2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合文氏图、补集和交集的知识确定正确答案.

【详解】文氏图中阴影部分表示的集合为.

故选：D

2．下列各组函数与的图象相同的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分别看每个选项中两个函数的定义域和解析式是否相同即得.

【详解】对于A，的定义域是R，的定义域是，故不满足；

对于B，与的解析式不同，故不满足；

对于C，的定义域是R，的定义域是，故不满足；

对于D，，满足

故选：D

3．设集合，，则的真子集共有（    ）

A．15个 B．16个 C．31个 D．32个

【答案】A

【分析】解一元二次不等式，求出，从而求出，得到的真子集个数.

【详解】由题意得，，

解得：或，所以或，

所以，所以的子集共有个，真子集有15个．

故选：A．

4．已知，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据，利用整体思想求出的解析式，求得，从而即求出．

【详解】解：因为，

所以，

，

所以.

故选：D．

5．设，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中正确的结论的序号为（    ）

A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③

【答案】B

【分析】根据数的性质以及不等式性质可判断①③；举反例可判断②，根据不等式性质可判断④，即可判断答案.

【详解】因为，故，故①正确；

不妨取 ，满足，但，故②错误；

由，可得，故③错误；

由于，则，而，

故，即，故④正确，

故选：B

6．已知，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】化简可得，根据基本不等式即可求得答案.

【详解】由题意得：

因为，所以，，

所以，

当且仅当，即时取等号.

故选：D.

7．不等式成立的必要不充分条件有（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解得，再根据题意依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：不等式，

所以对于A选项，互为充要条件；

对于BD选项，是不等式成立的既不充分也不必要条件，

对于C选项，∵ ，∴不等式成立的必要不充分条件是C.

故选：C.

8．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，即不等式的解集为，分，，三种情况讨论，即得解

【详解】函数的定义域为，即不等式的解集为

（1）当时，得到，显然不等式的解集为；

（2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能．

（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为，

得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；

综上，的取值范围为

故选：B

二、多选题

9．已知集合，且，则的可能取值有（    ）

A．1 B． C．3 D．2

【答案】AC

【解析】利用，可得或，解出的值代入集合验证满足元素互异性即可.

【详解】因为，所以或，解得：，或，，

当时，，符合题意，

当时，，符合题意，

当时，，不满足元素互异性，不成立

所以或，

故选：AC

【点睛】本题主要考查了元素的确定性和互异性，属于基础题.

10．下列说法中正确的有（    ）

A．“”是“”成立的充分不必要条件

B．命题：，均有，则的否定：，使得

C．设是两个数集，则“”是“”的充要条件

D．设是两个数集，若，则，

【答案】ACD

【分析】举反例可判断A选项；由全称例题的否定是特称命题可判断B选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项.

【详解】解：对于A，当时，能推出， 而由 不能推出 ，如，而，

所以 “”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；

对于B，命题：，均有，则命题的否定：，使得，故B不正确；

对于C，是两个数集，则由能推出，反之，由 能推出 ，

所以 “”是“”的充要条件，故C正确；

对于D，是两个数集，若，即集合A、B存在相同的元素，则，，故D正确，

故选：ACD.

11．已知，，且，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为 B．的最大值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】AB

【分析】利用基本不等式及函数的性质计算可得.

【详解】解：对于A：由，，，则，

所以，解得，

所以，

所以当时，有最小值，故A正确．

对于B：由，，，即，当且仅当，即，时等号成立，

所以的最大值是，故B正确；

对于C：由，，，则，所以，解得，

所以，因为，所以，

所以，所以，即，故C错误；

对于D：，

当且仅当，即，时取等号，故D错误；

故选：AB

12．已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项.

【详解】当时，，即，此时，符合题意，

当时，，即，

由可得或，

因为，所以或，可得或，

因为，所以，

所以实数的取值范围为或，

所以选项ABC正确，选项D不正确；

故选：ABC.

三、填空题

13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.

【答案】.

【分析】抽象函数定义域问题，同一个对应法则下，括号内的式子取值范围相同，故，求出答案.

【详解】由题意得：，解得：.

故答案为：.

14．已知函数，则_______

【答案】

【分析】利用函数的解析式可求得的值.

【详解】因为，所以，.

故答案为：.

15．已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】由得到单调递减，再根据分段函数的单调性列出不等式组，求出的取值范围.

【详解】由可知：为单调递减函数，

故，，且，

解得：，

则的取值范围是.

故答案为：.

16．用表示、、三个数中的最小值，则的最大值为________.

【答案】6

【解析】依题意写出分段函数解析式，由分段函数的最值求解最大值．

【详解】解：因为

所以，函数图象如下所示：

则可知当时，

函数取得最大值，

最大值为：6．

故答案为：6．

【点睛】本题考查新定义函数，分段函数的性质的应用，考查数形结合思想，属于中档题.

四、解答题

17．（1）已知，或，求.

（2），求.

【答案】（1）或，；（2）

【分析】（1）利用交集、并集的定义即求；

（2）利用补集的定义可求.

【详解】（1）∵，或，

∴或，

（2）∵或，

∴.

18．已知是二次函数，且满足，

（1）求的解析式.

（2）当，求的值域.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）设，通过，可求函数的解析式；

（2）利用二次函数的性质求解函数的最值即可．

【详解】（1）设 ，因为，所以c=2

又，

∴即，

∴，

∴，

∴.

(2)∵在区间单调递减，在区间单调递增，

又因为，所以当时，的最小值是

又因为，当时， ，，

 所以的值域是.

19．已知函数.

（1）用分段函数的形式表示该函数.

（2）并画出函数在区间上的图象；

（3）写出函数在区间上的单调区间､最值.

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）单调递增区间，；单调递减区间；最大值3，最小值－3．

【分析】（1）可将函数解析式转化为；

（2）由解析式即可画出图象；

（3）利用函数的图象，由图象的变化趋势以及图象的最高点和最低点，即可得到答案．

【详解】（1）因为，

所以；

（2）函数在区间上的图象如图所示：

（3）由的图象可得，单调递增区间，；单调递减区间；最大值3，最小值－3．

20．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碳化为某种化工产品，经测算，该处理成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.

(1)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

(2)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？

【答案】(1)40吨

(2)不会获利，700万元

【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.

（2）当时，该工厂获利S，则，再结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由题意可得，二氧化碳的平均处理成本，，

当时，，

当且仅当，即等号成立，

故取得最小值为，

故当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少.

（2）当时，该工厂获利S，

则，

当时，，

故该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂不会亏损.