2022-2023学年江西省莲花中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省莲花中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合交集的定义和运算即可求解.

【详解】由题意知，或，

又，所以.

故选：B.

2．命题“，”的否定是（      ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.

【详解】命题“，”的否定是“，”.

故选：C

3．若，则下列不等式中成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】举反例可判断选项A、C、D，利用的单调性可判断B，进而可得正确选项.

【详解】对于A：取，，满足，但，故选项A不正确；

对于B：因为幂函数在上单调递增，所以若可得，故选项B正确；

对于C：取，，满足，但，故选项C不正确；

对于D：取，，满足，但，故选项D不正确；

故选：B.

4．函数的定义域为（      ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据偶次方根被开方的数为非负以及分式分母不能为0，即可列不等式求解.

【详解】由题意可知：

且，解得

所以定义为，

故选：D

5．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为(万元)，一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为（    ）

A．139万元 B．149万元 C．159万元 D．169万元

【答案】C

【分析】，然后利用二次函数的知识可得答案.

【详解】利润

故最大利润为159万元

故选：C

6．已知集合，则集合的真子集的个数为（    ）

A．13 B．14 C．15 D．16

【答案】C

【分析】求出集合中元素的个数，即可求出真子集的个数.

【详解】解：，所以集合的真子集的个数为 ，

故选C

【点睛】本题考查集合的真子集的个数，如果集合有个元素，则其真子集个数为，属于基础题．

7．已知，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为，且幂函数在 上单调递增，所以b<a<c.

故选A.

点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.

8．若函数是奇函数，且在定义域上是减函数，，则满足的实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的单调性和奇偶性得到，解得答案.

【详解】函数是奇函数，且在定义域上是减函数，

，即，则，解得.

故选：.

【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

二、多选题

9．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值可以是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】CD

【分析】根据充分不必要条件与集合之间包含关系的等价联系即可解出．

【详解】由解得，或，由题意可知，，．

故选：CD．

10．已知且，则下列说法正确的是（       ）

A．的最小值为 B．的最大值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ACD

【分析】由基本不等式判断各选项．

【详解】因为，所以

，当且仅当，即时等号成立，A正确；

，即，当且仅当，即时等号成立，B错；

，当且仅当时等号成立，C正确；

，当且仅当时等号成立，D正确．

故选：ACD．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

11．已知实数，，满足，，则（    ）

A． B．

C．若，则 D．若，则

【答案】AC

【分析】由题意判断，结合条件可得，判断A;举反例可判断B,D;利用作差法可判断C.

【详解】由于实数，，满足，，

故，否则 ，则，则，不合题意；

故由，可得，A正确；

取 满足，，

但，故B错误；

若，则，则，

即，C正确；

取，满足且，，

但，D错误；

故选：AC

12．已知函数，设， ，则（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABD

【分析】作出函数的图象，时，由于，可得到，化简可判断A，结合基本不等式可判断B;数形结合，结合函数的单调性，可判断C,D.

【详解】作出函数的图象，如图示：

当时，由于，可知，

则，则 ，即，A正确；

由于，则，即 ，B正确；

当时，单调递增，当时，有 ，

即，不符合C,D选项；

当时，，由于，则，即，

当时，递增，若，则即，

当时，递减，

若，则，即 ；

若，则由 ，令，

由于此时，则，

由，可得，即 ，故C错误，D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为___________.

【答案】2

【分析】利用集合的互异性，分类讨论即可求解

【详解】因为a∈{1，a2﹣2a+2}，则：a=1或a=a2﹣2a+2，

当a=1时：a2﹣2a+2=1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；

当a≠1时：a=a2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2；

故答案为：2

【点睛】本题考查集合的互异性问题，主要考查学生的分类讨论思想，属于基础题

14．若正实数，满足，则的最小值为______.

【答案】5

【分析】利用已知条件将变形为，利用基本不等式即可求得答案.

【详解】由题意正实数，满足，

可得，

当且仅当时取得等号，

即的最小值为5，

故答案为：5.

15．已知函数，，若对于任意的，总存在，使得或，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】记函数的值域为，的值域为，进而转化为求解即可，再分别研究函数，的值域即可得答案.

