2022-2023学年广东省广州市七十五中高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省广州市七十五中高一上学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广州市第七十五中学2022学年第一学期高一年级期中测试数学试卷命题人：李开松   审稿人：刘白丽   考试时长：120分钟   满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 设集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 2. 命题：，的否定为（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，3. 已知集合，则（    ）A.  B. C.  D. 4. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 5. 若函数的定义域为，则的范围是（    ）A.  B.  C.  D. 6. 若函数，（，且）图像经过第一，第三和第四象限，则一定有（    ）A. 且 B. 且C. 且 D. 且7. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围是（    ）A  B.  C.  D. 8. 已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（    ）A.  B. 或C.  D. 或二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 图中阴影部分所表示的集合是（    ）A.  B. C.  D. 10. 已知幂函数，则（    ）A.  B. 定义域为C.  D. 11. 若“，”真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（    ）A.  B.  C.  D. 12 已知，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数___________.14. 化简________．15. 已知，则函数的最大值为__________.16. 已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是___________.四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）用定义证明函数在区间上是单调递增函数．18. 已知集合，，（1）求， ；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．19. 已知函数是定义在上的偶函数，已知当时，.（1）求函数解析式；（2）画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间；（3）求在区间上的值域.20. 已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解不等式：.21. 武清政府为增加农民收入，根据本区区域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元.因人工投入和仪器维修等原因，每加工吨该农产品，需另投入成本万元，且已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完.（1）求加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式；（2）求加工多少吨该农产品，使加工后的该农产品利润达到最大？并求出利润的最大值.22. 函数的定义域为R，若存在常数，使得对一切实数x均成立，则称为“圆锥托底型”函数.（1）判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由；（2）若是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值；（3）问实数k､b满足什么条件，是“圆锥托底型”函数.
 
广州市第七十五中学2022学年第一学期高一年级期中测试数学试卷命题人：李开松   审稿人：刘白丽   考试时长：120分钟   满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【分析】根据并集的定义即可求解.【详解】因为，所以.故选：D.2. 命题：，的否定为（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】，的否定为：，，故选：D3. 已知集合，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【分析】解一元二次不等式求集合A，由函数定义域求集合B，最后应用集合交运算求结果.【详解】由，，所以.故选：C4. 如果，那么下列不等式中一定成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【分析】利用不等式的基本性质逐一分析即可.【详解】A.当时满足，但此时，故A选项错误；B.当时满足，但此时，故B选项错误；C.当时满足，但此时，故C选项错误；D.由得：，即，故D选项正确.故选：D.5. 若函数的定义域为，则的范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【分析】根据给定条件，可得，再分类讨论求解作答.【详解】依题意，，成立，当时，成立，即，当时，，解得，因此得，所以的范围是.故选：A6. 若函数，（，且）的图像经过第一，第三和第四象限，则一定有（    ）A. 且 B. 且C. 且 D. 且【答案】B【分析】根据指数函数的图象和性质，即可确定a，b的取值范围．【详解】根据指数函数的图象和性质可知，要使函数y＝ax﹣（b+1）（a＞0且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则函数为增函数，∴a＞1，且f（0）＜0，即f（0）＝1﹣b＜0，解得b＞1，故选：B．【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．7. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足，且恒成立，则实数t的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【分析】运用基本不等式，求出 的最小值即可.【详解】 ，当且仅当 时等号成立，正实数a，b不相等， ， ， ；故选：A.8. 已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（    ）A.  B. 或C.  D. 或【答案】B【分析】根据函数的性质推得其函数值的正负情况，由可得到相应的不等式组，即可求得答案.【详解】因为偶函数且在上单调递增，，故，所以当或时，，当时，．所以等价于或 ，解得或，所以不等式的解集为，故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 图中阴影部分所表示的集合是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】AC【分析】根据交并补的计算和韦恩图判断即可.【详解】A选项：，则，故A正确；B选项：，则，故B错；C选项：，故C正确；D选项：，故D错.故选：AC.10. 