2022-2023学年广东省华南师范大学附属中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022—2023学年（上）高一年级期中考试

数学

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合的交集运算即可求解.

【详解】因为，

所以.

故选：C.

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】由命题的否定的定义判断．

【详解】全称命题的否定是特称命题．

命题“，”的否定是：，．

故选：D．

3. 函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据分式和偶次根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果.

【详解】由题意得：得：且，定义域为.

故选：C.

4. 已知函数，有，则实数（    ）

A. 或4 B. 或2 C. 2或9 D. 2或4

【答案】D

【解析】

【分析】由分段函数求值运算可得方程，求解即可

【详解】，，即，解得或.

故选：D

5. 我国西北某地长期土地沙漠化严重，近几年通过各种方法防沙治沙效果显著，两年间沙地面积从公顷下降为公顷，则这两年的平均下降率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由平均变化率的计算方法直接求解即可.

【详解】平均下降率为.

故选：C.

6. 某汽车制造厂建造了一个高科技自动化生产车间，据市场分析这个车间产出的总利润（单位：千万元）与运行年数满足二次函数关系，其函数图象如图所示，则这个车间运行（    ）年时，其产出的年平均利润最大．

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据图象可求得二次函数解析式，由此可得，根据基本不等式取等条件可求得结果.

【详解】由题意可设：，

由图象可知：当时，，解得：，

，

（当且仅当时取等号），

当车间运行年时，其产出年平均利润最大.

故选：B.

7. 设函数的图象关于点对称，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据奇函数图象关于对称，可通过函数平移变换得到所求函数.

【详解】由题意知：将图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得函数关于点对称，则所得函数为奇函数，

为奇函数.

故选：C.

8. 若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为（    ）

A. 和 B. 和

C. 和 D. 和

【答案】B

【解析】

【分析】当可求得；当时，，由已知关系式可得，进而得到；由二次函数性质可得单调递增区间.

【详解】当时，，则，

在上单调递增；

当时，，，

，

在上单调递增；

综上所述：的单调递增区间为和.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 不等式成立的充分不必要条件可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解法求出原不等式为，结合充分条件、必要条件的定义直接得出结果.

【详解】由题意知，，

所以是充分不必要条件.

故选：AC.

10. 下列说法正确的为（    ）

A. 对任意实数，

B.

C. 函数的图象在的图象的上方

D. 函数的最小值为

【答案】BD

【解析】

【分析】由反例可知AC错误；根据指数函数和幂函数单调性可知B正确；利用基本不等式可知D正确.

【详解】对于A，当时，无意义，A错误；

对于B，，，在上单调递增，；

在上单调递增，，，B正确；

对于C，当时，，C错误；

对于D，，（当且仅当，即时取等号），，D正确.

故选：BD.

11. 已知，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用作差法可知AB正误；由可推导得到，进而确定C正确；由不等式的性质可知D正确.

【详解】对于A，，

，，，，，A错误；

对于B，，

，，，，

，，B正确；

对于C，，，

，

，，即，

，，C正确；

对于D，，，D正确.

故选：BCD.

12. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（    ）

A.  B. 为偶函数

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项：利用赋值的思路，令，，即可得到；

B选项：令，得到，即可得到为偶函数；

C选项：令，得到，再结合，，即可得到；

D选项：令，取得到，令，取得到，再结合C选项的结论即可得到.

详解】A选项：令，，则，又，则，故A正确；

B选项：定义域为R，关于原点对称，令，则，即，所以为偶函数，故B正确；

C选项： 令，则，即，则，又，，

所以 ，，故C错；

D选项：令，取可得，，整理得，

令，取可得，，整理得，再结合C选项可得，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知函数，则_______．

【答案】14.

【解析】

【分析】令求出，再将代入函数中可求得结果.

【详解】令，得，

所以，

故答案为：14.

14. 已知集合只有个子集，则实数______．

【答案】

【解析】

【分析】由子集个数可知有且仅有一个元素，分别在和的情况下讨论即可得到结果.

【详解】只有个子集，有且仅有一个元素；

当时，，则，不合题意；

当时，若有且仅有一个元素，则，解得：；

综上所述：.

故答案为：.

15. 若正实数a，b满足，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】

【分析】①，由①得，②，利用①和②得，

，进而利用基本不等式即可求出最小值，注意等号成立的条件.

