2022-2023学年湖北省黄石市高一上学期9月月考模拟数学试题（解析版）

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2022-2023学年湖北省黄石市高一上学期9月月考模拟数学试题一、单选题1．设集合，，若，则实数a的取值范围是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出集合B，再由求出实数a的范围.【详解】或.因为集合，，所以.故选：D2．已知是定义在R上的奇函数，且，当时，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由结合是奇函数，可得是周期为2的周期函数，然后利用函数的周期性可求得结果.【详解】由是奇函数及，得，所以，从而是周期为2的周期函数，所以.故选：C.3．已知，，则M，N的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】用作差法比较大小．【详解】，所以．故选：A．4．已知区间，则下列是“对任意的，”的必要不充分条件的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可知对任意的，等价于，由此即可选出答案.【详解】由“对任意的，”，得，即，则原题等价于探求“”的必要不充分条件，A选项“”为“”的充要条件，故A错误；B选项“”为“”的必要不充分条件，故B正确；C选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故C错误；D选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故D错误；故选：B.5．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ）A． B．或C． D．或【答案】C【分析】先由结合基本不等式求出的最小值，进而得，再解一元二次不等式即可.【详解】由题意知，，当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，即 ，解得.故选：C.6．函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先把转化为分段函数的形式，再结合一元二次函数的对称轴，对进行分类讨论，结合图像，写出要使函数在区间上既有最大值又有最小值的条件即可求得a的取值范围.【详解】易得函数，若，则，且函数在上单调递增，所以函数在上无最值．若，作出函数的大致图像，如图1所示，易得函数在区间上无最值．若，作出函数的大致图像，如图2所示，要使函数在区间上既有最大值又有最小值，则，即，解得:．综上，实数a的取值范围是．故选: D.7．是不同时为0的实数，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】若要使最大，则均为正数，即符号相同，不妨设均为正实数，则，当且仅当，且取等，即取等号，即则的最大值为，故选：A．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.8．已知函数在（0，+∞）上有3个不同的零点，则实数的取值范围是（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根据代入排除法分析即可；解法二：转化为|和的图像在上有3个交点，再画图分类讨论分析实数的取值范围即可【详解】解法一：因为函数在（0，+∞）上有3个不同的零点，所以，和的图像在（0，+∞）上有3个交点，代入，不合题意，排除A、C，又k取+∞显然不合题意，排除B；解法二：因为函数在上有3个不同的零点，所以|和的图像在上有3个交点，画出函数g（x）的图像，如图.的图像恒过点（0，2），且当时与x轴的交点为（，0），当时，与g（x）的图像在上有3个不同的交点，如图.当，即时，与g（x）的图像在上仅有2个不同的交点，如图.当，即时，与g（x）的图像在（0，）上有1个交点，在（，∞）上有2个交点，如图.当，即时，与g（x）的图像在（0，）上有3个交点，在上有0个交点，如图，当，即时，与g（x）的图像在（0，+∞）上有2个交点，如图.当时，的左支与g（x）的图像无交点，当直线与相切时，联立方程得令，得舍去），所以当，即时，与g（x）的图像在上有3个交点.综上，可得k的取值范围为故选：D.【点睛】本题主要考查了数形结合分类讨论解决函数零点与参数范围的问题，需要根据题意转化为两个函数图像的交点，再分情况讨论分析.属于难题二、多选题9．设集合是实数集的子集，如果实数满足：对任意，都存在，使得成立，那么称为集合的聚点，则下列集合中，1为该集合的聚点的有（    ）A． B．C． D．整数集Z【答案】ABC【分析】利用集合聚点的新定义，集合的表示及元素的性质逐项判断.【详解】解：对于A，因为集合中的元素是极限为的数列，所以对于任意，都存在，使得成立，所以为集合的聚点，故正确；对于B，因为集合中的元素是极限为1的数列，除第一项外，其余项与之间的距离均小于，所以对任意，都存在，使得的x，所以为集合的聚点，故正确；对于C，对任意，都存在，使得成立，那所以为集合的聚点，故正确；对于D，对任意，如，对任意的整数，都有或成立，不可能有成立，所以不是集合整数集Z 的聚点，故错误；故选：ABC10．