2022-2023学年江苏省镇江中学高一上学期期中数学试题

镇江中学高一期中试卷

一、单选题（每题5分共40分）

1.若集合，则集合中元素的个数为（    ）

A.3 B.4 C.5 D.6

2.命题“，”的否定是（    ）

A.， B.，

C.， D.，

3.若函数，则函数的定义域为（    ）

A. B. C. D.

4.已知是定义在上的函数，且，当时，则，则（    ）

A. B.2 C. D.98

5.已知，，，则的最小值是（    ）

A.3 B. C. D.9

6.若一元二次不等式的解集为，则的值为（    ）

A. B.0 C. D.2

7.如果关于的方程的两根分别是，，则的值是（    ）

A. B. C. D.15

8.围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列最接近的是（注：）（    ）

A B. C. D.

二、多选题（每题5分共20分）

9.下列函数中，值域为的是（    ）

A. B. C. D.

10.下列四个选项中，是的充分不必要条件的是（    ）

A.，

B.，

C.，，

D.，，

11.设函数，当为上增函数时，实数的值可能是（    ）

A. B.1 C.0 D.

12.对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”.下列说法正确的是（    ）

A.是函数的一个“和谐区间”

B.函数存在“和谐区间”

C.函数的所有“和谐区间”为、、.

D.若函数存在“和谐区间”，则实数的取值范围是

三、填空题（每题5分共20分）

13.计算：____________

14.函数的单调递增区间为____________.

15.已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若，则的解集为____________.

16.已知函数，若存在互不相等的实数，，满足，且，则__________；的取值范围为______________.

四、解答题（共70分）

17.已知，，

（1）求和；

（2）若全集，求.

18.命题“，”，命题“，”.

（1）当为假命题时，求实数的取值范围；

（2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围.

19.已知函数.

（1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集；

（2）若，，求关于的不等式的解集.

20.若函数是定义在上的奇函数，

（1）求函数的解析式；

（2）用定义证明：在上是递减函数；

（3）若，求实数的范围.

21.为打好扶贫攻坚战，突出帮扶对象，落实帮扶措施，村为某帮扶对象建设猪圈，购置猪崽，帮助养猪致富.现在要建成完全一样的长方体猪圈两间（每间留一个面积为1平方米的门），一面利用原有的墙（墙长米，），其他各面用砖砌成（如图）.若每间猪圈的面积为24平方米，高2米，如果砌砖每平方米造价100元（猪圈的地面和顶部不计费用），砖的宽度忽略不计；每个门造价200元，设每间猪圈靠墙一边的长为米，猪圈的总造价为元.

（1）求关于的函数关系式，并求出函数的定义域；

（2）当为多少米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低?并求出最低造价.

22.已知函数，.

（1）求函数的值域；

（2）设，，求函数的最小值.

（3）对（2）中的，若不等式对于任意的时恒成立，求实数的取值范围.

镇江中学高一期中试卷答案

一、单选题（每题5分共40分）

1.答案：B

【解答】故选B

2.答案：D

【解答】命题“，”为存在量词命题，其否定为：，；故选：D

3.答案：A

【解答】要使原函数有意义，则，解得.由，得.

∴函数的定义域为.故选：A.

4.答案：B

【解答】函数满足，则周期为2，则故选B

5.答案：A

【解答】∵，，，∴即，

则，当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值3.故选：A.

6.答案：C

【解答】∵不等式的解集为，∴，解得，，故，故选：C.

7.答案：C

【解答】原式子可变因式分解得：，所以，，所以方程的两根分别为，，所以.故答案为：C.

8.答案：A

【解答】根据题意，对于，有，则，分析选项：A中与其最接近，故选：A.

二、多选题（每题5分共20分）

9.答案：AD

【解答】选项A，∵，当且仅当即时，等号成立，∴，选项A正确，

选项B，∵可能为负数，∴选项B错误，

选项C，，而，∴选项C错误，

选项D，，当且仅当即时等号成立，∴，选项D正确，故选：AD.

