2022-2023学年河北省保定市第二十八中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省保定市第二十八中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求，再求．

【详解】由已知得，所以，故选C．

【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．

2．下列哪一项是“”的必要条件

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据必要条件的定义可知：“”能推出的范围是“”的必要条件，再根据 “小推大”的原则去判断.

【详解】由题意，“选项”是“”的必要条件，表示“”推出“选项”，所以正确选项为D.

【点睛】推出关系能满足的时候，一定是小范围推出大范围，也就是“小推大”.

3．设集合，则满足的集合B的个数是（    ）

A．1 B．3 C．4 D．6

【答案】C

【分析】先化简集合，结合可得，然后按照元素个数写出集合B

【详解】解：因为，，

所以，

所以若集合的元素个数为1个时，；

若集合的元素个数为2个时，或；

若集合的元素个数为3个时，；

故选：C

4．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为（    ）

A．－2 B．2

C．4 D．2或4

【答案】A

【分析】根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定正确选项.

【详解】依题意，

若，则，不满足集合元素的互异性，所以；

若，则或（舍去），此时，符合题意；

若，则，而，不满足集合元素的互异性，所以.

综上所述，的值为.

故选：A

【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合元素的互异性，属于基础题.

5．下列命题中，真命题是（    ）

A． B．若且，则x，y至少有一个大于1

C． D．的充要条件是

【答案】B

【分析】举反例可判断AD，由，可判断C，由逆否命题与原命题同真假可证明B.

【详解】选项A，当时，，错误；

选项B，若，则，故若且，则x，y至少有一个大于1，正确；

选项C，由于，故，错误；

选项D，当时，无意义，错误.

故选：B

6．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】等价转化求得一元二次方程满足题意的条件，再根据充分不必要条件即可判断.

【详解】由题意，记方程的两根分别为，，

因为一元二次方程有一个正根和一个负根，

所以，解得，

则充分不必要条件的范围应是集合的真子集，

故选：C．

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断和选择，属于基础题型.

7．已知集合，且，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由并集结果得出集合间的包含关系，由包含关系可得的不等关系，从而得的范围．

【详解】∵，∴，又，

∴，解得．

故选：D．

【点睛】本题考查集合的运算，考查集合的包含关系，掌握子集的概念是解题关键．

8．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（    ）

A．62% B．56%

C．46% D．42%

【答案】C

【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.

【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，

则，，，

所以

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.

故选：C.

【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.

二、多选题

9．（多选题）已知集合，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】先化简集合,再对每一个选项分析判断得解.

【详解】由题得集合，

由于空集是任何集合的子集，故A正确：

因为，所以CD正确，B错误.

故选ACD.

【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10．（多选）下列存在量词命题中，是真命题的是（    ）．

A．， B．至少有一个，使能同时被2和3整除

C．， D．有些自然数是偶数

【答案】ABD

【分析】对于选项A、B、D能找到一个值使命题成立，而不存在任何实数满足，从而得出选项.

【详解】A中，时，满足，所以A是真命题；

B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；

D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；

C中，因为所有实数的绝对值非负，即，所以C是假命题．

故选ABD．

【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.

11．已知集合，集合，则下列关系式正确的是（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】BD

【分析】根据给定的集合，利用交集、并集、补集的定义，逐项计算判断作答.

【详解】集合，集合，

对于A，，A不正确；

对于B，，B正确；

对于C，或，则或，C不正确；

对于D，由选项C知，，D正确.

故选：BD

三、填空题

12．设全集U=R，集合A={x|x<0），B={x|x>1}，则AU(uB)=_____________.

【答案】

【详解】 则

即答案为

13．命题“，使”是真命题，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】可根据题意得出“，恒成立”，然后根据即可得出结果.

【详解】因为命题“，使”是真命题，

所以，恒成立，即恒成立，

因为当时，，所以，的取值范围是，

故答案为：.

14．设集合，，那么“”是“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要"）.

【答案】充分不必要

【解析】根据集合的包含关系直接得到答案.

【详解】，，，

故“”是“”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的理解能力，转化为集合的包含关系是解题的关键.

四、解答题

15．已知集合.

(1)若A是空集，求的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；

(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)当时集合，当时集合；

(3)

【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围；

（2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可；

（3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解．

【详解】（1）解： 是空集，

且，

，解得，

的取值范围为：；

（2）解：①当时，集合，

②当时，，

，解得，此时集合，

综上所求，当时集合，当时集合；

（3）解：中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；

当中有2个元素时，则且，即，解得且；

综上可得时中至少有一个元素，即

16．已知集合.

(1)若，求；

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入集合，可得出集合，然后利用并集的定义可得答案；

（2）由，可得出，然后分和两种情况讨论，列出关于实数的不等式组，解出即可.

【详解】（1）当时，，，因此；

（2）因为，所以，

因为，所以，

要满足，则，解得，

综上所述，实数的取值范围是.

17．已知全集U={x∈N|1≤x≤6}，集合A={x|x2-6x+8=0}，集合B={3，4，5，6}．

（1）求A∩B，A∪B；

（2）写出集合（∁UA）∩B的所有子集．

【答案】（1）；（2）见解析.

【分析】化简集合U和A，（1）根据交集和并集的概念得到A∩B与A∪B；（2）根据集合的交集补集的概念求出（∁UA）∩B，再写出它的所有子集．

【详解】全集U={x∈N|1≤x≤6}={1，2，3，4，5，6}，

集合A={x|x2-6x+8=0}={x|x=2或x=4}={2，4}，

集合B={3，4，5，6}；

（1）A∩B={4}，

A∪B={2，3，4，5，6}；

（2）∁UA={1，3，5，6}，

∴（∁UA）∩B={3，5，6}，它的所有子集是

∅，{3}，{5}，{6}，{3，5}，{3，6}，{5，6}，{3，5，6}共8个．

【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．

18．已知.

(1)是否存在实数m，使是的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

(2)是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)不存在，理由见解析.

(2)

【分析】（1）是的充要条件等价于集合，通过范围的端点值相等列方程组求解即可；

（2）是的必要条件等价于，其中集合S可能为空集，分两种情况讨论并计算即可.

【详解】（1）若是的充要条件，则

即，无解

故实数m不存在.

（2）若是的必要条件，则

当时，有，解得；

当时，，得.

综上：.

故m的取值范围为.

19．求证：方程与有一个公共实数根的充要条件是.

【答案】证明见解析.

【分析】分充分性和必要性证明，先由两方程有一个公共实数根求出参数的取值，证出必要性，再证明充分性即可．

【详解】必要性：若方程与有一个公共实数根，设为，

则

两式相减得：

或

若，两个方程均为无解，

故，代入可得.

充分性：当时，，解得；

，解得；

两个方程有公共根为1.

综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.