2022-2023学年陕西省咸阳市高新一中高一上学期期中数学试题（B卷）（解析版）

2022-2023学年陕西省咸阳市高新一中高一上学期期中数学试题（B卷）

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据交集直接计算求解.

【详解】，

．

故选：A

2．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据函数解析式，列不等式组求解即可.

【详解】根据题意可得，所以.

故选：C.

3．已知函数则的是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据自变量的范围确定表达式，从里往外一步步计算即可求出.

【详解】因为，所以，

因为，所以＝＝3.

【点睛】主要考查了分段函数求值问题，以及对数的运算，属于基础题.对于分段函数求值问题，一定要注意根据自变量的范围，选择正确的表达式代入求值.

4．已知集合，，若，则实数的取值集合为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，由N⊆M，得或=1．由此能求出实数a的取值集合．

【详解】∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，

∴当a=0时，N=∅，成立；

当a≠0时，N={}，

∵N⊆M，∴或=1．

解得a=﹣1或a=1，

综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．

故选D．

【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

5．已知集合，则满足条件的集合的个数为（  ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【详解】求解一元二次方程，得

，易知.

因为，所以根据子集的定义，

集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，

原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.

【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.

6．已知函数f(x)的定义域为[-2，4]，其图像如图所示，则xf(x)<0的解集为（    ）

A．{x|-2≤x<-1} B．{x|-1≤x≤0}

C．{x|1≤x≤3} D．{x|0≤x≤4}

【答案】A

【分析】根据图像判断自变量和函数值符号即可.

【详解】由题图可知，当-2≤x<-1时，f(x)>0，当-1≤x≤0时，f(x)≤0，当0<x≤4时，f(x)>0，故xf(x)<0的解集为{x|-2≤x<-1}，

故选：A.

7．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据两者的推出关系，结合充要条件的概念分析即可．

【详解】若，则成立，

若，无法推出，

故是的充分不必要条件，

故选：A．

【点睛】本题考查了充分条件必要条件的判断，考查逻辑思维能力，属于基础题．

8．已知命题p：，使成立，则p的否定是（    ）

A．，使不成立 B．，使不成立

C．，使不成立 D．，使不成立

【答案】C

【分析】由特称命题的否定形式，判断即得解

【详解】由特称命题的否定形式可得：

“，使成立”的否定为“，使不成立”

故选：C

9．若a＜b，则下列不等式一定成立的是（    ）

A．> B．a2＜b2 C．a3＜b3 D．|a|>|b|

【答案】C

【分析】ABD三个选项举出反例即可判断，C选项做差结合立方差公式即可判断.

【详解】A若，则，故A错误；

B若，则，故B错误；

C，因为恒成立，又因为，则，故，故C正确.

D若，则，故D错误.

故选：C.

10．若，则的取值范围是（    ）

A． B． C．(0，4) D．(0，10)

【答案】B

【分析】求出，，由不等式的性质即可得出答案.

【详解】∵，∴，

∵，，

∴.

故选：B.

11．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式.

【详解】，

由的解析式可知，在上是单调递增函数，

再由，得，

 即，解得.

故选：C.

【点睛】此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关.

12．设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】分别求得时，时，时，对应函数的值域，根据二次函数图像及性质可知时，令，可解得的最大值.

【详解】,

,

当时，在上递减，在上递增，值域为，

当时， ，，值域为，

当时，，，值域为，

当时，，在上递减，在上递增，且当时，，

令，

解得，

即当时，，当时，，

所以当时，对任意都有，

即的取值范围是，

故选：C

【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用问题，二次函数的图象与性质，也考查了运算与求解能力，以及分类讨论的解题思想，属于中档题.

二、填空题

13．设表示集合，表示集合，已知且，则____.

【答案】

【分析】依题意可得，解得，再代入中检验即可.

【详解】解：因为，所以，

解得或，

当时，，不符合题意，舍去；

当时，，符合题意，所以.

故答案为：

14．若“”是“”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是____.

【答案】.

【分析】解不等式，得到的解集，由充分而不必要条件得到不等式组，求出实数a的取值范围.

【详解】由得：，

要使“”是“”的充分不必要条件，

则有，即，所以.

故实数a的取值范围是.

故答案为：.

15．已知正实数a，b满足，则的最小值是___________.

【答案】16

【分析】对利用基本不等式求出且，把展开得到，即可求出最小值.

【详解】因为正实数a，b满足，

所以，即，也即，

当且仅当时，即时取等号.

因为，所以，

所以.

故的最小值是16.

故答案为：16

16．已知f(x)=，则____.

【答案】

【分析】由，代入分段函数即可得出答案.

