2022-2023学年河南省豫东名校高一上学期第一次联合调研考试数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省豫东名校高一上学期第一次联合调研考试数学试题

一、单选题

1．下列说法错误的是（    ）

A．命题“，”，则：“，”

B．已知a，，“且”是“”的充分而不必要条件

C．“”是“”的充要条件

D．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件

【答案】C

【分析】根据充分条件，必要条件，全称与特称命题的否定依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，命题p：“，”，则，：“，”满足命题的否定形式，所以A正确；

对于B选项，已知a，，“且”能够推出“，“”不能推出“且”，所以B正确；

对于C选项，时，成立，反之，时，或，所以C不正确；

对于D选项，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，满足充分与必要条件的定义，所以D正确．

故选：C．

2．已知集合，．若，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C．且 D．且

【答案】D

【分析】根据并集结果可知，进而可构造不等式，解不等式求得结果.

【详解】解：，    

 ，且

，，，解得：且

的取值范围为且

故选：D

3．若不等式的解集为，则成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合已知条件，利用一元二次不等式的解以及韦达定理求出和，进而求出的解，再利用必要不充分条件的概念即可求解.

【详解】因为若不等式的解集为，

所以与3是方程的两个根，且，

由韦达定理可知，，，

所以可化为，解得．

由A，B，C，D四个选项中可知，只有选项D满足是的真子集，

从而成立的一个必要不充分条件是.

故选：D.

4．下列函数的最小值为2的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据基本不等式及对勾函数的性质逐项分析即得.

【详解】对于A，当时，函数没有最小值，故A错误；

对于B，，因为，

根据对勾函数的性质可得，故B错误；

对于C，因为，，所以，当且仅当取等号，故C正确；

对于D，，当且仅当取等号，又，故等号不成立，故D错误.

故选：C.

5．已知，不等式对于一切实数恒成立，且，使得成立，则的最小值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【解析】根据条件对于一切实数不等式恒成立和使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得，将化成，再结合基本不等式求解即可.

【详解】解：因为不等式对于一切实数恒成立，

所以，

又因为，使得成立，

所以，所以，

即，

所以，

当且仅当时取得最小值.

故选：D.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

6．若关于的不等式对任意的，恒成立，则实数的取值范围是

A． B．或

C． D．或

【答案】C

【分析】观察式子，根据，，故可采用基本不等式得到，再求解一元二次不等式即可

【详解】因为，，所以（当且仅当时等号成立），所以由题意，得，解得，

故选C

【点睛】本题考查双变量不等式的求法，一般处理思路为：先结合不等式的性质或基本不等式求解其中一个变量的最值，再分析另一变量对应不等式应满足的条件

7．已知关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先讨论时的情况，再讨论时，不等式为一元二次不等式且解集是，得到，解不等式组求出的取值范围，最后再综合分析即可得到答案.

【详解】解：由题知，不等式的解集是，

当时，，解得：，则不符合题意；

当时，，解集为，符合题意；

当时，该不等式为一元二次不等式且解集是，

则，解得：.

综上得实数的取值范围是：.

故选：D

8．关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为关于x的不等式的解集为，

所以，又，

所以，

解得，因为，所以.

故选：A.

9．已知不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】D

【分析】对参数进行分类讨论，并结合一元二次函数的性质即可求解.

【详解】当时，不等式为，即，不符合题意；

当时，不等式对任意实数都成立，

由一元二次函数性质可知，且判别式 ，

解得．

故选:D．

二、多选题

10．（多选）设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A．a＋b＋≥2 B．≥ C．≥a＋b D．(a＋b)≥4

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可

【详解】解：因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b且2＝即a＝b＝时取等号，故A一定成立．

因为a＋b≥2>0，所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，所以≥不一定成立，故B不成立．

因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，

所以＝＝a＋b－≥2－，当且仅当a＝b时取等号，

所以≥，所以≥a＋b，故C一定成立．

因为(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立，

故选：ACD．

11．下列说法正确的是（    ）

A．若，，则一定有

B．若，，且，则的最小值为0

C．若，，，则的最小值为4

D．若关于的不等式的解集是，则

【答案】ABC

【分析】对A，利用不等式的性质可判断；对B，可得，利用单调性可求；对C，利用基本不等式可求出的范围；对D，可得2和3是方程的两个根，求出可判断.

【详解】对A，由可得，则，又，，即，故A正确；

对B，若，，且，则，

可得，由在上单调递减可得当时，取得最小值为0，故B正确.

对C，，当且仅当等号成立，

即，解得或，

因为，，所以，即的最小值为4，故C正确；

对D，可得2和3是方程的两个根，则，解得，则，故D错误.

故选：ABC.

12．已知不等式对一切恒成立，则（    ）

A．的最小值为 B．的最大值为

C．取最小值且不等式取等号时 D．取最大值且不等式取等号时

【答案】AC

【分析】利用配凑法求出的最小值，再借助不等式恒成立即可得解.

