2022-2023学年广东省广州中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设全集为R，集合，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.

详解：由题意可得：，

结合交集的定义可得：.

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2．命题“”的否定是  

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C.

【解析】全称命题与存在性命题.

3．已知都是实数，那么“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分不必要条件的定义结合不等式得到答案

【详解】由即可得；

由可得，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A

4．函数与的图象（    ）

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称

C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称

【答案】C

【解析】令，则，由与的图象关于原点对称即可得解.

【详解】解：令，则

与的图象关于原点对称，

与的图象关于原点对称.

故选：

【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.

5．下列不等式中成立的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【分析】A，如时，，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.

【详解】A. 若，则错误，如时，，所以该选项错误；    

B. 若，则，所以该选项正确；

C. 若，则，所以该选项错误；

D. 若，则，所以该选项错误.

故选：B

6．是R上的奇函数，当时，，则时，（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性直接求出当时的函数解析式.

【详解】当时，，

当时，，则，

又为R上的奇函数，所以.

故选：C

7．定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，且，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据已知可得函数在上单调递减，由为偶函数，可得在上单调递增，进而可得，然后利用单调性即可求解不等式．

【详解】解：由对任意的，，，，可知函数在上单调递减，

因为为偶函数，

所以在上单调递增，

因为，所以，

所以当或时，，当时，，

因为，

所以或，

所以或，即．

故选：D．

8．已知．若存在最小值，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】通过对参数分类讨论，研究在和的单调性，再结合已知条件，即可求解.

【详解】解：由题意，不妨令，；，，

①当时，在上单调递减，

在上单调递减，易知在上的值域为，

又因为存在最小值，只需，解得，

又由，从而；

②当时，在上单调递减，在上单调递增，

又因为存在最小值，故，

即，解得，，这与矛盾；

③当时，，易知的值域为，显然无最小值；

④当时，在上单调递增，在上单调递增，从而无最小值.

综上所述，实数的取值范围为.

故选：A.

二、多选题

9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】AC

【分析】逐一判断每个选项中两函数的定义域和对应关系是否相同即可.

【详解】对A， ，故A正确，

对B， 定义域为，定义域为，故B错误，

对C， ，故C正确，

对D， 定义域为，解得或.

定义域为，即，故D错误，

故选：AC

【点睛】本题考查的是同一函数的判断，属于基础题.

10．下列函数中，既是奇函数，又是R上的增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】CD选项是幂函数，可以直接进行判断，A选项从奇函数和偶函数的定义判断，B选项先化为分段函数，画出函数图象，即可说明是奇函数，也是R上的增函数

【详解】，故，且，所以既不是奇函数也不是偶函数，是偶函数，所以排除选项AD；

因为，如图是函数图象，当时，，故，所以是奇函数，且在R上是增函数，故B正确；

因为是奇函数且在R上是增函数，故C正确.

故选：BC.

11．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ）

A．， B．的值域为

C．若，则 D．若，且，则

【答案】ABD

【分析】过原点得，由，可判断A；由得可判断B；画出的图象可判断C；由为偶函数可判断D.

【详解】∵过原点，∴，∴①，

又∵时，，∴时，，

由题，图象无限接近直线，则②，

由①②知，，故A正确；

所以，，，所以B正确；

由图知，在上单调递减，因为，则，

故C错误；

∵为偶函数，∴，

又∵，∴，∴，∴，故D正确.

故选：ABD.

12．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数（）的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】由函数的性质按照、、分类，结合函数图象的特征即可得解.

【详解】函数的定义域为，且，

所以该函数为偶函数，下面只讨论时的情况：，

当时，，图象为B；

当时，，图象为D；

若时，函数单调递增，图象为C；

所以函数的图象可能为BCD.

故选：BCD.

三、填空题

13．函数的定义域是______.

【答案】

【解析】利用分式的分母不等于0．偶次根式的被开方数大于或等于0，列不等式组求得自变量的取值范围即可．

【详解】要使函数有意义，

则，

解得且，，

故函数的定义域为，

故答案为：．

14．已知函数在[5，20]上具有单调性，实数k的取值范围是____________

【答案】

【详解】函数在上具有单调性，

只需或，即或

∴实数k的取值范围为

15．已知，，且，则的最小值为______.

【答案】4

【分析】利用基本不等式可将转化为的不等式，求解不等式可得的最小值．

【详解】，，，

可得，当且仅当时取等号．

，

或（舍去），

．

故的最小值为4.

故答案为：4．

【点睛】本题考查基本不等式，将转化为不等式是关键，考查等价转化思想与方程思想，属于中档题.

四、双空题

16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起我国正式执行新个税法，个税的部分税率级距进一步优化调整，扩大3%、10%、20%三档低税率的级距，减税向中低收入人群倾斜．税率与速算扣除数见下表：

小华的全年应纳税所得额为100000元，则全年应缴个税为元．还有一种速算个税的办法：全年应纳税所得额

对应档的税率对应档的速算扣除数，即小华全年应缴个税为元．按照这一算法，当小李的全年应纳税所得额为200000元时，全年应缴个税为______，表中的______.

