2022-2023学年广东省深圳市福田区红岭中学高一上学期期中数学试题(解析版)
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这是一份2022-2023学年广东省深圳市福田区红岭中学高一上学期期中数学试题(解析版),共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省深圳市福田区红岭中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1.已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,1,2,3},B={3,4,5},则=( )A.{3} B.{4,5} C.{4,5,6} D.{0,1,2}【答案】B【解析】先求出集合A的补集,再求即可【详解】解:因为全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,1,2,3},所以,因为B={3,4,5},所以,故选:B2.我国著名的数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事休.在数学学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中,既是奇函数,又在区间上单调递增的是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】AD选项不是奇函数,B选项不满足在上单调递增,C选项满足要求.【详解】,故不是奇函数,A错误;为对勾函数,在上单调递减,在上单调递增,故B错误;,在上单调递增,且定义域为R,,故为奇函数,满足要求,C正确;定义域为R,且,故不是奇函数,D错误.故选:C3.“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分也不必要条件【答案】B【解析】首先解出的解集,再判断两个集合的包含关系,由包含关系确定选项.【详解】设,, , “”是“”的必要不充分条件.故选:B4.某校为调查学生参加研究性学习的情况,从全校学生中随机抽取名学生,其中参加“数学类”的有名,既参加“数学类”又参加“理化类”的有名,“数学类”和“理化类”都没有参加的有名,则该校参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】利用集合的韦恩图,列出方程,求得只参加“理化类”的学生人数,进而求得参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值.【详解】设参加“数学类”的学生人数构成集合,参加“理化类”的学生人数构成集合,其中只参加“理化类”的学生人数为人,样本100人构成全集,根据题意,可得,解得,所以参加“理化类”的学生人数为人,所以参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值是.故选:C.5.已知两个函数和的定义域和值域都是集合,其定义如下表:123 123213 321 则方程的解集为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】分别考虑时是否满足方程,若满足则是方程的解,若不满足则不是方程的解.【详解】当x=1时,g[f(1)]=g(2)=2=1+1∴x=1是方程的解当x=2时,g[f(2)]=g(1)=3=2+1∴x=2是方程的解当x=3时,g[f(3)]=g(3)=1≠3+1∴x=3不是方程的解.故选C.【点睛】本题考查根据函数的定义域与值域的对应关系求方程的解,难度较易.求形如的复合函数的值时,可先计算出内层的值,然后根据的值,计算外层的值.6.设,,,则a,b,c的大小顺序为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】由函数与的单调性可得答案.【详解】由函数在上是单调递减函数,则,即 由函数在上是单调递增函数,则,即 所以 故选:A7.若是奇函数,且在内是增函数,又,则的解集是( )A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论.【详解】因为是奇函数,又,所以,由得或,而且奇函数在内是增函数,所以或解得或,所以不等式的解集为或故选:D8.定义在上的函数满足,且当时,.若对,都有,则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【分析】根据已知,利用分段函数的解析式,结合图像进行求解.【详解】因为当时,,所以,又因为函数满足,所以函数的部分图像如下,由图可知,若对,都有,则.故A,C,D错误.故选:B. 二、多选题9.已知关于的不等式的解集为或,则下列说法正确的是( )A.B.的解集为C.D.的解集为【答案】AD【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可.【详解】因为关于的不等式的解集为或,所以且方程的两个根为,,即.因此选项A正确;因为,,所以由,因此选项B不正确;由可知:,因此选项C不正确;因为,所以由,解得:,因此选项D正确,故选:AD10.已知实数,则下列结论一定正确的有( )A. B.C. D.【答案】BCD【分析】利用举实例判断A选项,利用不等式的基本性质判断B选项,利用作差法比较大小判断C,D选项.【详解】解:因为,所以选项A,当,,时,则,故A错误;选项B,由于,所以,则,故B正确;选项C,因为,所以,则,则,故C正确;选项D,,,,,故D正确.故选:BCD.11.下列幂函数中满足条件的函数是( )A. B. C. D.【答案】BD【解析】先明确题目中条件对应函数的性质,再根据性质进行判断选择.【详解】由题意可知,当时,满足条件的函数的图象是凹形曲线.对于A,函数的图象是一条直线,故当时,;对于B,函数的图象是凹形曲线,故当时,;对于C,函数的图象是凸形曲线,故当时,;对于D,在第一象限,函数的图象是一条凹形曲线,故当时, ,故选:BD.【点睛】本题考查函数图象与性质,考查综合分析判断能力,属中档题.12.给出以下四个命题中正确的( )A.