【详解】令，，于是得，

当且仅当，即时取“=”，

因此，当时，

不等式对一切恒成立，等价于，，

则有，

所以的最小值为，且时，.

故选：AC

三、填空题

13．已知集合，，且，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】先求得集合，根据，得出，结合二次函数的性质，分和两种情况讨论，即可求解.

【详解】因为，

所以不等式，可化为，可得，

又由，所以集合，

又因为，所以，所以，

要使得，

对于不等式，

当时，不等式可化为不成立，此时不等式的解集为；

当时，要使得，则满足，解得，

综上可得，实数的取值范围是.

故答案：

14．设全集为，集合，集合，若，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】由交集不是空集得不等关系，从而求得参数范围．

【详解】因为集合，集合，且，

所以，解得，

故答案为：．

15．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______

【答案】20

【详解】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.

七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.

所以一月份至十月份的销售总额为:

3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,

所以xmin=20.

16．若不等式对一切成立，则的取值范围是 _    _ .

【答案】

【详解】当，时不等式即为 ，对一切恒成立 ①

当时，则须 ，∴②

由①②得实数的取值范围是，

故答案为.

四、解答题

17．已知，．

(1)当0是不等式的一个解时，求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)将0代入不等式即可求解；(2)分别化简命题和，并写出，然后利用充分不必要条件的概念和集合间的包含关系求解即可.

【详解】(1)由题意，将代入不等式可得，

，解得，

故实数的取值范围.

(2)由，解得或．

由，解得．

故或，，从而或，

因为是的充分不必要条件，

所以或是或的真子集，

即，解得，

故实数的取范围为.

18．已知函数．

(1)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；

(2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)结合已知条件，分类讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，并结合二次函数性质求最小值即可求解；(2)首先将一元二次不等式转化成关于的一元一次不等式，然后利用一次函数性质求解即可.

【详解】(1)由于对于任意，恒成立，故．

又函数的图像的对称轴方程为，且开口向上，

当时，即时，在上单调递增，

故，求得无解；

当时，即时，在上单调递减，

故，求得；

当时，即时，由二次函数性质可知，

恒成立.

综上所述，实数的取值范围．

(2)若对于任意，恒成立，等价于，

∴，求得，

即的范围为．

19．某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q（万件）与广告费x（万元）之间的关系式为.已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.

（1）试写出年利润W（万元）与年广告费x（万元）的关系式；

（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？

【答案】（1）；（2）当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元.

【分析】（1）由题意可得，产品的生产成本为万元，得到每万件销售价，进而得到年销售输入，即求解年利润的表达式；

（2）令，则，利用基本不等式求解最值，即可得到结论.

【详解】（1）由题意可得，产品的生产成本为万元，每万件销售价为：，

∴年销售收入为，

∴年利润

.

（2）令，则

.

∵,∴，即，

当且仅当，即时，有最大值42，此时.

即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元.

20．已知．

(1)若的解集为，求关于的不等式的解集；

(2)解关于的不等式．

【答案】(1)或

(2)见解析

【分析】(1)通过一元二次不等式的解集以及韦达定理求出参数，然后将分式不等式转化成一元二次不等式求解即可；

(2)对参数进行分类讨论，并结合一元二次不等式的求解方法即可得到答案.

【详解】(1)由的解集为可知，

和为的两个根，

由韦达定理可知，且，解得，

从而且，

解得或，

故关于的不等式的解集为或.

(2)当时，原不等式可化为，解得；

当时，原不等式可化为，解得或；

当时，原不等式可化为，

当，即时，解得；

当，即时，解得；

当，即时，解得．

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为．

21．设函数

（1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围；

（2）若对于恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由不等式恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解；

（2）要使对于恒成立，整理得只需恒成立，结合基本不等式求得最值，即可求解.

【详解】（1）由题意，要使不等式恒成立，

①当时，显然成立，所以时，不等式恒成立；

②当时，只需，解得，

综上所述，实数的取值范围为.

（2）要使对于恒成立，

只需恒成立，

只需，

又因为，

只需，

令，则只需即可

因为，当且仅当，即时等式成立；

因为，所以，所以.

【点睛】本题主要考查了含参数的不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及转化思想的应用，属于基础题.

22．已知关于的方程．

（1）求证：无论取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根满足，求的值及相应的．

【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.

【解析】（1）计算根的判别式Δ＝，可得证；

（2）由韦达定理得x1x2＝－≤0，得x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0．分两种情况分别求解可得答案．

【详解】解：（1）因为Δ＝，所以无论取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）∵x1x2＝－≤0，∴x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0．

①若x1≤0，x2≥0，则x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此时，方程为x2－2x－4＝0，∴，．

②若x1≥0，x2≤0，则－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2，

∴m＝0．此时，方程为x2＋2x＝0，∴x1＝0，x2＝－2．

【点睛】本题考查一元二次方程的根的判断式，根的韦达定理的应用，属于中档题．