2022-2023学年北京市五十中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市五十中学高一上学期期中考试数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市第五十中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题1．若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用补集的定义可求得结果.【详解】因为，，则.故选：C.2．命题的否定是：，使得.则命题为（    ）A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题直接得结果.【详解】根据全称命题的否定是特称命题得命题为，使得.故选：D.3．下列四个图象中，是函数图象的是A．① B．①③④ C．①②③ D．③④【答案】B【详解】由函数的定义知，对于定义域中的每一个自变量，只能有唯一的与之对应，故②不是函数，①③④是函数.故选B.点睛：函数定义中要求：1.两个函数都是非空集合；2.A中的每个元素在B中都有与之对应的元素；3.对应形式为“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”（一个 对应多个 ；只有满足了这几个特点的对应关系才是函数关系.本题解题的关键是观察：图象对应的是否是函数；定义域与值域是否是对的.4．已知函数，则（    ）A．8 B．16 C． D．8或【答案】A【分析】先计算，再计算的值.【详解】,.故选：A5．若函数为偶函数，则a=A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则f(x)=f(-x),那么可知a=1,则a等于1,选C6．函数，的值域（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的性质即可得解.【详解】解：，则，所以函数的值域为.故选：D.7．若时，不等式恒成立，则实数的最小值为（    ）A．2 B．3 C．6 D．不存在最小值【答案】C【分析】时，不等式恒成立，即，令，求出函数的最大值即可得解.【详解】解：时，不等式恒成立，即，令，故，所以，即实数的最小值为.故选：C.8．“函数在区间上单调递增”的一个必要不充分条件是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数性质可构造不等式求得，根据推出关系依次判断各个选项即可.【详解】若在上单调递增，则，解得：；对于A，是原命题的充要条件，A错误；对于B，，，是原命题的充分不必要条件，B错误；对于C，，，是原命题的必要不充分条件，C正确；对于D，，，是原命题的充分不必要条件，D错误.故选：C.9．下列函数中，为偶函数且有最小值的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据奇偶性定义可判断出ABC错误；根据奇偶性定义和基本不等式可知D正确.【详解】对于A，定义域为，，为奇函数，A错误；对于B，；当时，，，为奇函数，B错误；对于C，的定义域为，为非奇非偶函数，C错误；对于D，定义域为，，为偶函数；令，（当且仅当时取等号），的最小值为，D正确.故选：D.10．已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数单调性的性质逐一判断即可.【详解】解：因为函数是上的增函数，函数是上的减函数，所以函数是上的增函数，函数是上的减函数，函数，的单调性无法判断.故选：B. 二、填空题11．函数的定义域为__________．【答案】【分析】直接解不等式即可.【详解】 ，所以定义域为 故答案为：12．若集合满足，则集合______.（写出一个集合即可）【答案】（答案不唯一）.【分析】根据题意可知集合中至少含元素1和2，且为集合的子集，从而可求出集合.【详解】因为集合满足，所以，或，或，或，故答案为：（答案不唯一）.13．已知幂函数的图象过点，则幂函数的解析式_______．【答案】【详解】试题分析：设【解析】幂函数14．已知实数满足不等式，则的取值范围为______【答案】【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】不等式等价于，即，对应方程的根是和，所以不等式的解集是.故答案为：15．某公司购买一批机器投入生产，根据市场分析每台机器生产的产品可获得的年平均利润（万元）与机器运转时间（年数）的关系为.则每台机器的年平均利润的最大值为______万元.