2022-2023学年江西省丰城中学高一（大部队）上学期期中考试数学试题（解析版） (1)

2022-2023学年江西省丰城中学高一（大部队）上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合,,若,则(    )

A．7 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】3在A中，也在B中，从而先确定，再确定

【详解】因为,所以,即,从而

所以

故选：C

2．若“”是“”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将两个不等式分别化简，然后根据题意列出不等式，求解即可.

【详解】因为，则

因为，则

即是的充分而不必要条件，

所以

故选:B.

3．已知，且满足，则有（    ）

A．最大值  B．最小值  C．最大值1 D．最小值1

【答案】A

【分析】由基本不等式即可求解.

【详解】，当且仅当，即时等号成立.

故选：A.

4．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】B

【分析】根据判别式可求参数的取值范围.

【详解】若，则恒成立，故符合，

若，则即，

综上，，

故选：B

5．已知函数的定义域为，则函数的定义域（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】因为的定义域为，则若要求的定义域，则是函数的值域，通过解不等式，即可求出的定义域，而对于来说，分母不能为0，从而得出答案.

【详解】因为的定义域为，则，解得，

即的定义域为，

而为.

故选：C

6．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设出幂函数的解析式，利用函数图象经过点求出解析式，再由定义域及单调性排除CDB即可.

【详解】设幂函数为，

因为该幂函数得图象经过点，

所以，即，解得，

即函数为，

则函数的定义域为，所以排除CD，

因为，所以在上为减函数，所以排除B，

故选：A

7．已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先利用，将自变量转化到上，再利用在上是增函数，可比较出大小.

【详解】因为，

所以，

，

因为在上是增函数，且，

所以，即，

故选：B

8．已知x，y为正实数，则的最小值为（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】A

【分析】x，y为正实数，利用基本不等式求的最小值.

【详解】x，y为正实数，则，当且仅当，即时等号成立.

最小值为6，

故选：A

二、多选题

9．下列四个命题：其中不正确的命题为（    ）

A．已知集合，集合，则

B．集合中有两个元素

C．由方程的所有实根构成的集合中的元素之和为2

D．记，则

【答案】AC

【分析】利用集合的定义可判断对错.

【详解】，所以A选项错误；

因为集合，所以B选项正确；

由于，集合中只有一个元素，和为1，所以C选项错误；

对于集合A，当时，，当时，，即，所以D选项正确.

故选:AC.

10．已知,不等式恒成立,,不等式0,则下列说法正确的是(    )

A．p的否定是:,不等式

B．的否定是:,不等式

C．为真命题时,

D．q为假命题时,

【答案】ACD

【分析】根据命题的否定定义判断，求参数可转化为函数的最值问题

【详解】的否定是:,不等式，A正确

的否定是:,不等式，B错误

若为真命题,则,即

解得，C正确

若为假命题,则恒成立

即恒成立

因为,当且仅当,即取等

所以，D正确

故选：ACD

11．已知函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是奇函数 B．是奇函数

C．是偶函数 D．是奇函数

【答案】AC

【分析】利用函数奇偶新的定义分别进行检验即可判断得出答案.

【详解】是奇函数，是偶函数，

，，

对于选项A：令，

，

则为奇函数，即选项A正确；

对于选项B：令，

，

则为偶函数，即选项B错误；

对于选项C：令，

，

则为偶函数，即选项C正确；

对于选项D：令，

，

则为偶函数，即选项D错误；

综上所述A，C正确，

故选：AC.

12．已知函数，，则下列结论正确的是（　　）

A．，恒成立，则实数a的取值范围是

B．，恒成立，则实数a的取值范围是

C．，，则实数a的取值范围是

D．，，

【答案】AC

【分析】对于选项A，B，C求出函数和的最值，即可判断出正误；对于选项D，根据函数和函数值域间的包含关系判断正误．

【详解】解：对于A选项，，恒成立，又为减函数，

所以，A选项正确；

对于B选项，，恒成立，即，又为减函数，所以，B选项不正确；

对于C选项，函数的图像为开口向上的抛物线，所以在对称轴处取最小值，在离对称轴最远处取最大值，所以，若，，则实数a的取值范围是，C选项正确；

对于D选项，，，即要求的值域是值域的子集，而的值域为，值域为，不满足要求，D选项不正确；

故选：AC.

