2022-2023学年江苏省盐城市射阳中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省盐城市射阳中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合A，B和全集U={1，2，3，4}，且A={1，2，3}，B={3，4}，则（    ）

A．{4} B． C．{3，4} D．{3}

【答案】A

【分析】求出，再求交集即可.

【详解】因为，，

所以.

故选：A.

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据二次根式的性质以及分数分母不为0求出函数的定义域即可.

【详解】解：由题意得： 解得，即的定义域为.

故选：C.

3．命题“，”的否定形式是（    ）．

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据全称命题它的否定可以判断选项的正确与否.

【详解】，的否定形式是：，

故选：C

4．已知命题“，使得”是真命题，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知：不等式对应的二次函数开口向上，若命题“，使得”是真命题，则相应的二次方程有不等的实根,利用判别式即可求解.

【详解】因为命题“，使得”是真命题，

所以方程有两个不等的实数根，所以，

解得：或，

故选：.

5．已知函数 ，若，实数（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】先求得，再由，即可求得答案.

【详解】由题意可得，故，

故选：B.

6．设命题甲：|x－2|＜3，命题乙：，那么甲是乙的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】因为命题甲：|x－2|＜3，解得：，命题乙：,

所以乙甲且甲推不出乙，甲是乙的必要而不充分条件，

故选:．

7．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】转化为恒成立，分与两种情况，列出不等式组，求出实数的取值范围.

【详解】由题意得：恒成立，

当，即时，不恒成立，故不成立，

当，即时，要满足，

解得：，

综上：实数的取值范围是.

故选：B

8．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算面发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系，对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻. ，，，估计的值约为（    ）

A．0.1654 B．0.2314 C．0.3055 D．0.4897

【答案】C

【分析】根据指数与对数式的互化，可得x的表达式，利用对数运算，结合已知可求得答案.

【详解】由可得，即,

故选：C.

二、多选题

9．已知集合，且，则的可能取值有（    ）

A．1 B． C．3 D．2

【答案】AC

【解析】利用，可得或，解出的值代入集合验证满足元素互异性即可.

【详解】因为，所以或，解得：，或，，

当时，，符合题意，

当时，，符合题意，

当时，，不满足元素互异性，不成立

所以或，

故选：AC

【点睛】本题主要考查了元素的确定性和互异性，属于基础题.

10．已知是实数，则下列一定正确的有（    ）

A．若，则

B．若，，则

C．，，若，则

D．，，若，则

【答案】BC

【分析】根据不等式的性质，结合特殊值，对每个选项进行逐一分析即可选择.

【详解】对A：当时，满足，但不满足，故A错误；

对B：若，，则，

故可得，故B正确；

对C：因为为上的单调函数，

故当时，一定有，故C正确；

对D：若，没有意义，故D错误.

故选：BC.

11．下列说法正确的是（　　）

A．，是同一个函数

B．， 是同一个函数

C．存在无数组函数，：定义域相同，值域相同，但对应关系不同

D．存在无数组函数，：值域相同，对应关系相同，但定义域不同

【答案】ACD

【分析】由函数相同的条件，定义域，对应法则相同，可判断A，B；举例说明C，D正确，验证存在性即可．

【详解】解：对于A，两个函数定义域均为R，对应法则也相同，故是同一个函数，A正确；

对于B，f（x）定义域为R，g（x）定义域为{x|x≠0}，定义域不同，故不是同一个函数，B错误；

对于C，例如函数f（x）＝|ax|，a不等于0，g（x）＝x2，定义域都是R，值域都是[0，+∞），但是对应关系不同，所以C正确；

对于D，举例f（x）＝x2（x≥0），g（x）＝x2（x≤a，a>0），两个函数值域都是[0，+∞），对应关系也相同，但是定义域不同，故D正确；

故选：ACD．

12．已知函数的值域为，则实数与实数的取值可能为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】ABCD

【分析】先推出函数的单调情况，采用换元法，将化为，结合各选项判断其单调性，确定函数值域，即可判断出答案.

【详解】先说明函数时的单调性；

任取 且 ，

则

，

当 ，且，∴，，

∴，∴，

∴函数 在 上是单调递减的；

同理可证函数 在上是单调递增的；

由题意得函数，

设 ，则 ，

当时,在上单调递增，时，，故， ，A正确；

当时，在上单调递增，时，，故， ，B正确；

当时,在上单调递增，时，

故，，C正确．

当时,在上单调递减，在上单调递增，

时，，即，D正确；

故选： ．

【点睛】本题考查了函数的值域问题，考查了函数单调性的应用，解答时要能熟练应用函数的单调性的定义判断函数的单调性，解答的关键是能够根据函数的单调性确定解析式中的参数.

三、填空题

13．已知，则_________.

【答案】0.

