2022-2023学年江苏省常州市溧阳市高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省常州市溧阳市高一上学期期中数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省常州市溧阳市高一上学期期中数学试题 一、单选题1．设集合，，那么“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求解集合中的不等式，可得，分析即得解.【详解】由题意，集合，故，故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A2．函数的定义域为（　　）A．（-1，0）∪（0，2] B．[-2，0）∪（0，2] C．[-2，2] D．（-1，2]【答案】D【详解】由题意得，选D.3．下边的Venn图中，两个椭圆区域对应集合A，B，其中，．则阴影部分表示（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合中的元素在集合中,但不在集合中,由此求解即可．【详解】图中阴影部分表示的集合中的元素在集合中,但不在集合中,，，,所以阴影部分表示的集合为，故选：C．4．若，，则下列各式中，恒等的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用对数的运算法则可判断各选项的正误.【详解】对于AD选项，，AD均错；对于B选项，，B错；对于C选项，，C对.故选：C.5．设集合，，若，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合并集的运算性质进行求解判断即可.【详解】因为，所以有，故选：D6．若正实数a，b满足，则的最小值为（    ）A． B．6 C． D．【答案】D【解析】利用“1”的代换，将转化为，利用基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意得：，当且仅当，即时等号成立，故选：D7．已知偶函数在区间上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得，进而得，再解不等式即可.【详解】因为偶函数在区间上单调递减，且满足，所以不等式等价于，即，所以，解得，即的取值范围是.故选：C.8．对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记做．若集合，集合，且，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先结合差集的定义，由得，再利用基本不等式化简集合，分类讨论的取值得到集合，从而利用集合的包含关系求得a的取值范围.【详解】根据差集的定义，由可得，因为，，又因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即，故，由得，令，得或，当，即时，上述不等式解得，即，显然此时集合没有任何包含关系，不满足题意；当，即时，上述不等式化为，显然无解，即，显然不成立，不满足题意；当，即时，上述不等式解得，因为，所以由数轴法可得，故；综上：，即.故选：A. 二、多选题9．下列结论正确的是（    ）A．若 ，则B．若，，则C．已知a，，则D．若，则【答案】AC【分析】利用不等式的性质可判断A;根据基本不等式可判断C,举反例可判断B,D.【详解】由，可得，故，，即，A正确；取 ，满足，，但，B错误；由a，，则，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，故，C正确；时，取，则没意义，故不成立，D错误，故选：AC.10．下列结论正确的是（    ）A．若的定义域为，且，则必不为奇函数B．若的定义域为，则函数必为奇函数C．若的定义域为，且，则必不为减函数D．若，均为定义在上的增函数，则必为增函数【答案】BC【分析】举例，可判断A;根据奇函数定义可判断B;根据单调函数性质可判断C;举反例，，判断D.【详解】若的定义域为，当时，满足，此时为奇函数,A错误；若的定义域为,则函数满足，故为奇函数，B正确；若的定义域为，且，则必不为减函数，因为如果为减函数，则有，与条件矛盾，故C正确；若，均为定义在上的增函数，不妨取，，函数，不是R上的增函数，D错误，故选：BC.11．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：dB）．下列选项中正确的是（    ）A．闻阈的声强为B．声强级增加10dB，则声强变为原来的2倍C．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：dB）D．如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB【答案】ACD【分析】依题意求出，即可判断A；将、代入求声强范围判断C；设声强变为原来的倍，对应声强级增加，依题意得到方程，解得，即可判断B、D.【详解】解：由题意，即，所以，所以，故，故A正确；若，即，则；若，即，则，故歌唱家唱歌时的声强范围（单位：），C正确；设声强变为原来的倍，对应声强级增加，则，解得，即如果声强变为原来的倍，对应声强级增加，故D正确，B错误；故选：ACD12．对于定义域为函数，若满足，，都有，我们称为“下凸函数”，比如函数即为“下凸函数”．对于“下凸函数”，下列结论正确的是（    ）A．一次函数有可能是“下凸函数”B．二次函数为“下凸函数”的充要条件是C．函数为“下凸函数”的充要条件是D．函数是“下凸函数”【答案】BCD【分析】对于A，计算可得，判断A;对于B,C,采用作差法，计算的结果，根据结果可判断函数为“下凸函数”的充要条件；对于D，计算，说明结果大于0，即可判断.