2022-2023学年福建省福州格致中学高一上学期期中线上适应性训练数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省福州格致中学高一上学期期中线上适应性训练数学试题

一、单选题

1．已知U=Z，A={1，3，5，7，9}，B={1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合（　　）

A．{1，3，5} B．{1，2，3，4，5} C．{7，9} D．{2，4}

【答案】D

【分析】根据Venn图表示的集合运算可得结论．

【详解】图中阴影部分表示的集合是={2，4}，．

故选：D

2．命题“，使.”的否定形式是（    ）

A．“，使” B．“，使”

C．“，使” D．“，使”

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得出命题的否定形式．

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，使”的否定形式为：，使．

故选：D．

3．下列四组中的，，表示同一个函数的是（    ）．

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【详解】对于A，f（x）=1，定义域为R，g（x）=x0=1，定义域是{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；对于B，f（x）=x﹣1，定义域是R，g（x）=﹣1，定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；对于C，f（x）=x2，定义域为R，g（x）==x2，定义域是[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；对于A，f（x）=|x|，定义域是R，g（x）==|x|，定义域是R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选D．

点睛：判定两个函数是否为同一个函数，主要看定义域和对应法则，只有定义域与对应法则相同的函数才是同一个函数，与函数的自变量名称无关.

4．若，则三者大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数单调性得到，计算，得到答案.

【详解】，，故.

故选：A

5．下列函数是偶函数且在区间上为减函数的是（    ）

A． B．y =

C． D．

【答案】C

【分析】结合奇偶性的概念与单调性的定义逐项分析判断即可.

【详解】A选项：令，因为，所以不是偶函数，故A错误；

B选项：令，因为，所以是奇函数，故B错误；

C选项：令，定义域为，关于原点对称，

因为，所以是偶函数，

设且，

则

因为，

所以，即，所以，由函数单调性的概念可知，单调递减，故C正确；

D选项：令，定义域为，关于原点对称，

则，所以为偶函数，

因为，则

设且，

则

若，则，所以，即，因此，由函数单调性的概念可知，单调递减；

若，则，所以，即，因此，由函数单调性的概念可知，单调递减；

故D错误.

故选：C.

6．函数f（x）的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据函数的零点个数排除C，D，根据函数的单调性判断A，B即可得出答案.

【详解】令得，即只有一个零点，排除C，D.

，令得，

当或时，，当时，，

在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，

排除B，

故选：A.

【点睛】本题考查的是函数图象的判断，属于中档题，一般可通过函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊值、变化趋势等知识进行解答.

7．已知函数，且对于任意的，都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可知，函数在上是增函数，则在每一段都是增函数且，由，即可解出实数的取值范围．

【详解】依题可知函数在上是增函数，

∴，解得．

故选：B．

8．定义在R上奇函数，，当时函数单调递增，则不等式的解集是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意画出的图象，数形结合，求得的解集．

【详解】由题意可得，(1)，在上单调递增，的图象如图所示：

再根据，可得与异号，①，或②．

由①可得x∈，由②可得，故的范围是：．

故选：D．

二、多选题

9．若：，则成立的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】先由求出的范围，记其组成的集合为A，要求成立的一个充分不必要条件，就是要求出集合A的真子集即可

【详解】由，得，记为，

所以要求成立的一个充分不必要条件，就是要求出集合A的真子集，

对于A，集合 不是集合A的真子集，所以A不正确，

对于B，集合不是集合A的真子集，所以B不正确，

对于C，集合是集合A的真子集，所以C正确，

对于D，集合是集合A的真子集，所以D正确，

故选：CD

10．已知幂函数，则下列命题正确的有（    ）

A．函数为奇函数 B．函数为减函数

C．函数的值域为R D．若，则

【答案】AD

【分析】根据幂函数解析式的特点得到，然后结合奇偶性的定义、单调性的定义、图象判断即可.

【详解】

因为为幂函数，所以，则，定义域为，关于原点对称，且，所以为奇函数，A正确；

结合图象可知，的图象不满足自左到右“一直向下”，所以不是解函数，故B错；

的值域为，故C错；

结合函数的图象可知，时，为凹函数，满足，故D正确.

故选：AD.

11．设函数，给出如下命题，其中正确的是（   ）

A．时，是奇函数

B．，时，方程只有一个实数根

C．的图象关于点对称

D．方程最多有两个实数根

【答案】ABC

【解析】利用函数的解析式，结合奇偶性和对称性，以及利用特值法，依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A，当时，，

此时，故为奇函数，A正确；

对选项B，当，时，，

若，无解，若，有一解，所以B正确；

对选项C，因为为奇函数，图象关于对称，

所以图象关于对称，故C正确，

对选项D，当，时，，

方程，即，解得，，，

故D错误.

故选：ABC

12．我们把定义域为[0,+∞）且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”∶（1）对任意的x∈[0,+∞)，总有f (x)≥0；（2）若x≥0，y≥0，则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立，下列判断正确的是（    ）

A．若f (x)为“Ω函数”，则

B．若f (x)为“Ω函数”，则f(x)在[0,+∞）上是增函数

C．函数，在[0,+∞）上是“Ω函数”

D．函数在[0,+∞）上是“Ω函数”

【答案】AD

【分析】利用赋值法及条件可判断A，验证“Ω函数”条件可判断B，取，则可判断C，验证“Ω函数”条件可判断D.