【分析】令求出的值，然后代入中可求出.

【详解】令，得，

因为，

所以，即，

故答案为：0.

14．已知，则_________.

【答案】194

【分析】将平方可得，再将该式平方可得答案.

【详解】由得，即，

故，所以，则，

即，

故答案为：194.

15．若正实数，满足，则的最小值为_________.

【答案】.

【分析】由已知条件得，化简后利用基本不等式可求得结果.

【详解】因为正实数，满足，

所以

，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为，

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数，若，则的值域是_________；若的值域是，则参数的取值范围是_________.

【答案】     ；     .

【分析】第一空，根据分段函数的解析式，分段求解函数值的范围，取并集可得答案;

第二空，结合二次函数的性质，根据题意得到参数需满足的不等式，求得答案.

【详解】当时，，

当时，，

当时，，

故的值域是；

若的值域是，

因为时，，

因为时，，故需满足 ，

又因为需满足 ，则，故参数的取值范围是，即，

故答案为：;.

五、解答题

17．（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）1.

【分析】（1）根据指数幂的运算法则，化简计算，可得答案；

（2）根据对数的运算法则，化简计算，可得答案.

【详解】（1）

；

（2）

.

18．已知集合 ，.

(1)若，求；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）确定集合,求得集合B,以及其补集，根据交集运算即可求得答案;

（2）根据是的充分不必要条件，可得,从而可得关于m的不等式，求得答案.

【详解】（1）当时， ，

或 ，

则，

故；

（2）若是的充分不必要条件，则,

故 ，即实数的取值范围是.

19．已知函数.

(1)将函数写成分段函数的形式，并画出图象；

(2)利用图象回答：当为何值时，方程有一解？两解？三解？

【答案】(1)，图象见解析；

(2)当或时，一解；当或时，两解；当时，三解.

【分析】（1）分两种情况，去掉绝对值符号，可得分段函数形式的解析式，结合二次函数图象作出该函数图象，即得答案；

（2）将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，可得答案.

【详解】（1）由题意得，

其图象为：

（2）结合（1）中函数图象可知，

当或时，方程有一解；

当或时，方程有两解；

当时，方程有三解；

20．已知.

(1)若的解集为 ，求实数、的值；

(2)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据不等式的解集可确定相应的方程的两根，根据根与系数的关系列出等式，求得答案;

（2）化简，确定相应方程的根，分类讨论，确定不等式的解集.

【详解】（1）由题意的解集为，

可得1和n是方程的两实数解，且 ，

则，解得；

（2）关于的不等式，

即，即，

即，

当时，，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

21．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病面对前所未知、突如其来、来劳汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位.明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战.疫情爆发后，造成全球医用病毒检测设备短缺，盐城某企业计划引进医用病毒检测设备的生产线，生产这种设备的年固定成本为2500万元，每生产百台，需另投入生产成本万元，当年产量不足30百台时，；当年产量不小于30百台时，；若每台设备售价6万元，通过市场分析，该企业生产的产品能全部销售完.

(1)求该企业年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；

(2)该企业年产量为多少百台时，所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】(1)

(2)25百台，万元；

【分析】（1）根据题意分段求得该企业年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；

（2）根据函数的解析式，结合二次函数知识以及基本不等式，分段求函数的最大值，比较可得结论.

【详解】（1）当 时，;

当 时，

  ,

综上 ;

（2）当时，，

当（百台）时，所获利润最大为万元；

当时，

（万元），

当且仅当即时取得等号，

因为，故该企业年产量为25百台时，所获利润最大，利润最大为万元；

22．已知定义在区间上的函数.

(1)求函数的零点；

(2)若方程有四个不相等的实数根，，证明：；

(3)设函数，，若对任意的，总存在，使得，求的取值范围.

【答案】(1)和；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）解方程，即可求得函数的零点；

（2）作出函数的图象，将方程四个不相等的实数根问题转化为函数图象交点问题，数形结合，利用二次方程根与系数的关系，证明结论；

（3）求出时，的范围，求出，的范围，根据题意可将原问题转化为集合间的子集问题，列出相应不等式，求得答案.

【详解】（1）由题意可知，令，即，解得，

故函数在内的零点为和；

（2）证明：作出函数的图象，

方程有四个不相等的实数根，，

即为图象与的四个交点的横坐标，

方程即，，即，

不妨设的四个根为，

当即时，为即的两根，

则，

当时，为即的两根，

则，

故；

（3）设，当时，，

当时，，

对任意的，总存在，使得，

则，故且，

解得 ，即的取值范围为.

【点睛】本题考查了函数的零点以及关于方程的根的相关等式的证明和恒成立问题，综合性强，计算量大，解答时涉及到数形结合和转化思想，解答的关键是解决恒成立问题时转化为集合的包含关系解决.