2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期10月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期10月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用列举法表示全集，进而进行集合间的运算.

【详解】由已知得，

则，

所以，

故选：B.

2．已知命题p：“，有成立”，则命题p的否定为（    ）

A．，有成立 B．，有成立

C．，有成立 D．，有成立

【答案】B

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得出结果.

【详解】解：根据特称命题的否定是全称命题即可得命题p：“，有成立”的否定是“，有成立”，

故选：B

3．已知集合，则M与N的关系可用Venn图表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由集合关系与Venn图的关系判断．

【详解】由已知，选项D符合．

故选：D．

4．已知集合A={0，1，2}，B={x|x=ab，a，b∈A}，则B的子集的个数是（    ）

A．16 B．8 C．7 D．4

【答案】A

【分析】根据题意将集合B写出，再计算子集个数即可.

【详解】由题意可知，，所以B的子集的个数是16，

故选：A.

5．如果，，，，则正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，且，则 D．若，，则

【答案】C

【详解】对于A，B，D举反例即可判断结果，根据作差法即可判断C.

【分析】取，，则，故A错；

取，则，故B错；

由于，且，所以，则，故C正确；

取，，，，则，，故D错.

故选：C

6．函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】换元设，可得，再结合与二次函数的范围求解即可.

【详解】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为.

故选：A．

7．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】方法一：不妨设，解即可得出答案.

方法二：取，则有，又因为，所以与矛盾，即可得出答案.

方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得，利用函数的单调性可得，解不等式即可求出答案.

【详解】［方法一］：特殊函数法

由题意，不妨设，因为，

所以，化简得．

故选：D.

［方法二］：【最优解】特殊值法

假设可取，则有，

又因为，所以与矛盾，

故不是不等式的解，于是排除A、B、C．

故选：D.

［方法三］：直接法

根据题意，为奇函数，若，则，

因为在单调递减，且，

所以，即有：，

解可得：.

故选：D.

【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法；

方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解；

方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题的通性通法．

8．已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别求解分段函数在每一段定义区间内的最小值，结合函数在整体定义域内的最小值得到关于a的不等式组，解不等式组得到a的取值范围.

【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，

即当时，函数的最小值为；

当时，，

要使得函数的最小值为，

则满足解得．

故选：A．

二、多选题

9．[多选题]下列四个选项中能表示函数的图象的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据函数的定义即可判断

【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变量有唯一的一个变量与之对应，所以B，D满足函数的定义．因为A，C中，都存在一个对应着两个的情况，所以不符合题意．

故选：BD

10．下列函数中，与函数不是同一个函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.

【详解】解：的定义域为．

对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；

对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数；

对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数；

对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数．

故选：ACD．

11．若，，当时，，则下列说法错误的是（    ）

A．函数为奇函数

B．函数在上单调递增

C．

D．函数在上单调递减

【答案】ABD

【分析】由题意求出，作出图象，即可求解

【详解】由，可知，，

可知关于直线对称，当时，，

当时，，，

所以，

作出的图象，

所以在，上单调递增，在，上单调递减，

，不是奇函数，故ABD错误，C正确；

故选：ABD

12．定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】求出在上的值域，利用得到在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a的取值范围.

【详解】当时，

可知在上单调递减，在上单调递增，

所以在上的值域为，在上的值域为，

所以在上的值域为，

因为，所以，所以在上的值域为，

当时，为增函数，在上的值域为，所以，解得：；

当时，为减函数，在上的值域为，所以，解得：；

当时，为常数函数，值域为，不符合题意；

综上：的取值范围是.

则ABD满足题意.

故选：ABD

三、填空题

13．设函数，若，则_________.

【答案】或

【分析】分和两种情况解方程，可得出实数的值.

【详解】∵，

∴当时，，解得或；

当时，，解得(舍去)；

综上所述，或.

故答案为：或.

14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.

【答案】

【分析】根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.

【详解】函数的定义域为，即，所以，

所以，即，

所以函数的定义域为.

故答案为：.

15．若不等式 ​的解集为​，则​的值是____________.

【答案】

【分析】由题意可得的根为和，再利用根与系数的关系可求出，从而可求出的值.

【详解】因为不等式的解集为

所以 的根为和

所以有: 且

解得:

所以

故答案为: .

16．已知正数满足，则的最大值是___________.

【答案】

【分析】设，表达出，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可.

【详解】设，则，

所以，当且仅当时取等号.

所以，解得，即的最大值，当且仅当，即，时取等号.

故答案为：

四、解答题

17．已知，.

(1)求的取值范围；

(2)求的取值范围；

(3)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】根据不等式的性质求范围即可.

【详解】(1)因为，，

两个不等式相加可得，解得，

所以x的取值范围是.

(2)因为，，

所以，

所以

所以的取值范围是.

(3)设， 则

所以解得：

所以，

因为所以①.，

因为，所以②，

①+②得，

所以的取值范围是.

18．已知集合．

(1)当时，求集合A的非空真子集；

(2)当时，若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1），则，根据定义求非空真子集即可；

（2）当时，有；当时有或，分别求解取并集即可

【详解】(1)，

∴集合A的非空真子集为；

(2)i.当时，成立，则有；

ii.当时，或，解得或，

综上，实数m的取值范围为.

19．命题成立；命题成立.

(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围；

(3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）当为真命题时，，求解即可；

（2）当命题为假命题时，，求解即可；

（3）先求出命题与命题均为假命题时的取值的范围，再求出补集即可求解

【详解】(1)若命题为真命题，

则，解得，

所以实数的取值范围是；

(2)若命题为假命题，

则，解得，

所以实数的取值范围是；

(3)由（1）（2）可知命题与命题均为假命题时，则

或，

解得，

故命题与命题中至少有一个为真命题，

则或

所以实数的取值范围是.

20．已知函数.

(1)求函数的解析式；

(2)设，若存在使成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）由配凑法得，再结合，即可求出的解析式；

（2）先求出，将题设转化为在上有解，换元后利用二次函数的性质求出最小值即可求解.

【详解】(1)，则，又，则；

(2)，又存在使成立，即在上有解，

令，设，易得在单减，则，

即，故实数的取值范围为.

21．（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）根据题意分和两种情况求解；

（2）不等式等价于，然后分，和三种情况求解.

【详解】解：（1）由题意，恒成立，

当时，不等式可化为，不满足题意；

当时，满足，即，解得.

（2）不等式等价于.

当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，此时，

所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，

①当时，，不等式的解集为；

②当时，，不等式的解集为或；

③当时，，不等式的解集为或.

22．已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.

(1)证明：当时，；

(2)判断的单调性并加以证明；

(3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)函数单调递减，证明见解析

(3)

【分析】（1）赋值法，取可得，再令可证；

（2）先设，然后用代换中的，结合（1）可证；

（3）根据已知和单调性去掉函数符号，然后分离参数，利用基本不等式可得.

【详解】(1)；

；

当时，；；

当时，.

(2)单调递减.

证明：

即

单调递减

(3)函数的定义域是    ；

恒成立；

由（2），单调递减，恒成立，恒成立，

因为，当且仅当时等号成立

所以；

又有意义，所以

综上：.