【详解】由①，由①得，②，故由①和②，可得

，当且仅当时，等号成立，

即时，的最小值为.

故答案为：

16. 设函数，若存在最大值，则实数的取值范围为_________．

【答案】

【解析】

【分析】当时，由二次函数性质可知无最大值；当时，，无最大值；当时，分别在两段区间内求得的取值范围，根据有最大值可构造不等式求得结果.

【详解】当时，开口方向向上，此时无最大值，不合题意；

当时，，此时，无最大值，不合题意；

当时，若，；若，在上单调递增，在上单调递减，则；

若存在最大值，则，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. （1）若，求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）6.

【解析】

【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求出，从而可求得的值；

（2）利用根式的性质和分数指数幂的运算性质化简式子，再代值计算即可.

【详解】（1）因为

，

所以；

（2）

，

因为，

所以原式.

18. 已知集合，

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式和分式不等式可求得集合，由并集定义可得结果；

（2）根据补集定义和并集结果得，结合可知，由此可解得结果.

【小问1详解】

当时，；

由得：，解得：，则；

.

【小问2详解】

由（1）知：，；

，；

由得：，

若，则，解得：，即实数取值范围为.

19. 已知函数是单调递减的指数函数．

（1）求的值；

（2）求不等式的解集．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据指数函数定义和指数函数单调性可构造方程求得的值；

（2）将所求不等式化为，令，解关于的一元二次不等式可求得，进而根据指数函数单调性解得的范围.

【小问1详解】

为指数函数，，解得：或，

或，又单调递减，，即.

【小问2详解】

由得：；

令，则，解得：，即，解得：，

的解集为.

20. 已知函数．

（1）若在区间上单调递减，求的值；

（2）若，求不等式的解集．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）分别在和的情况下得到的单调性，由此可构造不等式组求得的值；

（2）令，根据奇偶性定义可知为奇函数，结合二次函数单调性可确定为上的增函数；将所求不等式化为，结合单调性可得自变量大小关系，进而解得结果.

【小问1详解】

由题意得：；

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递增，在上单调递减，

，解得：.

【小问2详解】

当时，；

令，

的定义域为，，

为定义在上的奇函数，

当时，，在上单调递增，

又为奇函数，在上单调递增，则在上单调递增；

由得：；

即，，解得：，

不等式的解集为.

21. 某蔬菜仓库供应甲、乙两个大型超市．蔬菜仓库的设计容量为万吨，去年年底时该仓库的蔬菜存储量为万吨，从今年开始，每个月购进蔬菜万吨，再按照需求量向两个超市调出蔬菜．已知甲超市每月的蔬菜需求量为万吨，乙超市前个月的蔬菜总需求量为万吨，其中且，且前个月，乙超市的蔬菜总需求量为万吨．

（1）求第个月月底时，该仓库的蔬菜存储量（万吨）与的函数关系式；

（2）若要今年每月按计划购进蔬菜之后，仓库总能满足两个超市的需求，且每月调出蔬菜后，仓库的蔬菜剩余量不超过设计容量，试确定的取值范围．

【答案】（1）（且）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用前个月乙超市的蔬菜总需求量可构造方程求得，由此可得函数关系式；

（2）将问题转化为对任意且恒成立，采用分离变量法，并令，可将问题转化为恒成立，通过求解二次函数的最值可求得结果.

【小问1详解】

由题意知：，解得：；

（且）.

【小问2详解】

由题意得：，即；

对任意且恒成立；

设，则，

当，即时，；当，即时，；

，则，的取值范围为.

22. 已知函数为奇函数．

（1）求实数的值，并判断函数的单调性；

（2）当时，求函数的最小值；

（3）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．

【答案】（1）；在上单调递增   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由奇函数定义可构造方程求得的值；设，由可得单调性；

（2）令，将所求函数配凑为，由二次函数性质可得最小值；

（3）根据单调性可知是方程的两根，令，将问题转化为在上有两个不同解，根据一元二次方程根的分布可直接构造不等式组求得结果.

小问1详解】

为奇函数，，即，，

；

设，则，

，，又，，

在上单调递增.

【小问2详解】

由（1）得：；

令，则，，

当时，，即.

【小问3详解】

由（1）知：在上单调递增，，

则是方程的两根，

由得：，即；

令，则，在上有两个不同解，

，解得：且，

即实数的取值范围为.