10.答案：ACD

【解答】对于A，∵，∴是的充分不必要条件，∴A正确，

对于B，∵，∴是的充分必要条件，∴A错误，

对于C，当，时，则成立，

反之，当，时，满足，∴是的充分不必要条件，∴C正确，

对于D，当，时，则，∴，

反之，当，，时，，，满足，∴是的充分不必要条件，∴D正确，故选：ACD.

11.答案：ABD

【详解】解：当时，为增函数，则，当时，

为增函数，故为增函数，则，且，解得，所以，实数的值可能是内的任意实数.故选：ABD.

12.答案：BC

【解答】对于A中函数在区间是单调函数，但是值域为不符合题意故A错误

对于B中函数在，单调递增，则关于方程的两个根，这样解得且故存在“和谐区间”B正确.

对于C中函数在上单调递增，则则是关于方程的两根得，，，所以函数的所有“和谐区间”为，，，故C正确.

对于D中函数存在“和谐区间”∵在上单调增

∴∴是方程的两个不等实根

令∴在上有两个不相等实根，令

对称轴为，则故D错误所以正确答案：BC

三、填空题（每题5分共20分）

13.答案：2

【解答】

14.答案：

【解答】函数定义域为：，又因为函数开口向下且对称轴为所以函数的单调递增区间为：

15.答案：

【解答】∵函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，∴函数在上是增函数∵，∴不等式等价于或∴或故不等式的解集为.

16.答案：，

【解答】作出函数的图象：可得时，的图象是二次函数的一部分，顶点为；当时，是一次函数的一部分，令，则实数，，即为与有三个交点时，对应的三个实数根，此时，结合，可知；

令，是方程的两根，则，则，又

故答案为：6，.

四、解答题（共70分）

17.【解答】解：（1），

（2）∵，，，

∵，

∴.

18.【解答】解：（1）∵命题“，”，为假命题，∴，，即，设，则，故实数的取值范围为.

（2）由（1）可知，若为真命题，则，

若为假命题，则，

若命题“，””为真命题，则，解得，

若命题“，””为假命题，则，

和中有且只有一个是真命题，若真假时，且，故，

若假真时，且，故，

综上所述，实数的取值范围为.

19.【解答】（1）∵的不等式的解集为，∴，且-1，3是方程的两个实数根，∴，，解得，，

∴不等式等价于，即，

故，解得或，所以该不等式的解集为；

（2）当时，不等式等价于，即，

又，所以不等式等价于，

当，即时，不等式为，解得；

当，即时，解不等式得或；

当，即时，解不等式得或，

综上，当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为.

20.【解答】（1）函数是定义在上的奇函数，可得

，解得，即即

，经检验，满足，所以的解析式为

（2）证明：设，则，

由于，则，，，，

所以，即，即有在上是递减函数；

（3）由于，且奇函数在上是递减函数，

则，即有，解得，

则的取值范围是.

21.【解答】（1）因为每间猪圈靠墙一边的长为米，猪圈的总造价为元，则.

（2）解：（1）若，，

当且仅当，即时，，故当为6米时，猪圈的总造价最低，最低造价5000元，

（2）若，函数在上递减，当时，，故当为米时，猪圈的总造价最低，最低造价为元，

综上所述，当，时，最低造价5000元，当，时，最低造价为元.

22.【解答】（1）在[1，2]任取且，则，所以，，即，所以是上增函数，故当时，取得最小值，当时，取得最大值0，所以函数的值域为.

（2），，令，，则.

（1）当时，在上单调递增，故；

（2）当时，在上单调递减，故；

（3）当时，在上单调递减，在上单调递增，故；综上所述，

（3）由（2）知，当时，，所以，

即，整理得，.因为，所以对于任意的时恒成立.令，，问题转化为.在任取且，则，，所以，①当时，，所以，即，所以函数在上单调递增；

（2）当时，，所以，即，所以函数在上单调递减：综上，，从而.

所以，实数的取值范围是.