2022-2023学年广东省广州市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广州市第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：由韦恩图可知，图中阴影部分可表示为且

所以 故选B．

【解析】1、集合的交集、并集、补集运算；2、韦恩图表示集合．

【方法点晴】本题主要考查的是韦恩图表示集合和集合的交集、并集、补集运算，属于容易题，首先要把韦恩图中的阴影部分翻译为集合语言 ，再进行集合的补集，交集运算．本题也可以直接在韦恩图中标出阴影部分的所以元素，从而直接得到答案．

2．全称量词命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．以上都不正确

【答案】C

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可得出结论.

【详解】全称量词命题“，”的否定为“，”.

故选：C.

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解即可.

【详解】因为当时一定有；当时，或，

所以“”是“”充分不必要条件，

故选：A.

4．已知幂函数 在第一象限的图象如图所示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】取，结合图象得出，最后由指数函数的性质得出大小关系.

【详解】由图象可知，当时，，则

故选：B

5．设，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】易得，再由，利用幂函数的单调性判断.

【详解】因为，

且， 在上递增，

所以，即，

综上：

故选：A

6．下列函数中是偶函数，且满足“对任意，当时，都有”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分别判断函数的奇偶性与单调性可得．

【详解】函数满足“对任意，当时，都有”

根据函数单调性定义可得:当时为减函数.

对于A，因为，当，函数是单调递增，故A不符题意;

对于B，因为，是奇函数，故B不符题意;

对于C，因为，当，函数是单调递减，且是偶函数，故C符合题意;

对于D，因为，当，根据二次函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符题意.

故选:C.

7．假设某地初始物价为1，其物价每年以5%的增长率递增，当该地物价不低于1.5时，至少需要经过的年数为（    ）（参考数据：取，，）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【分析】应用指数函数表示x年后该地物价，可得指数不等式，结合指对数的关系及对数的运算性质求解即可.

【详解】经过x年后该地物价为，

∴由题意得：，得，而，

∴，故至少需要经过的年数为9.

故选：B.

8．已知函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对任意的，存在，使得，只需要即可.

【详解】对任意的，存在，使得，则，

因为当时，单调递增，所以，

又因为当时，单调递减，所以，

所以由解得，

故选：A.

二、多选题

9．已知集合，集合， 则下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】由集合A,B，求出各选项的结果，即可作出判断.

【详解】因为集合，集合，,选项A正确;，选项B错误.

,，选项C正确.

且，选项D错误.

故选：AC

10．设，且，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据不等式的性质判断AD，列举例子判断BC.

【详解】A.，同除可得，A正确；

B.当时，，B错误；

C.若，此时有，C错误；

D.，故，D正确.

故选：AD.

11．给出下列命题，其中正确的命题有（    ）

A．函数的图象过定点

B．已知函数是定义在上的偶函数，当时，则的解析式为

C．若，则的取值范围是

D．若，则

【答案】BCD

【分析】选项A由,可得函数的图象过定点,即可判断出正误；

选项B令,则,可得,.即可得出的解析式为,即可判断出正误；

选项C若,可得或,解出即可得出；

选项D令,则函数在单调递减即可判断出.

【详解】解：选项A．由得,

此时,

即函数过定点,故A错误；

选项B．若,则,

则,

是偶函数,

,即,

即的解析式为,故B正确；

选项C．若,则,

若,则,此时不成立,

若,则,此时,

即的取值范围是,故C正确；

选项D．若,则,

令,

则函数在单调递减,

则不等式等价为,

则,即,故D正确．

故选BCD

【点睛】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法,考查了分类讨论、推理能力与计算能力,属于中档题.

12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的单调递增区间为（-1，0），（1，+）

C．当时， D．的解集为（-，-1）（1，+）

【答案】BC

【分析】根据奇函数的性质可得，再根据函数的单调性及可得出函数值为正负时，的范围，从而可判断BD，根据奇函数的定义求出时函数的解析式即可判断C.

【详解】解：因为函数是定义在R上的奇函数，所以，故A错误；

因为函数在都是增函数，

所以函数在是增函数，

又，则当时，，当时，，

当时，，当时，，

则函数的单调递增区间为（-1，0），（1，+），故B正确；

当时，则，

，

所以当时，，故C正确；

若，则或，

所以或，

即不等式的解集为，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．求值： ________

【答案】

【详解】由题意结合对数、指数的运算法则有：

.

14．二次不等式的解集为，则______.

【答案】

【分析】为的两根，利用韦达定理即可得到答案.

【详解】由已知，为的两根，且，所以，解得，

故.

故答案为：.

【点睛】本题考查一元二次不等式解法的应用，注意结合韦达定理，是一道基础题.

15．若正数x、y满足，则的最小值等于________.

【答案】9

【分析】把要求的式子变形为，利用基本不等式即可得结果.

【详解】因为，所以

，

当且仅当时取等号，故答案为.