【详解】解：记函数的值域为，的值域为，

因为对于任意的，总存在，使得或，

所以，

因为，，

所以，即函数的值域为，

当时，时，，当且仅当时等号成立，

所以，根据对勾函数的性质可知，的值域为，

因为，

所以，有，解得，

当时，的值域为，满足，故时成立，

综上所述，实数的范围为.

故答案为：

16．定义：表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为________．

【答案】

【分析】根据的定义即可求出函数的值域.

【详解】解：当为整数时，，

当时，，

当时，，

所以当且不为整数时，的值域包含于

．

故答案为：.

四、解答题

17．若集合A＝{x|2x﹣1⩾3}，B＝{x|3x﹣2＜m}，C＝{x|x＜5，x∈N}．

(1)求A∩C；

(2)若A∪B＝R，求实数m的取值范围．

【答案】(1)A∩C＝{2，3，4}

(2)[4，+∞）．

【分析】（1）先求出A与C，再根据集合的基本运算求解．

（2）先求出集合B，再根据A∪B＝R，得到不等式求解．

【详解】（1）∵A＝{x|2x﹣1⩾3}＝{x|x⩾2}，C＝{x|x＜5，x∈N}＝{0，1，2，3，4}，

∴A∩C＝{2，3，4}．

（2）∵B＝{x|3x﹣2＜m}＝ ，

∴，

∵A∪B＝R，

∴2，∴m≥4，

∴实数m的取值范围为[4，+∞）．

18．计算下列各式

(1)；

(2)已知，求下列各式的值：

①；

②．

【答案】(1)89；

(2)①；②.

【分析】(1)根据指数幂的运算性质和指数幂与根式的互化，化简计算即可求解；

(2)①根据完全平方和公式化简计算可得，结合开平方即可；

②根据公式，结合①计算即可求解.

【详解】（1）原式；

（2）①∵，

∴，

又由得，

∴，

所以；

②（法一）

，

（法二）

，

而

，

∴，

又由得，

∴，

所以.

19．已知函数是定义在R上的奇函数（其中e是自然对数的底数）．

（1）求实数m的值；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据奇函数的性质得到即可求出实数的值.

（2）首先根据为奇函数得到，再根据函数的单调性解不等式即可.

【详解】（1）是定义在的奇函数，

，即.

（2）∵函数为奇函数，

所以..

又因为，都为上增函数，

所以在上单调递增，

，即，

.

【点睛】本题第一问考查根据函数的奇偶性求参数，第二问考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于简单题.

20．已知集合，．

(1)设命题：，命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；

(2)若存在，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据一元二次不等式的解法求出集合，再根据必要不充分条件与集合间的包含关系的等价联系，即可解出；

（2）根据题意可知，所以，或，解出即得解．

【详解】（1），，由题知，，，，所以实数的取值范围为．

（2）∵存在，即，所以或，

，实数的取值范围为．

21．已知集合，

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）已知，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）等价于和是方程的两个根，根据韦达定理可得结果；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，原不等式可化为在上恒成立，利用二次函数知识求出在上的最小值，再解不等式可得结果.

【详解】（Ⅰ）由题意可知，和是方程的两个根，

所以由韦达定理得，解得，

故实数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，原不等式可化为，

所以在上恒成立，

令，

因为，

所以，

所以不等式恒成立等价于，故由，

解得：，

故实数的取值范围为：.

【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.

22．已知函数为奇函数.

(1)判断在上的单调性并用函数单调性的定义证明；

(2)若存在，，使得在上的值域为，求实数的取值范围.

【答案】(1)单调递减，证明见解析

(2)

【分析】（1）根据为奇函数，求出，然后利用单调性的定义法证明即可.

（2）根据在上是减函数，得到在上有两解，取，化简得到在上有两解，最后利用数形结合即可求解.

【详解】（1）的定义域为，因为为奇函数，

所以，所以，

在上单调递减

证明如下：

任取，，且，则，

则

因为，，，故，

所以，所以在上单调递减

（2）由（1）知在上是减函数，

所以在上的值域为，

所以所以在上有两解

所以在上有两解，

令，则关于的方程在上有两解，

即在上有两解，

所以解得，

所以实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：利用定义法进行证明函数单调性，一定要注意解题步骤：（1）设元；（2）作差；（3）化简；（4）判号；（5）结论，其中的判号这一步骤，尽可能化简成因式分解的形态进行判断.