2022-2023学年湖北省十堰市郧阳中学高一上学期10月考试数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省十堰市郧阳中学高一上学期10月考试数学试题

一、单选题

1．设集合，Z为整数集，则集合中元素的个数是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】直接算出集合A的范围和整数元素即可.

【详解】集合，Z为整数集，集合，

集合中元素的个数是3个．

故选：A.

2．商洛市数、理、化竞赛时，高一某班有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加物、化两科的有3名，只参加数、化两科的有4名．若该班学生共有48名，则没有参加任何一科竞赛的学生有多少名（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】本题首先可根据题意确定只参加数学竞赛、只参加物理竞赛以及只参加化学竞赛的学生人数，然后用学生总数减去参加比赛的学生人数即可得出结果.

【详解】因为有24名学生参加数学竞赛，参加数、理、化三科竞赛的有7名，参加数、物两科的有5名，参加数、化两科的有4名，

所以只参加数学竞赛的有名，

因为有28名学生参加物理竞赛，参加数、理、化三科竞赛的有7名，参加数、物两科的有5名，参加物、化两科的有3名，

所以只参加物理竞赛的有名，

因为有19名学生参加化学竞赛，参加数、理、化三科竞赛的有7名，参加物、化两科的有3名，参加数、化两科的有4名，

所以只参加化学竞赛的有名，

则没有参加任何一科竞赛的学生有名，

故选：A.

【点睛】本题考查学生解决实际问题的能力，能否明确题意中给出的各个条件之间的关系是解决本题的关键，考查推理能力，体现了综合性，是中档题.

3．命题“”是命题“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由推出关系可判断出结果.

【详解】当时，，即，充分性成立；

当时，，即，必要性不成立；

“”是命题“”的充分不必要条件.

故选：A.

4．若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用判别式即可得到结果.

【详解】∵“，使”是真命题，

∴，解得.

故选：C

5．若，则有（    ）

A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值

【答案】D

【分析】根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.

【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最大值．

故选：D.

6．设集合， ，且 ，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】分类讨论解不等式，确定集合，根据，确定，求得答案.

【详解】解，即 ，

当即时， ，此时，不合题意；

故，即，则 ，

由于，，所以，解得，

故选：C

7．设，，若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由是的充分不必要条件，结合集合的包含关系得出实数的取值范围.

【详解】因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，解不等式，得，解不等式得，由题意知是的真子集，所以，即.

故选：A.

8．已知非空集合，设集合，.分别用、、表示集合、、中元素的个数，则下列说法不正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则可能为18 D．若，则不可能为19

【答案】D

【分析】分析集合中的元素，将问题转化为排列组合问题，求出的最大值，若集合由相邻元素构成时，则取得最小值，依次分析各个选项，即可得解.

【详解】已知，.

又、、表示集合、、中元素的个数，将问题转化为排列组合问题，

对于AB，，，，则，故B正确；

但若考虑重复情况，即由相邻元素构成，例，则，，即，故A正确；

对于CD，，，，则，故D错误；

但若考虑重复情况，即由相邻元素构成，例，则，，即，故可能为18，故C正确；

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题考查利用排列组合思想求集合中元素的个数，解题的关键是分析集合中的元素，即从多个元素中选出两个元素的组合求其和与差，即可将问题转化为排列组合的问题，考查学生的逻辑思维与转化思想，属于较难题.

二、多选题

9．（多选）下列命题为真命题的是（    ）

A．，

B．“”是“”的必要而不充分条件

C．若x，y是无理数，则是无理数

D．设全集为R，若，则

【答案】ABD

【分析】对A，有实数解，举例即可判断；

对B，分别判断必要性和充分性；

对C，x，y的无理数部分互为相反数时，不是无理数；

对D，由补集概念即可判断

【详解】对A，当时，成立，故A正确；

对B，当时，成立，但当时，，所以“”是“”的必要而不充分条件，故B正确；

对C，当，时，，不是无理数，故C错误；

对D，全集为R，若，则，故D正确.

故选：ABD.

10．下列说法不正确的是（    ）

A．已知集合，，若，则实数m组成的集合为

B．不等式对一切实数恒成立的充要条件是

C．命题，成立的充要条件是

D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】ABD

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断B、C、D，根据集合的包含关系求出参数的值，即可判断A；

【详解】解：对于A：，，

若，则或或，即或或，

解得或或，即实数m组成的集合为，故A错误；

对于B：当时不等式恒成立，故B错误；

对于C：命题，为真命题，即在上成立，

令，，所以，

所以，故C正确；

对于D：若即且，所以由推不出，即充分性不成立，

由推得出，即必要性成立，故“”是“”的必要不充分要条件，故D错误；

故选：ABD

11．已知，则的值可能是

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】,有则且,分和打开 ，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案.

【详解】由，得，则且.

当时, =

=.

当且仅当即 时取等号.

当时, =

=.

当且仅当即 时取等号.

综上，.

故选：C D.

12．已知关于x的不等式，下列结论正确的是(   )

A．当时，不等式的解集为

B．当时，不等式的解集可以为的形式

C．不等式的解集恰好为，那么

D．不等式的解集恰好为，那么

【答案】AD

【分析】A：分析函数的最值与，进行比较即可；

B：在同一直角坐标系中，作出函数的图象以及直线和直线，由图象分析，即可判断选项

CD：利用的图象与对应不等式的关系解答即可；

【详解】解：设，，则；

对于A：∵，∴当时，不等式的解集为，所以A正确；

对于B：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示：

由图知，当a＝2时，不等式的解集为的形式，故B错误；

对于CD：由的图象知，若不等式的解集为连续不间断的区间，则，且；

若解集为，，则(a)(b)，且，

因为，所以(b)，解得或，

因为，所以，所以，所以，

所以C错误、D正确．

故选：AD

三、填空题

13．设集合，，若，则m的值为_________.