【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

16．若定义在R上的函数（其中，）有最大值，则函数的单调递增区间为___________．

【答案】

【分析】先根据题意判断，可得即求函数减区间，再利用二次函数的性质得出结论．

【详解】有最小值为1，定义在上的函数（其中，有最大值，

．

则函数的单调递增区间，即函数的减区间，

因为函数的减区间为，

故答案为．

【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

四、解答题

17．设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}．

（1）分别求A∩B，(∁RB)∪A；

（2）已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值构成的集合．

【答案】（1）A∩B＝{x|3≤x<6}，(∁RB)∪A＝{x|x≤2，或3≤x<6，或x≥9}；（2） {a|2≤a≤8}

【解析】（1）根据集合A={x|3≤x<6}，B={x|2<x<9}，利用交集的运算求解.；根据全集为R，B={x|2<x<9}，利用补集运算得到，再利用并集的运算求解.

（2）由C={x|a<x<a+1}，且C⊆B，利用子集的定义，分和两种情况求解.

【详解】（1）因为集合A={x|3≤x<6}，B={x|2<x<9}，

所以A∩B={x|3≤x<6}；

因为全集为R，集合A={x|3≤x<6}，B={x|2<x<9}.

 所以或 ，

所以∪A或 或；

（2）由C={x|a<x<a+1}，且C⊆B，

当时，则，无解；

当时，则，

解得，

综上：实数a取值构成的集合是

【点睛】本题主要考查集合的基本运算及基本关系应用，关键点是熟悉集合的性质，掌握集合的交并补基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18．已知函数．求证：

(1)函数是偶函数；

(2)函数在区间上单调递增．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据偶函数的定义证明即可；

（2）根据单调性的定义证明即可.

【详解】（1）因为，

所以是偶函数.

（2）任取，则，

因为，所以，所以，

所以，所以，即，

所以在区间上单调递增.

19．已知函数（且），其中a，b均为实数.

(1)若函数的图象经过点，，求函数的解析式；

(2)如果函数的定义域和值域都是，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将已知点代入函数即可求出；

（2）讨论和根据函数单调性列出方程即可求解.

【详解】（1）因为函数的图象经过点，，

∴，∴

∴函数.

（2）如果函数的定义域和值域都是，

若，则函数为增函数，

∴，无解.

若，则函数为减函数，

∴，解得，

∴.

20．某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①；②；③；

（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；

（3）利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）选择，理由见解析，（2）上市天数10天，最低价格70元，（3）

【解析】(1)根据函数的单调性选取即可.

(2) 把点代入中求解参数,再根据二次函数的最值求解即可.

(3)参变分离后再求解最值即可.

【详解】（1）随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，

∴选择.

（2）把点代入中，

得，

解得，

∴当时，y有最小值.

故当纪念章上市10天时，该纪念章的市场价最低，最低市场价为70元 ，

（3）由题意，令，

若存在使得不等式成立，则须，

又，当且仅当时，等号成立，

所以.

【点睛】本题主要考查了二次函数模型解决实际问题的题型,需要根据题意求解对应的二次函数式再分析最值与求参数.属于中等题型.

21．设．

(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

(2)在（1）的条件下，求的最小值；

(3)解关于的不等式

【答案】(1)

(2)

(3)答案见解析

【分析】（1）分别在和的情况下，根据恒成立可构造不等式组求得结果；

（2）将所求式子化为，利用基本不等式可求得最小值；

（3）分别在、、、和的情况下，解不等式即可得到结果.

【详解】（1）由恒成立得：对一切实数恒成立；

当时，不等式为，不合题意；

当时，，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

（2），，

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

（3）由得：；

①当时，，解得：，即不等式解集为；

②当时，令，解得：，；

（i）当，即时，不等式解集为；

（ii）当，即时，不等式解集为；

（iii）当，即时，不等式可化为，，

不等式解集为；

（iv）当，即时，不等式解集为；

综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.

22．已知函数.

（1）请在如图所示的直角坐标系中作出时的图像，并根据图像写出函数的单调区间；

（2）设函数在上的最小值为.

①求的表达式；

②若，求的最大值.

【答案】（1）图象见解析，增区间，减区间；（2）①；②.

【分析】（1）时，，画出函数图象，根据图象即可得出单调区间；

（2）①时，，讨论对称轴的范围，根据二次函数的单调性求解；

②时，，根据单调性即可求出.

【详解】（1）时，，函数图象如图:

增区间；减区间.

（2）①因为，

所以.

若，即时，在上单调递增，

所以；

若，即时，

在上递减，在上递增，

所以；

若，即时，在上单调递减，

所以，

综上；

②时，，

因为在单调递增，

所以在单调递增，

所以的最大值为.

【点睛】关键点睛：本题考查含参二次函数最值的求解以及函数最值问题，解题的关键是讨论二次函数对称轴的位置，再结合二次函数的单调性求解，对于函数最值问题，解题的关键是求出函数的单调性，利用单调性求出最值.