2022-2023学年上海交通大学附属中学浦东实验中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海交通大学附属中学浦东实验中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设，下列计算中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指数幂的运算性质逐一判断即可.

【详解】解：，A错；

，B错；

，C错；

，D正确.

故选：D.

2．已知，记，则M与N的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．不确定

【答案】B

【分析】通过作差法比较代数式的大小.

【详解】，因为，所以，所以.

故选:B

3．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】根据不等式的性质判断各个命题．

【详解】A中若，则得不出，错误；B中，若，则有，错误；C中若，则仍然是，错误；由不等式的性质知D正确．

故选：D.

【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题基础．

4．对三个正实数、、，下列说法正确的是

A．存在（、、）的一组值，使得、、均小于2

B．存在（、、）的一组值，使得、、中恰有两个小于2

C．对（、、）任意值，、、都不小于2

D．对（、、）任意值，、、中至多有两个不小于2

【答案】B

【分析】假设，，可根据正实数的条件确定，根据不等关系可得，利用函数思想可求得，即恒成立，从而排除；通过特殊值可验证出正确，错误.

【详解】若、、均小于，则，

但由基本不等式可得

、、不能均小于，则错误

当，，时

，，

存在的一组值，使得、、中恰有两个小于，则正确

当，时

，，

存在的一组值，使得、、中有小于的值，则错误

当时，

存在的一组值，使得、、均不小于，则错误

本题正确选项：

【点睛】本题考查含逻辑联结词的命题真假性的判断，通常可采用特殊值的方式来进行排除；难点是本题中对于存在命题的排除，需借用函数恒成立的思想来进行求解，通过证明任意性来得到结论.

二、填空题

5．已知，那么______

【答案】

【分析】由可得或结合集合的互异性进行分类讨论即可得解.

【详解】由，

若，，此时不符合集合的互异性，

若解得（舍）或，

满足集合的互异性，

故答案为：

6．满足的集合的个数有______个．

【答案】

【分析】转化为求集合子集的个数.

【详解】集合A中有元素，元素是否加入的方案数等价于集合子集数，的共有4种方法.

故答案为：4

【点睛】个元素的集合有个子集.

7．“且”的否定是“__________”

【答案】或

【分析】根据命题否定的定义进行求解即可.

【详解】已知原命题为“且”，

则命题的否定为“或”.

故答案为：或

8．已知集合，集合，则集合的所有元素之和为___________.

【答案】28

【分析】根据集合描述法，列举集合中的元素求解即可.

【详解】,,

,

集合的所有元素之和为28,

故答案为：28

9．已知，则的最小值是________.

【答案】5

【分析】将变形为，利用基本不等式即可求得答案.

【详解】∵，∴，

∴，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值是5,

故答案为:5.

10．若，的最小值是______．

【答案】

【分析】直接根据绝对值不等式求解的最小值即可.

【详解】，

当且仅当，即时，等号成立，

的最小值为.

故答案为：

11．，则=_________.

【答案】

【分析】将方程变形为，再直接求解即可.

【详解】解：，

，

.

故答案为：.

12．设，若关于的方程有一个正根、一个负根，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据二次函数的零点的分布，列出不等式，解之即可.

【详解】令，

因为方程有一个正根、一个负根，

所以，即，

所以.

故答案为：.

13．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】依题意可得，即可求出参数的取值范围.

【详解】解：因为关于的不等式的解集为，

所以，解得，即实数的取值范围是.

故答案为：

14．已知集合，，那么集合________．

【答案】

【分析】根据集合A，B表示的意义，联立方程求解即可.

【详解】由题意，A集合表示直线 ，B集合表示双曲线 ，所以 表示两曲线的交点，

联立方程 解得： ，由于 ，无实数解，

；

故答案为： .

15．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是________

【答案】

【分析】首先根据题意可知2，3是一元二次方程的实数根，且利用韦达定理可知，代入得，然后解一元二次不等式即可.

【详解】因为不等式的解集是，

所以2，3是一元二次方程的实数根，且

所以，即

所以不等式化为，

即，解得

所以不等式的解集为

故答案为：

16．已知非空集合M同时满足下列条件：①；②若，则，则符合条件的集合M共有_______个.

【答案】15

【分析】先求出满足，且的数对，然后将符合条件的集合M的个数转化为对应集合的非空子集的个数即可.

【详解】解：满足，且的数对有，

则集合M的个数为集合的非空子集的个数，

则符合条件的集合M共有个.

故答案为：15.

三、解答题

17．解不等式

【答案】

【分析】通过分类讨论去掉绝对值解不等式即可.

【详解】当时，不等式为；

当时，不等式为；

当时，不等式为.

所以不等式的解集为.

18．设集合，集合，

(1)求集合A，集合B；

(2)求，．

【答案】(1)｜或，.

(2)｜或，.

【分析】（1）解分式不等式，可得或者即可求得集合，解绝对值不等式可得即可求得集合；

（2）根据集合交集和并集的定义直接求解即可.

【详解】（1）对集合 ：由可得或者，

故｜或，

由可得，，

故

（2）由（1）可得｜或，

.

19．已知集合，，

(1)若，试求实数的取值范围．

(2)若，试求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先分别求解出、两个集合，然后根据条件求解参数的取值范围即可；

（2）根据题干条件，得，然后根据子集的定义求解参数的取值范围即可.

【详解】（1）解：由，解得：，

得.

.

，.

又，

或，解得：或，

即.

（2）解：由（1）可知：，，且.

，，

，解得：，

即.

20．已知，，．

(1)求的最小值；

(2)求的最大值；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先根据，可得，然后使用基本不等式 “1”的妙用进行求解最值即可.

（2）首先先将原式平方，然后利用基本不等式求解最大值即可.

【详解】（1），，，

，

，

当且仅当，即时等号成立.

的最小值为.

（2），

当且仅当，即，时等号成立，

，

故的最大值为.

21．已知关于的不等式，其中．

(1)时，求不等式的解集；

(2)当变化时，试求不等式的解集；

(3)对于不等式的解集，若满足（其中为整数集）．试探究集合能否为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的所有取值，并用列举法表示集合；若不能，请说明理由．

【答案】(1)

(2)见解析

(3)能，

【分析】（1）首先将代入，然后解一元二次不等式即可；

（2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集.

（3）结合（2）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案.

【详解】（1）将代入不等式中，得，

解得或，

故不等式的解集为.

（2）当k＝0时，A＝{x|x<4}；

当k>0且k≠2时，A＝{x|x<4或}；

当k＝2时，A＝{x|x≠4}；

当k<0时，A＝{x|<x<4}．

（3）由（1）知：当k≥0时，集合B中的元素的个数有无限个；

当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集．

因为＝－[(－k)＋]≤－4，当且仅当k＝－2时取等号，

所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少，

此时A＝{x|－4<x<4}，故集合B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．