2022-2023学年江苏省苏州市吴江汾湖高级中学高一上学期9月教学调研测试数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省苏州市吴江汾湖高级中学高一上学期9月教学调研测试数学试题

一、单选题

1．给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，进而判断出正误.

【详解】是实数，①正确；是无理数，②错误；是整数，③错误；是自然数，④错误；0是有理数，⑤错误，所以正确的个数为1．

故选：A．

2．若集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先对集合和集合进行化简，接着用并集运算即可得到答案

【详解】解：因为，，

所以，

故选：D

3．若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用判别式即可得到结果.

【详解】∵“，使”是真命题，

∴，解得.

故选：C

4．设x，y都是实数，则“且”是“且”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案.

【详解】由且，必有且；

当且时，如，不满足，故不一定有且．

所以“且”是“且”的充分不必要条件．

故选：A．

5．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据补集的定义结合集合的描述法理解运算.

【详解】设集合，

可得：，且，故.

故选：C.

6．设全集，，若，则B等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据题意得到，从而得到，再解方程即可得到答案.

【详解】因为，所以，所以，解得，

所以，

故选：C.

7．下列结论正确的是（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为1

【答案】B

【分析】利用基本不等式及其口诀“一正二定三相等”分析可得.

【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故A错误；

当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；

当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故C错误；

当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故D错误．

故选：B.

8．已知，给出以下不等式：①；②；③，则其中正确的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】对于①：利用基本不等式证明；对于②、③：取特殊值否定结论.

【详解】对于①：因为，所以，所以，即.故①正确；

对于②：取满足，但是，所以不一定成立.

故②错误；

对于③：取满足，但是，，此时，所以不一定成立.故③错误.

故选：B

二、多选题

9．设计如图所示的四个电路图，：“开关闭合”，：“灯泡亮”，则是的充要条件的电路图是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用充分条件，必要条件和充要条件的定义判断.

【详解】由题知，A中电路图，开关闭合，灯泡亮，而灯泡亮，开关不一定闭合，故A中是的充分而不必要条件；

B中电路图，开关闭合，灯泡亮，且灯泡亮，则开关闭合，故B中是的充要条件；

C中电路图，开关闭合，灯泡不一定亮，灯泡亮，则开关一定闭合，故C中是的必要而不充分条件；

D中电路图，开关闭合，则灯泡亮，灯泡亮，则开关闭合，故D中是的充要条件．

故选：BD.

10．下列命题中，真命题是（    ）

A．若，则“”是“x，y至少有一个大于1”的充分不必要条件

B．

C．的充要条件是

D．命题“”的否定形式是“”

【答案】AD

【分析】根据充分与必要条件的性质，结合全称与特称命题的性质与否定判断即可.

【详解】对A，“”可以推出“x，y至少有一个大于1”，但“x，y至少有一个大于1”不能推出“”故A正确；

对B，当时，，故B错误；

对C，当时，满足，但不成立，故C错误；

对D，由含有一个量词的否定可得D是正确的.

故选：AD

11．以下结论正确的是（    ）

A．函数的最小值是2；

B．若且，则；

C．的最小值是2；

D．函数的最大值为0．

【答案】BD

【分析】根据判断A，由均值不等式可判断B，利用对勾函数判断C，根据均值不等式判断D.

【详解】对于A，当时，结论显然不成立，故错误；

对于B，由知，根据均值不等式可得，故正确；

对于C，令，则单调递增，故最小值为，故C错误；

对于D，由可知，，当且仅当时取等号，故D正确.

故选：BD

12．已知全集，集合，，则（    ）

A．的子集有个 B． C． D．中的元素个数为

【答案】ACD

【分析】根据已知条件求出集合，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解.

【详解】因为，所以，

因为中的元素个数为，所以的子集有个，故A正确；

由，，得，所以，故B不正确；

由，，所以，所以， 故C正确；

由，得中的元素个数为，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知集合，，若，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【分析】根据，可得，从而可得出答案.

【详解】解：∵，∴，∴．

故答案为：.

14．已知，且，则的最小值是___________.

【答案】8

【分析】根据基本不等式结合求解即可.

【详解】，

当且仅当，即时取等号.

故答案为：8.

15．设是自然数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“酷元”.给定，设，且集合有两个元素，且这两个元素都是的“酷元”，那么这样的集合有________个.

【答案】5

【分析】由集合求得可取，根据题意得到集合不能含有，也不能同时含有，利用列举法，即可求解.

【详解】由，解得，又由，可得可取，

由题意知，集合不能含有，也不能同时含有，

故集合可以是，

即这样的集合有共有个.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了集合的新定义，集合表示方法，其中解答中正确理解题目给出的新定理是解答的关键，属于基础题.

16．设关于x的一元二次方程的两个解分别为，则的最小值为___________．

【答案】

【分析】利用韦达定理求出，再根据结合基本不等式即可得出答案.

【详解】解：因为关于x的一元二次方程的两个解分别为，

所以，解得，

，

则，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，集合．

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用交集和补集的基本运算即可得到答案；

（2）根据交集的运算结果得出集合间的包含关系，再利用分类讨论即可求出实数的取值范围

【详解】（1）当时，，则或，

故；

（2）由可知，，

当时，，符合题意；

当时，即；

综上，实数的取值范围为

18．已知全集，集合，．

(1)若且，求实数的值；

(2)设集合，若的真子集共有个，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求得和，进而求得，再根据求解即可；

（2）分情况讨论与分析即可.

【详解】（1）因为，，

因此，．若，则或，解得或．

又，所以．

（2），，

当时，，此时集合共有个真子集，不符合题意，

当时，，此时集合共有个真子集，符合题意，

综上所述，．

19．（1）已知，求的最小值；

（2）已知，求的最大值．

【答案】（1）9；（2）．

【分析】（1）由于，则，然后利用基本不等式求解即可，

（2）由于，变形得，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为9．

（2）因为，所以，

当且仅当，即时取等号，

故的最大值为．

20．已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根．

(1)若是真命题，求实数的取值集合；

(2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意，解得即可；

（2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围；

【详解】（1）解：若是真命题，则，解得，

则；

（2）解：因为，所以，

当时，由，解得，此时，符合题意；

当时，则有，解得，

综上所述，的取值范围为．

21．在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合，．

(1)当时，求；

(2)若______，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）根据并集得定义求解即可；

（2）选①，由，得，列出不等式组，从而可得出答案.

选②，由“”是“”的充分不必要条件，得集合为集合的真子集，列出不等式组，从而可得出答案.

选③，根据列出不等式，解之即可得解.

【详解】（1）解：当时，，，

所以；

（2）解：若选择①，，则，

因为，所以，又，

所以，解得：，

所以实数的取值范围是.

若选择②，“”是“”的充分不必要条件，

则集合为集合的真子集，

因为，所以，

又，

所以，且，

解得：，

所以实数的取值范围是.

若选择③，，

又因为，，

所以或，解得：或，

所以实数的取值范围是．

22．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点P，设．

(1)用x的代数式表示y，并写出x的取值范围；

(2)求的最大面积及相应x的值．

【答案】(1)

(2)当时，的面积最大，面积的最大值为

【分析】（1）设，根据几何关系可得各边长度，再根据中的勾股定理列式，化简可得，根据求解即可；

（2）根据，利用基本不等式求解最大值即可.

【详解】（1）如图，∵，由矩形的周长为，可知．设，则，

，，，，

．

在中，由勾股定理得，即，

解得，所以．即．

（2）的面积为．

由基本不等式与不等式的性质，得，

当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为