2022-2023学年湖北省武汉市武钢三中高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省武汉市武钢三中高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，求出，计算得到答案

【详解】阴影部分表示的集合为，

故选

【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题

2．已知函数的定义域为[-2，3]，则函数的定义域为（    ）

A．[-1,9] B．[-3,7] C． D．

【答案】D

【解析】先根据的定义域求出的定义域，再求出的定义域即可.

【详解】函数的定义域为[-2，3]，

在中，，则，

的定义域为，

则在中，，解得，

故的定义域为.

故选：D.

【点睛】本题考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.

3．函数，若，则实数a的值为（    ）

A．±1 B．-2或±1 C．-1 D．-2或-1

【答案】C

【分析】根据分段函数解析式，分段求解，即可得答案.

【详解】当时，令 ，与矛盾，不合题意；

当时，令 ，取 ，符合题意，

故选：C

4．“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.

【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，所以，

所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得.

A选项是充要条件，不成立；

B选项中，不可推导出，B不成立；

C选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确；

D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D不正确.

故选：C.

【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

5．若，则“”是 “”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

6．若一元二次不等式的解集为，则的值为（　　）

A． B．0 C． D．2

【答案】C

【分析】由不等式与方程的关系转化为，从而解得．

【详解】解：∵不等式kx2﹣2x+k＜0的解集为{x|x≠m}，

∴，

解得，k＝﹣1，m＝﹣1，

故m+k＝﹣2，

故选：C．

7．若a，，，则的最大值为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】A

【分析】利用基本不等式即可求解.

【详解】，当且仅当时，等号成立；

又，当且仅当时，即，等号成立；

，解得，，

所以的最大值为

故选：A

8．关于的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不等式化为，讨论和时，求出不等式的解集，从而求得的取值范围．

【详解】原不等式可化为，

若，则不等式的解是，，

不等式的解集中不可能有4个正整数，

所以，不等式的解是，；

所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5；

令，解得；

所以的取值范围是，．

故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，是中档题．

9．已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由，即得.

【详解】因为，

所以，

则，.

综上：只有B正确.

故选：B

二、多选题

10．设全集，则下面四个命题中是“”的充要条件的命题是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】根据集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件．

【详解】解：由 A∩B＝A，可得A⊆B．由 A⊆B 可得A∩B＝A，故A∩B＝A是命题A⊆B的充要条件，故A满足条件．

由可得A⊆B，由A⊆B 可得，故 是命题A⊆B的充要条件，故 B满足条件．

由，可得A⊆B，由A⊆B 可得，故 是命题A⊆B的充要条件，故C满足条件．

由，可得B⊆A，不能推出A⊆B，故④不是命题A⊆B的充要条件，故D不满足条件．

故选：ABC．

【点睛】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，充要条件的判定，属于基础题．

11．已知集合中的元素满足，其中，，则下列选项中属于集合的是（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据集合中的元素的性质即可判断.

【详解】当时，，所以，A正确；

当时，，C正确；

当时，，D正确；

因为，，故，，B错误.

故选：ACD

12．取整函数：不超过的最大整数，如，，.以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（    ）

A．， B．，，，则

C．，， D．，

【答案】ABD

【解析】可取特殊值判断AC，利用不等式性质及取整函数的意义推理可判断BD．

【详解】时，，，故A正确；

若，设，，则，，

∴，，从而，B正确；

取，则，，C错误；

设，则，，

∴或，时，，此时，，，时，，，，，，

综上，D正确．

故选：ABD．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是把新定义转化为我们已学的知识，设，则由新定义可得，这样结合不等式的性质与新定义结合易于求解．

三、填空题

13．不等式的解集是______.

【答案】

【分析】数形结合即可求得不等式的解集.

【详解】设，，

 在同一个坐标系内作出和的图像，

两函数图像交点为，

等价于，由图可知：，

故答案为：

14．已知实数，满足且，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】结合已知条件，利用不等式性质即可求解.