已知幂函数，则（    ）A.  B. 定义域为C.  D. 【答案】AC【分析】根据为幂函数得可判断A；根据幂函数的解析式可判断B；利用单调性可判断C；计算可判断D.【详解】为幂函数，，得，A对；函数的定义域为，B错误；由于在上为增函数，，C对；，，D错误，故选：AC.11. 若“，”真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（    ）A  B.  C.  D. 【答案】AB【分析】根据假命题的否定为真命题可知“，”是真命题，又“，是真命题，求出命题成立的条件，进而求交集即可知M满足的条件．【详解】∵“，”为假命题，∴“，”为真命题，可得，又“，”为真命题，可得，所以，故选：AB．12. 已知，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】ACD【分析】由已知结合基本不等式对各选项分别进行判断。【详解】对于A，因为，且，由，得，当且仅当时，等号成立，所以A正确；对于B，因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以B错误；对于C，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以C正确；对于D，因为，且，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以D正确．故选：ACD．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数___________.【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意可得函数在为减函数，且再写出即可.【详解】因为对任意，都有，所以函数在上减函数.又，故函数可以为.（注：满足题目条件的函数表达式均可.）故答案为：（答案不唯一）14. 化简________．【答案】2【分析】利用指数幂的计算公式化简即可.【详解】原式.故答案为：2.15. 已知，则函数的最大值为__________.【答案】【分析】换元，，化简得到二次函数，根据二次函数性质得到最值.【详解】设，，则，，故当，即时，函数有最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了指数型函数的最值，意在考查学生的计算能力，换元是解题的关键.16. 已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】根据分段函数的两段都单调递增，时最大值小于或等于时的下界列不等式组，解不等式组即可求解.【详解】当时，对称轴为，因为函数在上是增函数，则，解得，故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）用定义证明函数在区间上是单调递增函数．【答案】（1）奇函数，证明见解析    （2）具体见解析【分析】（1）根据奇函数的定义进行即可证明；（2）根据单调性的定义即可证明.【小问1详解】函数为奇函数.函数定义域为，，即函数为奇函数.【小问2详解】设是上的任意两个取值，且，所以，因为，所以，则，于是，即函数在区间上单调递增.18. 已知集合，，（1）求， ；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1），    （2）【分析】（1）根据题意，先求出集合B，进而根据交并补的定义求得答案；（2）根据题意，C是B的子集，进而讨论集合C是否是空集，进而根据端点位置得到答案.【小问1详解】由题意，，所以，，则【小问2详解】根据题意，C是B的子集，若，，满足题意；若，则.综上：.19. 已知函数是定义在上的偶函数，已知当时，.（1）求函数的解析式；（2）画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间；（3）求在区间上的值域.【答案】（1）； （2）见解析； （3）.【分析】（1）设x＞0，则﹣x＜0，利用当x≤0时，f（x）=x2+4x+3，结合函数为偶函数，即可求得函数解析式；（2）根据图象，可得函数的单调递增区间；（3）确定函数在区间[﹣1，2]上的单调性，从而可得函数在区间[﹣1，2]上的值域．【详解】（1）∵函数是定义在上的偶函数∴对任意的都有成立∴当时，即∴ （2）图象如右图所示函数的单调递增区间为和.（写成开区间也可以）（3）由图象，得函数的值域为.【点睛】本题考查函数的解析式，考查函数的单调性与值域，考查数形结合的数学思想，属于中档题．20. 已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解不等式：.【答案】（1）；    （2）函数在上单调递增，证明见解析；    （3）.【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】解：因为函数是定义在上的奇函数，则，即，可得，则，所以，，则，因此，.【小问2详解】证明：函数在上是增函数，证明如下：任取、且，则，因为，则，，故，即.因此，函数在上是增函数.【小问3详解】解：因为函数是上的奇函数且为增函数，由得，由已知可得，解得.因此，不等式的解集为.21. 武清政府为增加农民收入，根据本区区域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元.因人工投入和仪器维修等原因，每加工吨该农产品，需另投入成本万元，且已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完.（1）求加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式；（2）求加工多少吨该农产品，使加工后的该农产品利润达到最大？并求出利润的最大值.【答案】（1）；    （2）加工（吨），利润的最大值6万元.【分析】（1）根据已知条件及投入成本函数，讨论、对应利润函数式，即可得其分段函数形式；（2）分别求出不同分段上的最值，并比较大小，即可得结果.【小问1详解】当时，.当时，.故加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式为：【小问2详解】当时，，所以时，取得最大值5万元；当时，因为，当且仅当时，等号成立，所以当时，取得最大值6万元，因为，故当时，取得最大值6万元.22. 函数的定义域为R，若存在常数，使得对一切实数x均成立，则称为“圆锥托底型”函数.（1）判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由；（2）若是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值；（3）问实数k､b满足什么条件，是“圆锥托底型”函数.【答案】（1）是，不是，理由见解析    （2）2    （3），【分析】（1）根据“圆锥托底型”函数的定义，分别代入，判断即可；（2）代入可得对一切实数x均成立，当时显然成立，再根据基本不等式求解时的情况即可；（3）分和两种情况，结合“圆锥托底型”函数定义分析即可【小问1详解】由题意，当时，恒成立，故是“圆锥托底型”函数；对，考虑时，恒成立，即恒成立，因为，故不存在常数使得对一切实数x均成立，故不是“圆锥托底型”函数【小问2详解】由题意，对一切实数x均成立.当时显然成立，当时，恒成立，又，当且仅当时取等号.故M的最大值为2【小问3详解】若是“圆锥托底型”函数则：①当时，恒成立，即即可，故当时，即可满足条件；②当时，若，则为常数，不满足恒成立.若时，令，解得，此时无解，故当时，不是“圆锥托底型”函数综上，当，时，是“圆锥托底型”函数