【详解】，,对于一次函数，，，即，故不可能是“下凸函数”，A错误；对于二次函数，对任意，，  ，当二次函数为“下凸函数”时，满足，即，反之当时，成立，故二次函数为“下凸函数”的充要条件是，B正确；对于，对任意，，，当函数为“下凸函数”时，满足，即，反之当时，成立，故函数为“下凸函数”的充要条件是，C正确；对于函数，，,，故，所以函数是“下凸函数”，D正确，故选：BCD.【点睛】本题考查了函数的新定义问题，解答时要理解新定义的含义，明确如何判断一个函数是否符合该定义，解答的关键是作差，求得的结果，从而作出判断. 三、填空题13．若，则的最小值为________．【答案】6【分析】由基本不等式即可求解最小值.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时有最小值.故答案为：614．关于x的不等式的解集中有且只有1个整数，则实数a的取值范围为________．【答案】【分析】构造二次函数，解集中只有一个整数，则应该是只有对称轴处的整数或距离对称轴最近的整数满足条件.【详解】设，由已知的解集中只有一个整数，因为函数的对称轴为，则需满足  即  解得，故答案为：.15．已知，，用表示，中的较大者，记作，当时，的值域为________．【答案】【分析】作差法比较两个函数的大小，得出的解析式求值域.【详解】令解得，或，此时，；解得，，此时，.所以，显然，在上单调递减，最大值为，最小值为，值域为；在上单调递增，最大值为，最小值为，值域为.综上可得，当时，的值域为.故答案为：.16．定义在上函数满足且当时，，则使得在上恒成立的m的最小值是________．【答案】8【分析】根据给定条件，依次求出函数在上的最大值、最小值，再借助函数图象求解作答.【详解】上函数满足，当时，，，当时，，，，当时，，，，当时，，，，由得，，因此当时，恒成立，观察图象知，，则有，所以m的最小值是8.故答案为：8【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系及给定区间上的解析式求解析式，在所求解析式的区间上任取变量，再变换到已知解析式的区间上是解题的关键. 四、解答题17．（1）计算：；（2）已知，，试用a，b表示．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据指数式以及对数的性质即可求解，（2）根据对数的运算法则即可求解.【详解】（1）（2）18．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题．(1)求实数m的取值集合B：(2)设不等式的解集为A，若是的充分条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）参变分离后转化为最值问题求解；（2）解不等式得A，由集合间关系列不等式求解.【详解】（1）令，由“，都有不等式成立”是真命题得，，在上单调递减，在上单调递增，且，所以，，所以，故m的取值集合（2）由可得，，即由是的充分条件知：又，所以有.19．设二次函数．(1)若，，且有两个零点，求c的取值范围；(2)若的解集是，求不等式的解集．【答案】(1);(2). 【分析】（1）根据有两个零点可知相应方程有两实数根，利用判别式求得答案即可；（2）根据的解集是，可得且，2是方程的两根,即得根与系数的关系式，由此化简，即可求得答案.【详解】（1）当，时，,因为有两个零点,所以，即,故c的取值范围;（2）由的解集是知：且，2是方程的两根,由韦达定理知： ,由得：,,,解得或,故不等式的解集为.20．记函数（）．(1)判断并证明的奇偶性；(2)证明：当时，在上单调递增；(3)当时，关于x的方程有解，求b的取值范围．【答案】(1)为奇函数，证明见解析(2)证明见解析(3)或 【分析】（1）利用奇偶性的定义进行证明；（2）利用函数的单调性的定义进行证明；（3）利用换元法和判别式法求b的范围.【详解】（1）为奇函数，证明如下：的定义域为，且对，都有，故为奇函数；（2）证明：任取且，则，由知：，，，即有，即，故在上单调递增；（3）当时，由得：，即，令（），则关于t的方程（）有解，则，解得或.21．已知集合，，，且集合D满足，．(1)求实数t的值：(2)对集合，其中，定义由A中的元素构成两个相应的集合中：，，其中是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n，若对任意的，总有，则称集合A具有性质P．①请检验集合与是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；②试判断m和n的大小关系，并证明你的结论．【答案】(1)3(2)①答案见解析；②，证明见解析 【分析】（1）解不等式求出，，结合，求出或，检验，舍去不合要求的解，得到；（2）①先根据第一问求出，，由，判断不具有性质P，而具有性质P，求出相应的集合，②由逻辑推理得到且，从而得到.【详解】（1）由题：，，又，因为，所以，因为 则，即或或当时，满足题意．当时，不满足,综上可知，；（2）①由（1）知,由，知，不具有性质P，满足任意的，总有,所以，具有性质P，其中，，②，证明如下：若，则有，，且，从而有，若，为S中的不同元素，则，中至少有一个不成立，即，中至少有一个不成立，即，也是T中不同的元素，故；若，则有，，且，从而有，若，为T中的不同元素，则，中至少有一个不成立，即，中至少有一个不成立，即，也是S中不同的元素，故，综上可知，.22．已知函数．(1)当时，求的值域；(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围；(3)讨论函数在上的最小值．【答案】(1)(2)(3)答案见解析, 【分析】（1）分段函数分别求值域即可；（2）分离参数，结合基本不等式，即可求得的范围；（3）对二次函数对称轴的情况分类讨论即可.【详解】（1）当时，,时，，当时有最小值1，时，，此时，故的值域为（2）由得：（*）当时，（*）显然不成立当时，又当且仅当即或时等号成立则，即，所以a的取值范围为.（3）由题知,当时，，当时，的最小值为,当时，,即时，即时，当时，，在上的最小值为,当时，，，所以,当时，，，所以,当时，，，所以.综上可知：当时，当时，当时，当时，