三、填空题

13．已知函数，若在上单调递减，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】由题意可得，解不等式组即可得出答案.

【详解】由题意得,即，

解得：．

所以的取值范围为.

故答案为：.

14．函数的单调递增区间为__________．

【答案】和

【分析】先求出函数的定义域，再根据复数函数的单调性“同增异减”，即可得到答案

【详解】要使有意义，则，解得且

设，且

则在和单调递减，在和单调递增，

所以的单调增区间为和，

故答案为：和

15．已知，则函数的值域为______．

【答案】

【分析】将函数化简为，再结合双勾函数即可得出答案.

【详解】因为，所以，

，

令，

由双勾函数知，在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，所以.

故答案为：.

16．已知函数在上有定义，且.若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是______.

【答案】

【分析】由题意易知函数在上单调递减，讨论与大小关系，再结合，利用单调性即可列出不等式组，则可解出答案.

【详解】因为对任意给定的实数，恒有，

即成立，

所以函数在上单调递减，又，

所以不等式等价于

或，

等价于或，

解得：，

所以不等式的解集为.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，.

(1)若，求实数的取值范围；

(2)若时，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解一元二次不等式可求得集合，由包含关系可构造不等式组求得结果；

（2）分别在和的情况下，根据交集结果构造不等式求得结果.

【详解】（1）由得：，即，

，，解得：，即实数的取值范围为.

（2）由（1）知：；

当时，满足，此时，解得：；

当时，若，则或，解得：；

综上所述：实数的取值范围为.

18．命题；命题集合，集合A至少有两个子集．若p为假命题，q为真命题，求实数a的取值范围．

【答案】

【分析】根据p为假命题，可知为真命题，求出此时a的范围，根据q为真命题，求出此时a的范围，二者取交集可得答案.

【详解】由题意p为假命题，则为真命题，

当时，恒成立，适合题意；

当时，需满足且 ，解得，

综上可知实数a的取值范围是；

又命题集合，集合A至少有两个子集为真命题，

则当时，为，则有两个子集，符合题意；

当时，需有实数根，需满足，即且，

综合知，

综合上述可得实数a的取值范围是.

19．已知定义域为，对任意都有，当时，，．

(1)试判断在上的单调性，并证明

(2)解不等式：

【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析

(2)

【分析】（1）由单调性的定义结合已知条件证明即可

（2）结合条件将所求不等式化为，由函数的单调性解出不等式即可.

【详解】（1）函数在上单调递减，证明如下：

任取，且，

可得

，

因为，且时，，

所以，

所以

即，

所以在上单调递减．

（2）令，得，

∴   

∴

∴，

又在上的单调递减且

∴，

∴．  

∴，

即不等式解集为

20．（1）求函数 的定义域；

（2）求下列函数的值域：

①；

②.

【答案】(1)且；

(2).

【分析】(1)根据、分式和二次根式的意义即可求出函数的定义域；

(2)利用分离常量法即可解①；利用换元法和二次函数的性质即可解②.

【详解】(1)要使函数有意义，需满足

，即，解得且.

所以函数的定义域为且.

(2)①：，

因为，所以，即，

得，即函数的值域为；

②：，由，得，

所以函数的定义域为，

令，则，，

所以，

又函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时函数取得最小值，最小值为，

故函数的值域为.

21．已知正数、满足．

(1)求的最小值；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知，展开后结合基本不等式即可求解；

（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得，利用基本不等式可求．

【详解】（1）因为a、b是正数，，所以，因为，，所以

，当且仅当，时等号成立，故的最小值为；

（2）由可得，又，所以，

又可化为，所以，

所以，又，，，

所以

当且仅当、时等号成立，故的最小值为．

22．已知二次函数（，a，b，），，对任意，，且恒成立．

(1)求二次函数的解析式；

(2)若函数的最小值为2，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据得到，结合及恒成立，利用待定系数法求出函数解析式；

（2）写出分段函数的解析式，结合分段函数的特征，分类讨论，求出实数的值.

【详解】（1）因为对任意，，

所以，

即对任意成立，所以，

因为，所以，

所以，

又对任意，恒成立，

所以，

即在R上恒成立，

所以，

所以，，

所以函数.

（2）由题意，

①当时，，解得：，

②当时，，，不符合题意，舍去，

③当时，，解得：，

综上所述：实数.