函数是增函数；

(3)解不等式.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据奇函数可得；

（2）利用定义法直接证明函数的单调性；

（3）根据函数的奇偶性与单调性解不等式.

【详解】（1）由函数是奇函数，

得，

解得；经检验成立

（2）由（1）得，

任取，，且，即，，

则，

即，

所以函数是增函数；

（3）由（1）得，函数为奇函数，，

则，

又由（2）得，函数单调递增，

所以，即，

解得，

所以该不等式的解集为.

20．某企业投资万元购入一套垃圾处理设备.该设备维护费用（万元）与使用时间（年）之间满足函数关系，此外该设备每年的运转费用是万元.

(1)求该企业使用这套设备年的年平均垃圾处理费用（万元）；

(2)该企业使用这套设备几年年平均垃圾处理费用最低？最低是多少万元？

【答案】(1).

(2)10年，最低费用（万元）.

【分析】（1）由垃圾处理费用的构成即可求得关于的解析式；

（2）利用基本不等式即可求得最小值.

【详解】（1）由题意可知：使用年的垃圾处理费用=投资费用+维护费用+运转费用，

使用这套设备年，维护费用为，运转费用为，投资万元，

故有.

（2）由基本不等式可得：

，

当且仅当，，即时取等号.

即该企业使用这套设备10年，年平均费用最低，最低费用为（万元）.

21．已知函数的图象经过点和.

(1)求函数的解析式；

(2)当时，求证：；

(3)设，记在区间上的最大值为.当最小时，求的值.

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)

【分析】(1)利用二次函数的定义求方程;

(2)将不等式转化为函数的最值问题求证;

(3)结合二次函数的性质，求出函数的最值，问题可解.

【详解】（1）由已知得，，解得，

函数的解析式为.

（2）令，

则二次函数的对称轴为.

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，取得最小值，

又，所以时，取得最大值 ，

所以，

即.

（3）由(2)知，，

当时， ，

当时， ，

当时，

综上，当最小时，