【答案】     23080     52920

【分析】根据全年应纳税所得额对应档的税率对应档的速算扣除数，计算小李的全年应纳税所得额为200000元时应缴个税，计算全年应纳税所得额为500000元时应缴个税数，列方程求出的值.

【详解】根据全年应纳税所得额对应档的税率对应档的速算扣除数，

可得小李的全年应纳税所得额为200000元时，应缴个税为

（元），

当全年应纳税所得额为500000元时，即全年应缴个税为

，

解得（元）.

故答案为：23080；52920

五、解答题

17．已知集合，，.

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）先解一元二次不等式化简集合B，再进行并集运算即可；

（2）由列不等关系，解得参数范围即可.

【详解】解：（1）由，得或，所以或，

所以或；

（2）若，则需，解得，

故实数的取值范围为.

18．已知函数．

(1)不等式恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若，求关于x的不等式的解集．

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）分与两种情况，结合根的判别式列出不等式，求出实数a的取值范围；

（2）由结合根的判别式，对分类讨论，求出不等式的解集.

【详解】（1）当时，不恒成立，故舍去；

当时，要想恒成立，需要，

解得：，

综上：实数a的取值范围是；

（2）因为，当，即时，

的解集为，

当，即时，，

故解集为，

当，即时，

的两根为，，

故的解集为或，

综上：当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为或.

19．对于函数f（x）＝a

（1）探索函数f（x）的单调性；

（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数，若存在，求出a的取值；若不存在，说明理由？

【答案】（1）不论a为何实数，f（x）总为增函数；（2）存在，

【分析】（1）利用函数单调性的定义，作差，比较大小，定号即可判断；

（2）利用函数奇偶性的定义，列出方程，即可求解.

【详解】（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，

则＝a

，

∵x1＜x2，∴，，

∴＜0，

即f（x1）＜f（x2），

所以不论a为何实数f（x）总为增函数.

（2）假设存在实数a使f（x）为奇函数，

∴f（﹣x）＝﹣f（x）

即a，

解得：a＝1，

故存在实数a使f（x）为奇函数.

【点睛】本题考查利用函数单调性的判断，以及利用函数奇偶性求参数的值，属基础题.

20．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资x成正比，其关系如图（1）所示；B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润y与投资x的单位均为万元）．

(1)分别求A，B两种产品的利润y关于投资x的函数解析式；

(2)已知该企业已筹集到200万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．

①若将200万元资金平均投入两种产品的生产，可获得总利润多少万元？

②如果你是厂长，怎样分配这200万元资金，可使该企业获得的总利润最大？其最大利润为多少万元？

【答案】(1)A产品的利润y关于投资x的函数解析式为：；

B产品的利润y关于投资x的函数解析式为：.

(2)①万元；②当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.

【分析】（1）利用待定系数法，结合函数图象上特殊点，运用代入法进行求解即可；

（2）①：利用代入法进行求解即可；

②利用换元法，结合二次函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1）因为A产品的利润y与投资x成正比，

所以设，由函数图象可知，当时，，

所以有，所以；

因为B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比，

所以设，由函数图象可知：当时，，

所以有，所以；

（2）①: 将200万元资金平均投入两种产品的生产，

所以A产品的利润为，

B产品的利润为，

所以获得总利润为万元；

②：设投入B产品的资金为万元，则投入A产品的资金为万元，

设企业获得的总利润为万元，

所以，令，

所以，

当时，即当时，有最大值，最大值为，

所以当投入B产品的资金为万元，投入A产品的资金为万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为万元.

21．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值.

【答案】最大面积是，.

【解析】由题意可得出，设，则，证明出，可得出，在中应用勾股定理得出，由此可得出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最大值，利用等号成立的条件求出值，由此可得出结论.

【详解】如图，设，由矩形的周长为，可知.设，则，

，，，，

.

在中，由勾股定理得，即，

解得，所以.

所以的面积为

.

由基本不等式与不等式的性质，得，

当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为.

【点睛】本题考查函数最值的求法，注意根据题意求出面积函数的解析式，运用基本不等式，属于中档题.

22．设函数与函数的定义域的交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的，都有”的函数组成的集合.

（1）判断函数，是不是集合M中的元素？并说明理由；

（2）设函数，，且，若对任意，总存在，使成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1），，理由见解析；（2）.

【分析】（1）由已知得，，根据定义可得结论.

（2）由函数，建立方程组可求得.再分和得出函数的单调性，建立不等式可求得实数a的取值范围.

【详解】解：（1）因为对任意，，所以.

因为对任意，，所以.

（2）因为函数，且，所以，整理得

，解得，或(舍去)，故.

当时，，.

对于函数，

当时，在上单调递增，故，由题意知

，解得；

当时，在单调递减，在单调递增，

故，由题意知，解得.

综上所述，实数a的取值范围为.

【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于紧抓函数的定义，运用函数的性质：单调性，奇偶性，值域得以解决.