【详解】，

所以.

故答案为：

三、解答题

17．（1）集合，且，用列举法表示；

（2）用描述法表示图中的阴影部分(包括边界)；

（3）集合M中的元素为自然数，且满足，则满足题设条件的集合M共有多少个？

【答案】（1）；（2）；（3）31个.

【分析】（1）由，解得，根据从而得集合；

（2）分两部分表示出阴影部分的面积，然后合并即可；.

（3）满足条件的集合M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素组成，分情况逐一求解即可.

【详解】（1）注意到，因此，解得，又

∵，，所以

（2）阴影部分的面积分两部分，即或，合并为：.

（3）满足条件的集合M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素组成，它包括以下情况：

①由1个集合中的元素组成的有{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}，共5种；

②由2个集合中的元素组成的有{4，0，8}，{4，1，7}，{4，2，6}，{4，3，5}，{0，8，1，7}，{0，8，2，6}，{0，8，3，5}，{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}，共10种；

③由3个集合中的元素组成的有{4，0，8，1，7}，{4，0，8，2，6}，{4，0，8，3，5}，{4，1，7，2，6}，{4，1，7，3，5}，{4，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6}，{0，8，1，7，3，5}，{1，7，2，6，3，5}，{0，8，2，6，3，5}，共10种；

④由4个集合中的元素组成的有{4，0，8，1，7，2，6}，{4，0，8，1，7，3，5}，{4，0，8，2，6，3，5}，{4，1，7，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6，3，5}，共5种；

⑤由5个集合中的元素组成的有{4，0，8，1，7，2，6，3，5}，1种.

综上可知，满足题设条件的集合M共有31个.

18．设全集，集合，

（1）求；

（2）若集合，满足，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）化简集合B，根据交集运算即可求解；

（2）由可得，据此建立不等式求解即可.

【详解】（1）∵，

∴；

（2）由集合C中的不等式，解得，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得

19．已知集合，．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】

【分析】先求解集合A，然后利用x∈A”是“x∈B”的充分条件，得到A⊆B，进而比较端点值大小求解实数m的取值范围

【详解】，

因为，所以，

所以．

由x+m2≥1，得x≥1-m2，所以B={x|x≥1-m2}．

因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，

所以A⊆B，所以，解得：或，

故实数m的取值范围是．

20．解关于的不等式

【答案】见解析

【分析】由题意，原不等式等价于，分类讨论，即可求解不等式的解集.

【详解】原不等式等价于

(1)当时，解集为

(2)当时，原不等式可化为，

因为，所以解集为

(3)当时，，解集为

(4)当时，原不等式等价于，即，

解集为

(5)当时，，解集为

综上所述，当时，解集为；当时，解集为；

当时，解集为；当时，解集为

【点睛】本题主要考查了含参数的分式不等式的求解，以及含参数的一元二次不等式的求解问题，其中解答中根据参数，合理分类讨论求解不等式的解集是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力.

21．求解下列各题：

（1）求的最大值；

（2）求的最小值.

【答案】（1）；（2）8.

【分析】（1）因为，所以利用均值不等式即可求解；

（2）因为，所以利用均值不等式即可求解.

【详解】解：（1）因为，又，

所以，

所以，当且仅当，即时取等号，

故y的最大值为；

（2）由题意，，

因为，所以，

所以，当且仅当，即时等号成立，

故y的最小值为8.

22．已知函数f(x)＝-x2＋2ax＋1-a．

(1)若函数f(x)在区间［0，3］上是单调函数，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)在区间［0，1］上有最大值3，求实数a的值．

【答案】(1)a≤0或a≥3

(2)a＝-2或a＝3

【分析】（1）先求函数对称轴，再根据开口方向以及对称轴与定义区间位置关系即可求出结果；

（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数a的值

【详解】（1）函数图像开口向下，对称轴为x＝a，

因为函数f(x)在区间［0，3］上是单调函数，

所以函数f(x)在区间［0，3］上是增函数或减函数，

所以a≤0或a≥3．

（2）f(x)对称轴为x＝a，

当a≤0时，函数f(x)在区间［0，1］上是减函数，

则f(x)max＝f（0）＝1-a＝3，即a＝-2；

当0＜a＜1时，函数f(x)在区间［0，a］上是增函数，在区间［a，1］上是减函数，

则f(x)max＝f（a）＝a2-a＋1＝3，解得a＝2或-1，不符合题意；

当a≥1时，函数f(x)在区间［0，1］上是增函数，

则f(x)max＝f(1)＝-1＋2a＋1-a＝3，解得a＝3；

综上所述，a＝-2或a＝3．