若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（    ）A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”B．若，则存在区间M使为“弱增函数”C．若，则为R上的“弱增函数”D．若在区间上是“弱增函数”，则【答案】ABD【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.【详解】对于A：在上为增函数，在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”，A正确；对于B：由对勾函数的性质可知：在上为增函数，，由幂函数的性质可知，在上为减函数，故存在区间使为“弱增函数”，B正确；对于C：为奇函数，且时，为增函数，由奇函数的对称性可知为R上的增函数，为偶函数，其在时为增函数，在时为减函数，故不是R上的“弱增函数”，C错误；对于D：若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，所以，解得，又在上为减函数，由对勾函数的单调性可知，，则，综上.故D正确．故选：ABD．11．下列说法正确的有（    ）A．若，则的最大值是 -1B．若，，都是正数，且，则的最小值是3C．若，，，则的最小值是2D．若实数，满足，则的最大值是【答案】ABD【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为-1，故A正确；对于B，因为，，都是正数，且，所以，所以，当且仅当，即即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；对于C，因为，，所以，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；对于D，令，，则，，因为，所以，同号，则，同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，故D正确，故选：ABD．12．—般地,若函数的定义域为,值域为,则称为的“倍跟随区间”;特别地,若函数的定义域为,值域也为,则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是A．若为的跟随区间,则B．函数不存在跟随区间C．若函数存在跟随区间,则D．二次函数存在“3倍跟随区间”【答案】BCD【解析】根据“倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.【详解】对A, 若为的跟随区间,因为在区间为增函数,故其值域为,根据题意有,解得或,因为故.故A错误.对B,由题,因为函数在区间与上均为增函数,故若存在跟随区间则有,即为的两根.即,无解.故不存在.故B正确.对C, 若函数存在跟随区间,因为为减函数,故由跟随区间的定义可知,即,因为,所以.易得.所以,令代入化简可得,同理也满足,即在区间上有两根不相等的实数根.故,解得,故C正确.对D,若存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为,值域为.当时,易得在区间上单调递增,此时易得为方程的两根,求解得或.故存在定义域,使得值域为.故D正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.三、填空题13．设集合，则集合M的非空真子集个数为___________.【答案】6【分析】先求出集合M，即可求出集合M的非空真子集个数.【详解】因为有3个元素，所以集合M的非空真子集个数为个.故答案为：6.14．函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】首先求出的定义域，再确定m的前提范围，利用奇函数及其单调性求不等式参数范围.【详解】由题意，的定义域为，所以的定义域为，则，解得．又是上的减函数，所以奇函数在上单调递减．由，得，所以，即，解得．综上，．故答案为：．15．已知函数，若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】可先将采用代入法转化为常规表达式，采用分类讨论去绝对值的方式，来进一步探讨不等式是否成立，进一步确定参数的范围【详解】可等价转化为对任意恒成立，当时，不等式转化为对任意恒成立，显然无解；当时，不等式转化为，即，显然当时不成立；当时，，即对任意恒成立，经检验，恒成立；当时，对任意恒成立尚需进一步讨论，当时，不等式等价于，即，，令，函数开口向下，则恒成立；当时，，即此时对应的对称轴为，又，则在区间为减区间，即恒成立；综上所述，当时，对任意，有恒成立故答案为：【点睛】本题考查了恒成立问题的基本解法，分类讨论的思想，二次函数的图像与性质，去绝对值和分类讨论是解决本题的关键，属于难题四、双空题16．设实数、满足，则的最大值为__________，的最小值________．【答案】          【分析】根据给定条件，利用均值不等式建立不等式，再求解不等式作答.【详解】依题意，，则有，解得，当且仅当时取“=”，由解得或，所以当时，取得最大值；当时，，当且仅当时取“=”，因此，当且仅当时取“=”，于是得，解得，由解得或，所以当或时，取得最小值.故答案为：；【点睛】思路点睛：运用基本不等式，要注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，特别注意不等式成立的条件.五、解答题17．