2022-2023学年江西省丰城中学高一（创新班）上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省丰城中学高一（创新班）上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解出集合、，再利用补集和交集的定义得出集合.

【详解】解不等式，得或；

解不等式，得，解得.

，，则，

因此，，故选C.

【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

2．当m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】原复数化为（3m﹣2）+i（m﹣1），再根据m的范围确定.

【详解】m（3+i）﹣（2+i）化简得（3m﹣2）+i（m﹣1），

∵

∴3m﹣2＞0，m﹣1＜0

∴所对应的点在第四象限

故选：D.

【点睛】本题主要考查复数的代数形式，考查了复平面内各象限复数的特点，属于基础题.

3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】B

【详解】试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，

高中生的近视人数为，故选B.

【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.

4．若、为实数，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用推理判断或举特例说明命题“若，则”和“若，则”的真假即可作答.

【详解】若成立，取，而，即命题“若，则”是假命题，

若成立，取，而，即命题“若，则”是假命题，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D

5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则

（  ）

A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于

【答案】D

【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．

【解析】平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．

6．若，则（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简求值.

【详解】由已知，

所以，

故选：C.

7．在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.

【详解】如下图所示：

，即，，

，，，，

，、、三点共线，则.

，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.

【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.

8．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性易得当时，，进而可得，根据题意对任意的，都有恒成立，结合函数单调性可解得的取值范围.

【详解】是定义在上的奇函数，且当时，，

当时，，

所以，

所以对任意的，有恒成立，

因为在上单调递增，

，即恒成立，

，

解得，

故选：A.

二、多选题

9．已知，则满足的关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据指数与对数互化的关系求出，取倒数相加即可判断A选项是否正确；将代入B、C、D选项式子的左端化简,并利用基本不等式即可判断是否正确.

【详解】，，

，

对于A选项：，，，故A选项正确；

对于B选项：，

，故B选项正确；

对于C选项：，,

，故C选项错误；

对于D选项：，

，

，，故D选项正确；

故选：ABD

10．(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则（    ）

A．A，M，N，B四点共面

B．平面ADM⊥平面CDD1C1

C．直线BN与B1M所成的角为60°

D．BN∥平面ADM

【答案】BC

【分析】由点线面之间的关系，及面面垂直，线面平行的判定方法，依次判断各选项即可得出结果.

【详解】如图所示，对于A，直线AM，BN是异面直线，故A，M，N，B四点不共面，故A错误；

对于B，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正确；

对于C，取CD的中点O，连接BO，ON，可知三角形BON为等边三角形，故C正确；

对于D，因为BN∥平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误．

故选：BC.

11．定义在上的函数满足，当时，，则满足（    ）

A． B．是奇函数

C．在上有最大值 D．的解集为

【答案】ABD

【分析】利用赋值法可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C选项的正误；利用函数的单调性解不等式，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，令，可得，解得，A对；

对于B选项，函数的定义域为，

令，可得，则，

故函数是奇函数，B对；

对于C选项，任取、且，则，

即，所以，

所以，函数为上的减函数，

所以，在上有最大值，C错；

对于D选项，由于为上的减函数，由，可得，解得，D对.

故选：ABD.

12．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（    ）

A．角C可以为锐角 B．

C．的最小值为 D．

【答案】BD

【分析】选项A，结合诱导公式、二倍角公式对已知等式化简可得，即可判断；

选项B，由A和余弦定理，即可判断；

选项D，结合选项的结论，再根据同角三角函数的商数关系、正弦定理和余弦定理，可推出，从而可判断；

选项C，结合选项D的结论，再由三角形的内角和定理与正切的两角和公式，结合基本不等式，即可判断．

【详解】解：∵，

∴，即，∴，

又，∴C一定为钝角，故选项A错误；

由余弦定理知，，化简得，故选项B正确；

∵，

∴，故选项D正确；

∵，

∴，

∵C为钝角，∴，，

∴，当且仅当，

即时，等号成立，

此时取得最大值，故选项C错误.

故选：BD.

三、填空题

13．如图，为了测量河对岸的塔高AB，可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D，现测得CD=200米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又∠CBD=30°，则塔高AB=________．

【答案】200 米

【分析】根据图形设塔高米，则，中，由余弦定理即可得解.

【详解】设塔高米，则，

中，由余弦定理，

所以，

.

故答案为：200 米

14．若函数是R上的奇函数，且对任意的x∈R有，当∈时，，则_______．

【答案】

【解析】由已知确定函数是周期函数，且最小正周期是，根据周期性和奇函数性质计算函数值．

【详解】∵，∴，

∴是周期为的周期函数，又是奇函数，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性．函数满足，或，或时，它们是周期函数，且是它们的一个周期．

15．在四棱锥中，底面为正方形，底面，且．为棱上的动点，若的最小值为，则______．

【答案】3

【分析】由,可得平面,则将沿棱翻折至与底面共面，点在AB的延长线上，则问题转化为上的动点到定点，的距离和的最小值，显然当三点共线时最小，即可计算求解.

【详解】易证平面，则，将沿棱翻折至与底面共面，如图所示．设，则，当，，三点共线时，取得最小值，故，解得，则．

【点睛】几何体中，最短路径问题通常将曲面展开，研究两点连线最短的问题，从而将曲面的最短路径问题转化为平面最短路径问题.