若集合,,,则,B.函数的单调递减区间是C.在上是增函数,则实数的取值范围是D.若,且,则【答案】AC【分析】对于A,根据集合相等以及元素的互异性,可得答案;对于B,根据反比例函数的单调性,可得答案;对于C,根据一次函数和对勾函数的单调性,结合分段函数的单调性,可得答案;对于D,由题意,整理可得,化简求和,可得答案.【详解】对于A,由,则,易知,解得,故A正确;对于B,的单调递减区间为和,故B错误;对于C,由题意,可得,解得,易知函数在上单调递增,故C正确;对于D,由题意,当时,,则,即,故D错误.故选:AC. 三、填空题13.命题:“,”的否定:__________.【答案】,【解析】利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“,”的否定为:,.故答案为:,.【点睛】本题考查全称命题的否定,考查全称命题与特称命题的关系,属于基本知识的考查.14.当时,幂函数为减函数,则_________.【答案】2【分析】利用幂函数定义即可得到结果.【详解】函数为幂函数,则,解得或,又因为函数在上单调递减,可得,可得,故答案为:215.已知,若正数,满足,则最小值为______.【答案】1【分析】由函数的解析式,判断其为奇函数,进而得到,借此根据基本不等式“1”的代换求出原式的最小值即可.【详解】由题,所以是奇函数,满足又所以即所以故答案为:1.16.定义,若函数,且在区间上的值域为,则区间长度的最大值为________.【答案】 .【分析】根据定义作出函数的图像,根据函数值域,求出对应点的坐标,利用数形结合进行判断即可.【详解】根据定义作出函数的图像如图:(实线部分的曲线).其中,即.当时,当或时,由,解得:或;当时,当时,由解得:.由图像知,若函数在区间上的值域为,则区间长度的最大值为.故答案为: 四、解答题17.化简求值:(1);(2).【答案】(1)109(2)1 【分析】(1)根据分数指数幂的运算法则进行计算,把根式转化为分式进行化简,分式转化为根式计算出结果;(2) 根据分数指数幂的运算法则进行化简,即可得出结果.【详解】(1)解:原式为(2)解:原式为18.设全集是实数集,,.(1)当时,求和;(2)若,求实数的取值范围.【答案】⑴,.⑵.【详解】本试题主要是考查了集合的运算以及二次不等式的求解的综合运用.(1)因为全集是实数集R,,得到,当时,,故,..(2)由于,得到集合的关系在求解参数的范围.解析:⑴,当时,,故,.⑵由,知.①,;②当时,,,,只要满足,则;综上所述.19.(1)已知恒成立,求的取值范围;(2)解关于的不等式.【答案】(1);(2)见解析【分析】(1)分、两种情况讨论,在时,直接验证即可,在时,由已知条件可得出关于实数的不等式组,综合可得出实数的取值范围;(2)将所求不等式变形为,对与的大小进行分类讨论,结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【详解】(1)因为恒成立.①当时,恒成立,合乎题意;②当时,则,解得.综上所述,.(2)由得.①当时,即当时,原不等式的解集为;②当时,即当时,原不等式的解集为;③当时,即当时,原不等式的解集为.综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.20.已知函数是定义在上的函数,恒成立,且.(1)确定函数的解析式;(2)判断在上的单调性,并用定义证明;(3)解不等式.【答案】(1);(2)在单调递增,证明见解析;(3). 【分析】(1)根据,待定系数即可求得函数解析式;(2)利用单调性的定义,结合函数解析式,即可判断和证明;(3)利用函数奇偶性和单调性求解不等式即可.【详解】(1)根据题意,是上的奇函数,故;又,故,则.(2)在单调递增,证明如下:在上任取,则,因为,故可得,即,又,则,结合,可得:,即,故在单调递增.(3)等价于,又在是单调增函数,故可得,解得,即不等式的解集为:.21.2020年初,新冠肺炎疫情袭击全国,对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下,我国控制住疫情后,一方面防止境外疫情输入,另一方面逐步复工复产,减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响,某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元满足(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(此处每件产品年平均成本按元来计算)(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为29万元 【分析】(1)根据题意列方程即可.(2)根据基本不等式,可求出的最小值,从而可求出的最大值.【详解】(1)由题意知,当时,(万件),则,解得,∴.所以每件产品的销售价格为(元),∴2020年的利润.(2)∵当时,,∴,当且仅当即时等号成立.∴,即万元时,(万元).故该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为29万元.22.已知,函数.(1)当,请直接写出函数的单调递增区间和最小值(不需要证明);(2)记在区间上的最小值为,求的表达式;(3)对(2)中的,当,恒有成立,求实数的取值范围.【答案】(1)递增区间为,.(2).(3) 【分析】(1)当时,函数去绝对值,利用分段的形式写出函数的表达式,根据二次函数的单调性可直接判断函数的单调递增区间及最值.(2)函数去绝对值,利用分段的形式写出函数,讨论的取值范围,求解函数的单调性,进而求出最小值的表达式;(3)构造函数,只需即可,讨论的取值范围,求解函数的单调性,进而求出函数最大值即可.【详解】(1)解(1)当时,,即,则,故函数的递增区间为,递减区间为,.(2)由题可知,当时,在上递减,在递增,则;当时,在上递减,则,综上:.(3)(3)令,只需,当,且时,,在上单调递减,∴,当时,,在上单调递增,∴;当时,,在上递减,∴,综上可知,,所以.
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