【详解】取得到，即，又对任意的x∈[0，+∞），总有，故，A正确；

由题知，满足“Ω函数”条件，f(x)为“Ω函数”，但f(x)在上不是增函数，故B错误；

，取，则，不满足，故C错误；

在上单调递增，故，即，又，所以，故D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．__________．

【答案】

【分析】运用指数幂的运算性质即可求解.

【详解】因为

故答案为：.

14．设函数，则_____

【答案】4

【分析】先根据函数的局部周期性可得，再根据上的解析式可求出的值.

【详解】．

故答案为：4.

【点睛】本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据函数的局部周期性把所求的值转化为函数在上的某点处的函数值，本题属于基础题．

15．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________.

【答案】

【分析】求出，再利用基本不等式求解.

【详解】由题意，，，

当且仅当时等号成立.

∴此三角形面积的最大值为.

故答案为：

四、双空题

16．已知不等式的解集为，则_______，的最小值为________．

【答案】     -5；     8.

【分析】根据不等式的解集为得到，，且，然后代入中，得到，最后用基本不等式求最值即可.

【详解】因为不等式的解集为，所以，即，，且，

则，当且仅当，即时等号成立.

故答案为：①-5；②8.

五、解答题

17．已知集合．

(1)求；

(2)集合，若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）先求出集合A，B，然后再根据集合并集的运算定义进行求解即可；

（2）首先根据“”是“”的充分条件，得到，然后分和两种情况求解即可；

【详解】（1）由，得，所以，

因为，所以，所以，

所以或.

（2）已知“”是“”的充分条件，

得，

当时，，得，此时；

当时，因为，或

所以或，

得或，

综上，，即实数m的取值范围为.

18．已知函数是定义在R上的偶函数，当≥0时，有.

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明.

【答案】(1)

(2)在上单调递增，证明见解析

【分析】（1）根据偶函数的性质求解当时的解析式，即可求解；

（2）利用单调性的定义，任取,,,再计算的正负即可证明.

【详解】（1）设，则，

∴.

∵函数是定义在R上的偶函数.

∴当时，.

∴；

（2）函数在上单调递增.理由如下：

当时,.

任取，且，则有

.

∵，且，

∴，

∴,

∴.

∴函数在上单调递增.

19．已知函数的图像过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交．

(1)求该函数的解析式；

(2)若不等式对任意的恒成立，求m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数过原点得到，根据函数接近直线得到，得到函数解析式.

（2）设，将函数代入不等式得到，函数，根据函数的单调性结合定义域计算最大值即可.

【详解】（1）函数的图像过原点，则，

函数无限接近直线但又不与该直线相交，则，故，.

（2），即，设，，

则，即，

函数在上单调递减，在上单调递增，

故，故，即

20．已知、、、.

(1)试比较与的大小，并给出证明；

(2)利用（1）的结论求函数的最大值.

【答案】(1)，证明见解析.

(2)函数的最大值为.

【分析】（1）利用作差法可得出与的大小关系；

（2）利用（1）中的结论可得出，由此可求得的最大值.

【详解】（1）解：，理由如下：

，

当且仅当时，等号成立.

（2）解：因为，

则，即，

当且仅当时，即当时，等号成立，

因此，函数的最大值为.

21．某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）

(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．

(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：

①年平均利润最大时，以万元转让该项目；

②纯利润最大时，以万元转让该项目．

你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．

【答案】(1)，从第年起开始盈利

(2)选择方案①更有利于该公司的发展；理由见解析

【分析】（1）根据题意可得表达式，令，解不等式即可；

（2）分别计算两个方案的利润及所需时间，进而可确定方案.

【详解】（1）由题意可知，

令，得，解得，

所以从第年起开始盈利；

（2）若选择方案①，设年平均利润为万元，则，

当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，

此时该项目共获利（万元）．

若选择方案②，纯利润，

所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）．

以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．

22．定义：对于定义在上的函数和定义在上的函数满足：存在，使得，我们称函数为函数和函数的“均值函数”.

(1)若，函数和函数的均值函数是偶函数，求实数的值；

(2)若，，且存在函数和函数的“均值函数”，求实数的取值范围；

(3)若，，是和的“均值函数”，求的值域.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）写出函数和函数的“均值函数”，根据函数的奇偶性求参数值；

（2）由题意可转化为当时，有解问题，直接讨论解得个数即可；

（3）由题设可知，．设，则，令，判断函数的单调性及最值.

【详解】（1）解：依题意得为偶函数，

所以．

（2）解：由题设可知，当，即时，，

亦即当时，有解，

①若，成立；

②若，则的对称轴

若，只要，得因此，．

若，或，

解得，因此．

综上，实数．

（3）解：由题设可知，．

设，则，令；

因为对任意，

当时，，所以；

当时，，所以；

因此在单调递增，在单调递减，

又因为，所以．

因此，，

于是，即的值域为．