16．在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】由余弦定理化简已知式，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换得，由锐角三角形求得的范围，待求式切化弦，通分后利用已知条件化为，由正弦函数性质可得范围．

【详解】因为，由余弦定理得，所以，

，

由正弦定理得，所以，

因为为锐角三角形，所以，，，

由，得，，

，

，所以．

故答案为：．

【点睛】本题考查都得用正弦定理和余弦定理求三角函数的取值范围，解题关键是由正弦定理和余弦定理变形化简得出三角形中角的关系，从而再由锐角三角形得角的范围．再把待求式化为某个角的函数，从而求得取值范围．

四、解答题

17．已知函数是定义域上的奇函数，

（1）确定的解析式；

（2）解不等式.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据函数为奇函数，则，可求出答案.

（2）先求出函数的单调性，根据单调性结合函数为奇函数定义域可解出不等式.

【详解】（1）根据题意，函数是定义域上的奇函数，

则有，则；

此时，为奇函数，符合题意，

故，

（2）先证单调性：设，

，

又由，则，，，，

则有，

即函数在上为减函数；

，

解可得：，

即不等式的解集为.

【点睛】本题考查根据奇偶性求参数，根据奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.

18．已知，，若，且的图像相邻的对称轴间的距离不小于.

(1)求的取值范围；

(2)在锐角中，，，分别是角，，的对边，若当（1）中取最大值时，，且的面积是，求周长的最小值.

【答案】(1)；

(2)6.

【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出的解析式，利用二倍角的正弦、余弦公式化简，再利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由图象中相邻的对称轴间的距离不小于，得到周期的一半大于等于，即可求出的范围；（2）当取最大值1时，由，可得，由，可得 由余弦定理可得结合基本不等式可得周长的最小值.

【详解】（1）

又由条件知，所以.

（2）当取最大值1时，，又，

所以，故.                  

在中，，

又由余弦定理有：     

周长

当且仅当时取得等号.所以，周长的最小值为.

19．的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

【答案】(1) ;(2).

【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.

【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．

，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.

(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，

故，解得.

又应用正弦定理，，

由三角形面积公式有：

.

又因,故，

故.

故的取值范围是

【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.

20．垃圾分类，人人有责.2020年12月1日，天津市正式实施《天津市生活垃圾管理条例》，根据条例，市民要把生活垃圾分类后方能够投放．已知滨海新区某校高一、高二、高三3个年级学生的环保社团志愿者人数分别为30，15，15．现按年级进行分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取4名同学参加垃圾分类知识交流活动．

（1）应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取多少人？

（2）设抽出的4名同学分别用表示，现从中随机抽取2名同学分别在上午和下午作交流发言．

（i）写出这个试验的样本空间；

（ii）设事件“抽取的2名同学来自不同年级”，求事件发生的概率．

【答案】（1）高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人、1人、1人；（2）（i）;

（ii）．

【分析】（1）求出抽样比，从而可求出答案；

（2）（i）列举法即可写出样本空间；（ii）列举法求出事件包含的样本点，再根据古典概型的概率计算公式求解即可．

【详解】解：（1）设抽取高一､高二､高三3个年级的环保社团志愿者人数分别为，

由分层抽样，得，

解得，

∴应从高一、高二、高三3个年级的环保社团志愿者中分别抽取2人、1人、1人；

（2）（i）样本空间为：

，

共有12个样本点，每个样本点都是等可能发生的；

（ii）由（1），不妨设抽出的4名同学中，来自高一年级的是，来自高二年级的是，来自高三年级的是，

∵，

∴，

∴事件发生的概率．

21．如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：

（1）AO与A′C′所成角的度数；

（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；

（3）平面AOB与平面AOC所成角的度数.

【答案】（1）.（2）.（3）

【分析】（1）由//，即可知所求异面直线夹角为，在中解三角形即可容易求得；

（2）过作，通过证明平面，结合棱长关系，即可求得即为所求；

（3）由题可证平面AOB⊥平面AOC，则二面角的平面角为.

【详解】（1）∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.

∵AB⊥平面BC′，OC⊂平面BC′，∴OC⊥AB，

又OC⊥BO，AB∩BO=B.∴OC⊥平面ABO.

又OA⊂平面ABO，∴OC⊥OA.

在Rt△AOC中，OC=，AC=，sin∠OAC=，

∴∠OAC=30°，

即AO与A′C′所成角的度数为30°.

（2）如图，作OE⊥BC于E，连接AE.

∵平面BC′⊥平面ABCD，且其交线为，又平面，

∴OE⊥平面ABCD，

∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.

在Rt△OAE中，OE=，AE=，

∴tan∠OAE=.

（3）∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB=O，∴OC⊥平面AOB.

又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.

即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.

【点睛】本题考查异面直线的夹角、线面夹角、与二面角的求解，属综合基础题.

22．已知函数(，)

（1）若关于的不等式的解集是，求实数，的值；

（2）若，函数，，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1），；（2）；（3）.

【分析】（1）由的解集知，的两根为和，根据韦达定理求得参数值.

（2）由题意得，，，所以，不等式恒成立等价于在恒成立.通过讨论x的值，分离参数在恒成立，根据函数单调性，求得最值，从而求得k的取值范围.

（3）方程在区间有两个不同的实根，应满足条件，把条件中的b用和a表示，从而解得的取值范围.

【详解】（1）因为的解集为，

所以的两根为和，

由韦达定理得，

所以，.

（2）由题意得，，，所以，

因为在恒成立，

所以在恒成立.

①当时，满足题意，

②当时，在恒成立，

即，

因为在单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，所以，，

所以；

（3）因为方程在区间有两个不同的实根，

所以，

所以，

所以，

由，由得，得，

综上所述：.

所以的取值范围是.