【答案】4

【分析】通过化简集合，根据m的取值情况分类讨论，再结合条件，依次进行运算化简即可.

【详解】当时，，显然，不符合题意；

当时，，因为，所以必有；

当时，，显然，不符合题意.

故答案为：.

14．是的___________条件.

【答案】必要不充分条件

【分析】根据题意可证明必要条件，举反例说明不充分，进而得到答案.

【详解】若，①②得，根据不等式的性质，①②得，所以是的必要条件，

若，令，则不成立，所以不是的充分条件.

故答案为：必要不充分条件.

15．下列四种说法：

①命题“，”的否定是“，”；

②若不等式的解集为，则不等式的解集为；

③对于，恒成立，则实数a的取值范围是；

④已知p：，q：（），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是

正确的有________.

【答案】②③④

【分析】根据全称命题否定的求解，二次不等式的求解，恒成立问题求参数的方法以及由命题的充分性求参数范围的方法，结合选项进行逐一分析即可求得.

【详解】对①：命题“，”的否定是“，”，故①错误；

对②：不等式的解集为，

故可得，解得，

故不等式等价于，

解得，故②正确；

对③：，恒成立

等价于，当时，显然不成立；

当时，只需即可，

解得，故③正确；

对④：p是q的充分不必要条件，故可得在恒成立.

则只需，

整理得即可，又，故解得.

故④正确.

故答案为：②③④.

【点睛】本题考查全称命题的否定的求解，二次不等式的求解，二次函数恒成立问题求参，属综合困难题.

16．已知正数满足，则的最大值是___________.

【答案】

【分析】设，表达出，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可.

【详解】设，则，

所以，当且仅当时取等号.

所以，解得，即的最大值，当且仅当，即，时取等号.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合.全集

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)分别求出集合A、B，根据交集补集的定义可求 .

(2)分和两种情况讨论，结合子集定义可求解.

【详解】(1)，当时，，

则或

(2)

当，则，解得，

当时，则有，解得，

综上所述，实数的取值范围为

18．命题，命题.

(1)当为真，且为真，求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）根据题意，求出、为真时的取值范围，分析可得关于的不等式组，解可得答案；

（2）根据题意，求出为真时的取值范围，由充分必要条件的性质可得关于的不等式组，解可得答案．

【详解】(1)由可得，

即，其中，

得，，

若，命题为实数满足，

解可得：，

由解得．即．

当，同时为真，有，解得，

实数的取值范围．

(2)若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，

由集合法可得，，．所以，解得．

实数的取值范围为，．

19．已知.

(1)若，求的最小值

(2)若，求的最小值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，代入原式中，根据二次函数性质即可求得最小值.

（2）由可得，根据基本不等式结合“1”的应用即可得到结果.

【详解】(1)，又，

所以当时，取得最小值

即

(2)由，得

所以

且

当且仅当时，即，等号成立.

所以.

20．已知命题不等式的解集中的整数有且仅有.命题：集合且.

(1)分别求命题为真命题时的实数的取值范围；当命题、中有且仅有一个为真命题；求实数取值范围.

(2)设皆为真时的取值范围为集合，若全集，，求实数的取值范围.

【答案】(1)命题为真命题时的实数的取值范围为，命题为真命题时的实数的取值范围为，命题、中有且仅有一个为真命题，实数取值范围为，，

(2)，．

【分析】（1）首先求命题、为真命题时的实数的取值范围，再求命题、中有且仅有一个为真命题时实数取范围．

（2）求出集合，，再由集合间的包含关系求出的取值范围．

【详解】(1)由得，因为不等式中的整数有且仅有，0，1．

，得，命题为真命题时的实数的取值范围为．

当真时：或得，命题为真命题时的实数的取值范围为．

当真假时实数不存在；当假真时的实数，，；

命题、中有且仅有一个为真命题，实数取值范围为：，，．

(2)由（1）知故命题、为真命题时的实数，

当时，；当时，，

，，，，，

则，，又，

，则，

故实数的取值范围是，．

21．为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.

(1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？

(2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.

【答案】(1)最多150人

(2)存在，

【分析】（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值.

（2）根据条件①②列不等式，化简得，结合基本不等式求得的范围.

【详解】(1)依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，

则，

，，

，解得，

∵且，所以调整后的技术人员的人数最多150人；

(2)①由技术人员年人均投入不减少有，解得.

②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有

，

两边同除以得，

整理得，

故有，

因为，当且仅当时等号成立，所以，

又因为，当时，取得最大值7，所以，

∴，即存在这样的m满足条件，使得其范围为.

22．设二次函数，

(1)若，求不等式的解集；

(2)若时，，求的最小值.

【答案】(1)当时，解集为，

当时， 解集为，

当时， 解集为，

当时， 解集为

(2)最小值为

【分析】(1)由题意可得，即，分类讨论二次不等式的解集.

(2)由题目条件可得，运用基本不等式和讨论，，可得所求最小值.

【详解】(1)，由，即为，即，

当时， ，由解得或，

当时， ，由解得，

当时， 由可得，

当时， ，由解得，

综上可得， 当时，解集为，

当时， 解集为，

当时， 解集为

当时， 解集为，

(2)时，，可得，

，有，

当时， ，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立;

当时， ，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立;

所以的最小值为