【答案】【分析】利用基本不等式可直接求得结果.【详解】时，（当且仅当时取等号），当时，.故答案为：.16．已知函数,则（ⅰ）=       ；（ⅱ）给出下列三个命题：①函数是偶函数；②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形. 其中，所有真命题的序号是          .【答案】【答题空1】【答题空2】①③【分析】利用分段函数求值即得；对于①，根据奇偶性的定义可判断，对于②，可以分类判定三角形的形状进行判断，而命题③，可以构造成立的例子．【详解】（ⅰ）因为 ，所以是的真子集，所以；（ⅱ）对于①：当时，，；当时，，；所以恒成立，所以函数是偶函数，故①正确；对于②：当都是有理数时，三点纵坐标都是，三点共线，不构成三角形；同理当都是无理数时，也不合题意；所以只有可能两个为有理数，一个为无理数，或两个无理数，一个有理数，对于两个为有理数，一个为无理数的情况，设是有理数，是无理数，对应三点，显然都不可能为直角，故要为等腰直角三角形，必须为直角，且,所以关于直线对称，于是，此式等号左边为有理数，右边为无理数，不可能成立；对于两个为无理数，一个为有理数的情况，设是无理数，是有理数，对应三点,同样都不可能为直角，故要为等腰直角三角形，必须为直角，且,所以关于直线对称，如图所示：于是，，但都是有理数，而是无理数，这也不可能成立；综上，②错误；对于③：令,则对应四点坐标为,如图所示：，四边形为菱形，故③正确.综上，所有真命题的序号是①③.故答案为：；①③. 三、解答题17．设全集，集合，.(1)当时，求，；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由交集和并集定义可直接求得结果；（2）由补集定义可得，由包含关系可构造不等关系求得的范围.【详解】（1）当时，，又，，.（2）由题意知：；，，，即的取值范围为.18．已知函数是定义在上的奇函数,且当时,(1)当时,求函数的解析式;(2)用函数的单调性定义证明:函数在上是增函数.【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】(1)设,则,将代入,再根据函数是定义在上的奇函数即可求出结果.(2)设为区间上的任意实数,且,利用作差法和分解因式法比较与的大小即可证明.【详解】（1）设,则,,函数是定义在上的奇函数,,即当时,.（2）设为区间上的任意实数,且,,,,,函数在上是增函数.19．已知函数和，其中.若函数与的图象的一个公共点恰好在轴上.(1)求证：；(2)求不等式的解集.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）先求出与轴的交点，然后根据题意可知此点在的图象上，代入化简可得结论；（2）由（1）可得，然后利用一元二次不等式的解法可求得结果.【详解】（1）证明：令，得，所以与轴交于点，因为函数与的图象的一个公共点恰好在轴上，所以点在图象上，所以，因为，所以，所以；（2）由（1）可得，因为，所以，，解得，所以不等式的解集为.20．有一张隧道横截面的设计图（如图所示），上部为半圆形，下部为矩形，横截面周长限定为10米，设半圆的半径为米.(1)求的取值范围；(2)求此横截面面积与的函数关系式；(3)当半圆半径为多少米时，此横截面面积最大？试求出此最大值.【答案】(1)(2)，(3)半圆半径为米时，横截面面积最大值为平方米 【分析】（1）（2）由题意列式求解，（3）由二次函数性质求解，【详解】（1）由题意得，且，得即的取值范围是，（2）半圆的半径为米，则矩形的长为，宽为，，（3）由二次函数性质知当时，有最大值即半圆半径为米时，横截面面积最大值为平方米21．已知函数，定义(1)写出函数的解析式；(2)若，求实数的值；(3)已知函数，集合，集合，，若函数是偶函数，写出所有满足条件的的解析式.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由新定义，讨论，解不等式即可得到所求函数；（2）讨论，由求得，运用恒成立的思想，即可得到的值；（3）将问题转化为不等式的解集关于原点对称，即解集的形式为，利用二次函数的性质解答即可.【详解】（1）定义，当，即时，；当，即时，；当，即时，；可得；（2）当时，，则，即有恒成立，即在上恒成立，即，得；当时，，则，即有，解得或；当时，，则，即有恒成立，当必成立，则当时，有或在上恒成立，即或，解得或；综上实数的值为（3）若为偶函数，则不等式的解集关于原点对称，即解集的形式为，令，则，解得故【点睛】关键点点睛：第一问的关键是通过分类讨论确定代入分段函数的哪段进行计算；第二问的关键是将恒成立问题转化为最值问题；第三问的关键是将问题转化为不等式有关于原点对称的解集.