2022-2023学年上海市高桥中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市高桥中学高一上学期期中数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市高桥中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．设集合，则下列关系中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合后可逐项判断正误.【详解】，，而表示函数图象上所有点的集合.故，而为的真子集，，故选：A2．直线，，及幂函数将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过（    ）A．③⑦ B．③⑧ C．④⑦ D．①⑤【答案】D【解析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】解：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近于轴，，在的左侧位于左侧，故经过⑤，在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近于轴，在的右侧位于上方的下方，故经过①.故选：D.3．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（    ）附：A．10% B．20% C．50% D．100%【答案】B【分析】根据题意，计算出的值即可；【详解】当时，，当时，，因为所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%，故选：B.【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用. 二、多选题4．已知关于x的不等式的解集为，则（    ）A．为定值B．的最小值为C．的最大值为D．无最小值【答案】ABD【分析】根据一元二次不等式的解可得，进而代入选项中，结合基本不等式以及二次函数的单调性即可求解.【详解】由于的解集为，所以，因此，故A正确，，由于，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确，，由于，所以，当且仅当时，等号成立，故C错误，在单调递增，由于，故无最小值，故D正确，故选：ABD 三、填空题5．己知集合，若，则a的值是____________．【答案】.【分析】根据得到方程，求出a的值.【详解】因为，所以，解得：，经检验均满足题意.故答案为：.6．将函数的图象向左平移个单位得到新函数的图象，则新函数的表达式为______.【答案】【分析】利用函数的图象变换可得出新函数的解析式.【详解】将函数的图象向左平移个单位得到新函数的图象，则新函数的表达式为.故答案为：.7．设且，则“”是“”成立的____________条件（填：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要）【答案】充要【分析】利用不等式的性质及充要条件的判断依据即可求解.【详解】由不等式的性质知，若，且，则成立，若，且，则成立，所以设且，则“”是“”成立的充要条件.故答案为：充要.8．已知“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________．【答案】【分析】由题知是集合的真子集，再根据集合关系求解即可.【详解】解：因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以是集合的真子集，所以，解得，所以，实数的取值范围是.故答案为：9．命题“己知，若，则或”，用反证法证明时，应假设____________．【答案】【分析】根据反证法的结构特点可得正确的假设.【详解】对于命题：“己知，若，则或”，用反证法证明时应假设：若.故答案为：.10．关于的二元一次方程组的解集为，则实数k的值为____________．【答案】2【分析】利用代入消元法，结合方程组无解，即可求得参数值.【详解】将代入可得，即，该方程无解，故.故答案为：2.11．己知幂函数，则实数m的值为____________．【答案】1【分析】根据幂函数的定义可求实数m的值.【详解】由题设可得，解得，故答案为：1.12．已知全集为R，若不等式的解集为A，不等式的解集为B，则____________．【答案】【分析】求出集合、后可求.【详解】，，故，，故，故答案为：13．己知，且，若，则m的值为____________．【答案】【分析】将两边平方后可求m的值.【详解】因为，则且，故，故，故答案为：14．若关于的不等式无解，则实数的取值范围为_________．【答案】【分析】分析可知，，，可得出，即可解得实数的取值范围.【详解】由题意可知，，，即，则，解得.故答案为：.15．若实数x，y满足，且，则的最小值为___________.【答案】8【分析】由给定条件可得，再变形配凑借助均值不等式计算作答.【详解】由得：，又实数x，y满足，则，当且仅当，即时取“=”，由解得：，所以当时，取最小值8.故答案为：8【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.16．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解.【详解】由函数单调递增，①当时，若，有，而，此时函数的值域不是；②当时，若，有，而，若函数的值域为，必有，可得．则实数的取值范围为．故答案为： 四、解答题17．已知，求证：．【答案】详见解析【分析】两个式子作差，即可比较大小.【详解】 因为，所以，所以，即18．己知集合，且．(1)若，求实数a组成的集合．(2)若全集为A，，求m，a的值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1），可得，由得，对B分类讨论即可求；（2）由全集为A，，即得，代入可得m，，即，代入可得a【详解】（1），，由得，当，则；当，则；当，则.综上可得实数a组成的集合为；（2）由全集为A，，即得，∴，∴，∴.综上，19．已知m为实数，命题甲：指数函数在R上严格单调递增；命题乙：关于x的方程有两个不相等的负实数根．(1)若甲为真命题，求实数m的取值范围；(2)若乙为真命题，求实数m的取值范围；(3)若甲、乙都是假命题，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或. 【分析】（1）根据函数的单调性可得，故可求参数的取值范围.（2）根据韦达定理和判别式可求参数的取值范围.（3）结合（1）（2）可求参数的取值范围.【详解】（1）因为指数函数在R上严格单调递增，故即.（2）关于x的方程有两个不相等的负实数根，故，故.（3）若甲、乙都是假命题，则或，故或.20．设，，已知集合，集合.（1）若，求的取值范围；（2）若时，，求的取值范围；（3）设集合，若中元素个数恰为3个，求的取值范围.【答案】（1）  （2）  （3）【分析】（1）分析可得，求解集合中不等式可得，由，列出不等式组即得解；（2）由题意，集合B中一元二次不等式可因式分解为，分，，三种情况讨论，即得解；（3）由题意，的区间长度应在内，分，两种情况分析，即得解【详解】（1）若，与矛盾，故由，得，解得，因为，所以，解得.（2），，因为，所以，①当时，∴，，此时，成立；②当时，，若，则需满足或，解得或；③当时，，此时，成立.综上.（3）由题意，，∵中元素恰为3个，∴的区间长度应在内，∴，①当时，.②当时，，，此时成立，综上所述.21．定理（三角不等式），对于任意的、，恒有.定义:已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，即，请根据上述俼息解决以下几个问题:(1)求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围；(2)①求有序数组、、、的波动距离；②求证：若、、、且，则；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）.设两两不相等的四个实数、、、，求有序数组、、、的波动距离的最大值.【答案】(1)函数的最小值为，此时的取值范围是.(2)①；②. 【分析】（1）利用三角不等式可求得的最小值及其对应的的取值范围；（2）①由题中定义可求得的值；②利用题中定理可求得的最大值.【详解】（1）解：由三角不等式可知，当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，由三角不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，函数的最小值为，此时的取值范围是.（2）解：①由题中定义可得；②若、、、且，则，当时，，，所以，，即，且有，当取到最大值时，或，同理或，若，则，所以，，故，当且仅当，，，时，等号成立，所以，为的最大值；若，则，所以，，同理可知为的最大值.综上所述，的最大值为.【点睛】关键点点睛：本题考查绝对值不等式的应用，求解的最大值在于确定、的大小关系，确定这两者为四个数的最大值和最小值，结合题中定理进行求解.