【详解】因为，

所以    ①，

又由可得，     ②，

由①②相加可得，，

故的取值范围是.

故答案为：

15．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则_________.

【答案】-1

【详解】（1）当 时，无意义，所以 ；

（2）当时， ，集合可化为 和 ， ，则，而 时，元素重复，故 ．

16．已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】由可得，然后利用基本不等式可求出的最小值，从而可求出的最大值为1，进而解不等式可得结果

【详解】由，得.

因为，

所以，

所以，则，

当且仅当时，等号成立，故.

因为恒成立，

所以，解得或.

故答案为

四、解答题

17．已知集合

（1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；

（2）若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围.

【答案】（1）且（2）或

【分析】（1）中有两个元素等价于方程有两个不相等的实数根；

（2）集合A最多有两个子集即中至多有一个元素，等价于方程无解或只有一解.

【详解】（1）由于中有两个元素，

∴关于的方程有两个不等的实数根，

∴，且，即，且.

故实数的取值范围是且.

（2）集合A最多有两个子集即中至多有一个元素,

即方程无解或只有一解，

当时，方程为，，集合；

当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，此时，

若关于的方程没有实数根，则中没有元素，此时.

综上可知，实数的取值范围是或.

18．已知命题，使为假命题．

(1)求实数的取值集合B；

(2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由条件可得关于的方程无解，然后分、两种情况讨论即可；

（2）首先由为非空集合可得，然后由条件可得且，然后可建立不等式求解.

【详解】(1)因为命题，使为假命题，

所以关于的方程无解，

当时，有解，故时不成立，

当时，，解得，

所以

(2)因为为非空集合，所以，即，

因为是的充分不必要条件，所以且，

所以，即，

综上：实数的取值范围为.

19．已知集合

（1）若，求实数m的取值范围.

（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可；

（2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案

【详解】解：（1）①当B为空集时，成立.

②当B不是空集时，∵，，∴

综上①②，.

（2），使得，∴B为非空集合且.

当时，无解或，，

∴.

20．设函数的图象过点．

(1)若，，求的最小值；

(2)解关于x的不等式．

【答案】(1)9

(2)答案见解析

【分析】（1）由的图象过点，可得，则，化简后利用基本不等可求得答案，

（2）由题意将不等式化简为，然后分，和三种情况求解即可

【详解】(1)函数，由，可得，

所以，

当且仅当时等号成立，因为，，，

解得，时等号成立，此时取得最小值9．

(2)由，得，即，即．

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，，不等式的解集为；

当时，，不等式的解集为．

21．已知集合，.

（1）是否存在实数，使？若存在求出的值：若不存在，请说明理由.

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）不存在实数，使，理由见解析；（2）.

【分析】（1）由题意可得，解得，然后验证即可；

（2）由题意只可能为，，，，分类讨论即可求解.

【详解】（1），所以且中不含除0，2，4以外的实数，即，解得.

验证：此时，所以不存在实数，使.

（2）题干可转化为，即只可能为，，，

①，即，解得

②，即，无解

③中只有一根时，当时，解得成立

当，即，解得，此时，不符合题意

综上所述，

【点睛】本题主要考查了交集，并集及其运算，考查了分类讨论的思想，属于基础题.

22．已知二次函数.

(1)若函数满足，且.求的解析式；

(2)若对任意，不等式恒成立，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用待定系数的方法确定二次函数解析式（2）由二次不等式恒成立，转化参数关系，代入通过讨论特殊情况后配合基本不等式求出最值

【详解】(1)设，

由已知代入，

得，

对于恒成立，

故，解得，又由，得，

所以；

(2)若对任意，不等式恒成立，

​​​​​​​整理得：恒成立，因为a不为0，

所以，所以，

所以，

令，因为，所以，

若时，此时，

若时，，

当时，即时，上式取得等号，

​​​​​​​综上的最大值为.