已知集合，集合(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）若，则，即是方程的根，由此求解即可；（2）因为，所以，分情况讨论，求解即可．【详解】(1)因为，且所以，即是方程的根所以，得则所以．(2)因为，所以对于方程，①当即时，，满足②当即或时，因为，所以或或当时，，得当时，，无解当时，，无解综上所述，．18．已知幂函数的定义域为全体实数R.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义可得，结合幂函数的定义域可确定m的值，即得函数解析式;（2）将在上恒成立转化为函数在上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．【详解】(1)∵是幂函数，∴，∴或2.当时，，此时不满足的定义域为全体实数R，∴m＝2,∴.(2)即，要使此不等式在上恒成立，令,只需使函数在上的最小值大于0.∵图象的对称轴为，故在上单调递减，∴，由，得，∴实数k的取值范围是.19．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．(1)求的最小值；(2)若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求m的最大值．【答案】(1)8(2)4【分析】（1）由x+y＝2，得1，又x＞0，y＞0，所以（）（）＝5从而可利用基本不等式进行求解；（2）由4x+1﹣mxy≥0恒成立可得m恒成立，又x+y＝2，所以（），结合（1）所得的结论即可确定m的最大值．【详解】(1)由x+y＝2，得1，又x＞0，y＞0，所以（）（）＝55+28，当且仅当，即x，y时等号成立，所以的最小值为8；(2)由4x+1﹣mxy≥0恒成立，得m恒成立，又x+y＝2，所以（），由（1）可知8，所以（）≥4，当且仅当，即x，y时等号成立，即4，故m的最大值是4．20．已知函数，．(1)证明：函数在上单调递增；(2)设，若的定义域和值域都是，求的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用单调性的定义直接证明即可；（2）由（1）可知函数在上单调递增，由题意则有，则可等价于m，n为关于x的方程的两不等实根，利用求根公式即可表示出，由此即可求出的最大值.【详解】(1)证明：任取，且，则，因为，，所以，所以，故，所以，所以函数在上单调递增．(2)由（1）可知函数在上单调递增，因为的定义域和值域都是，所以，所以m，n为关于x的方程的两个不相等的正实数根，化简方程可得，则，解得，所以因为，所以，所以当，即时，取得最大值．最大值为．21．北京冬奥会计划于年月日开幕，随着冬奥会的临近，中国冰雪运动也快速发展，民众参与冰雪运动的热情不断高涨.盛会的举行，不仅带动冰雪活动，更推动冰雪产业快速发展.某冰雪产业器材厂商，生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为（万元），其中与之间的关系为：，通过市场分析，当每件产品售价为元时，该厂年内生产的商品能全部销售完.若将产品单价定为元.(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】(1)(2)当该厂年产量为千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.【分析】（1）分且、且两种情况，结合已知条件可得出关于的函数关系式；（2）利用二次函数和基本不等式分别求出在且、且时的最大值，比较大小后可得结论.【详解】(1)解：当且时，，当且时，.所以，.(2)解：当且时，，此时，当时，；当且时，，当且仅当时，等号成立.因此，当该厂年产量为千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.22．已知二次函数满足，对任意有恒成立.（1）求的解析式；（2）若，对于实数，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意得出，即，可得出，由此可得出不等式恒成立，且当时等号成立，可得出，可解出实数的值，可得出的值，由此可得出函数的解析式；（2）作出函数在上的图象，然后分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，得出的表达式，然后利用参变量分离法求出满足不等式恒成立的实数的取值范围.【详解】（1）对任意的有恒成立，当时，则，所以，，可得，，所以不等式在上恒成立，即二次不等式在上恒成立，即二次不等式在上恒成立，当时等号成立，，解得，，因此，；（2）由题意可得.作出函数在区间上的图象如下图所示：当时，.当时，，令，可得，得，此时.由图象可知，当时，函数在区间上的最小值为，由，得，可得，，则，由于双勾函数在区间上单调递增，当时，，则，此时，；当时，函数在区间上的最小值为，由，得，即对任意的恒成立，则，解得；当时，函数在区间上单调递增，函数在区间上的最小值为，由，可得，即.函数在区间上单调递增，，，此时，.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了函数最小值的求解以及不等式恒成立问题，解题时要注意对参数的取值进行分类讨论，在解不等式恒成立问题时，可结合参变量分离法转化为函数的最值来处理，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于中等题.