2022-2023学年上海市进才中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市进才中学高一上学期期中数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市进才中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．已知，，则是的（   ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件【答案】A【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.【详解】由，可得出，由，得不出，所以是的充分而不必要条件，故选：A.2．若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】可以考虑设，然后分类讨论去绝对值号，求解出函数的最小值，然后求解出a的取值范围．【详解】设，当时，；当时，；当时，，故有最小值3．对一切恒成立，，即．故选：C．3．已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则m的值为（    ）A．15 B．17 C． D．18【答案】C【分析】本题实际考查二次方程的两根的关系，可利用韦达定理转化为含参数的方程来解决问题．【详解】设的方程有两个实数根为，，，，这两根的平方和比两根的积大21，，即：，，解得：或，△，解得：．故舍去，．故选：C.【点睛】在解决关于二次方程这类问题时，一定要注意对于判别式的讨论，以免造成不必要的失误．4．设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根据取整函数的定义，分别求出满足条件，， ，，的的范围，研究它们的交集即可确定的最大值.【详解】，，，，当时，，，因为，所以，即当时，，，，因为，所以，当时，，，，，因为，所以，所以若则，此时，，故不存在满足，， ，，同时成立，正整数的最大值为4，故选：A． 二、填空题5．已知集合，则集合=______．（用列举法表示）【答案】【分析】根据给定条件直接计算作答.【详解】因，而，所以.故答案为：6．已知，则x＝___．【答案】100【分析】直接根据对数的运算即可得结果.【详解】因为，所以，即，所以，故答案为：100.7．，则___．【答案】【分析】分别解绝对值不等式和分式不等式得集合，再求交集即可.【详解】因为，，所以，故答案为：.8．用反证法证明命题“设，则方程与至少有一个实根”时要做的假设是___．【答案】假设，方程与都没有实根.【分析】根据反证法假设方程都没有根.【详解】用反证法证明命题“设，则方程与至少有一个实根”时要做的假设是假设，方程与都没有实根.故答案为：假设，方程与都没有实根.9．已知，则的取值范围为__________．【答案】【分析】由不等式的性质求解即可【详解】因为，所以，又，所以，故答案为：10．若集合有且只有一个元素，则的取值集合为__________．【答案】##【分析】讨论集合A中的条件属于一次方程还是二次方程即可求解.【详解】①若，则，解得，满足集合A 中只有一个元素，所以符合题意；②若，则为二次方程，集合A有且只有一个元素等价于，解得.故答案为：.11．已，则的最大值为___．【答案】3【分析】构造乘积为常数，用基本不等式求解.【详解】∵，   ∴当且仅当，且，即时，等号成立.∴故答案为：3.12．对于，，___．【答案】##【分析】根据指数幂的运算性质，即可得出结果.【详解】∵，，故答案为：13．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为___．【答案】【分析】根据三个二次之间的关系，可得，的解及a的符号，根据韦达定理可得出参数的关系，代入解不等式即可.【详解】由已知得，和2是的两个解，且a<0.则由韦达定理知，   解得，则可化为∵a<0   ∴不等式化为解得，或所以，不等式的解集为故答案为：.14．已知，且，则xy的最小值为___．【答案】##【分析】根据对数运算法则得到，使用基本不等式求出，解不等式求出答案.【详解】，故，因为，所以，即，当且仅当，即时，等号成立，令，所以，解得：，或（舍去），则.故答案为：.15．设全集，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第12位的子集是___．【答案】##【分析】逐个列举出来.【详解】元素个数为0的1个，；元素个数为1的5个，，，，，；元素个数为2的10个，，，，，，，，，，.所以，排在第12位的子集是.故答案为：.16．已知，且，若对，不等式恒成立，则的最大值为___．【答案】1【分析】由，不等式恒成立，得，利用绝对值不等式的定理，逐步转化，即可得到本题答案.【详解】设，对，不等式恒成立的等价条件为，又表示数轴上一点到两点的距离之和的倍，显然当时，，则有，所以，得，从而，所以的最大值为1.故答案为：1. 三、解答题17．（1）计算：；（2）已知，且，求m的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据指数运算和根式运算法则进行计算；（2）将指数式和对数式互化，结合换底公式和对数运算法则进行计算.【详解】（1）；（2）因为，所以，由换底公式可得：，因为，所以，则，因为，所以.18．（1）设，求证：；（2）求证：当时，中至少有一个小于等于．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析.【分析】（1）利用作差法证明不等式；（2）利用反证法证明，假设均大于，利用基本不等式推导出，得到假设不成立，结论得证.【详解】（1）证明：，因为，所以，所以，故，当且仅当时，等号成立.（2）假设均大于，则因为，所以，故，当且仅当，即时，等号成立，故，这与均大于矛盾，故假设不成立，则当时，中至少有一个小于等于．19．随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大．某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小型货车，公司每年需要付保险费共计12万元，除保险费外，从第一年到第n年所需维修费等各种费用总额为万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入．(1)该批小型货车购买后第几年开始盈利？(2)求该批小型货车购买后年平均利润的最大值．【答案】(1)第5年(2)12万元 【分析】(1)由题意可得当利润为正时开始盈利，即有，解此一元二次不等式即可得答案；(2) 设该批小型货车购买n年后的年平均利润为y,则有，再利用基本不等式求最在值即可.【详解】（1）解：由题意，得，即，化简，得，解得：．所以该批小型货车购买后第5年开始盈利．（2）解：设该批小型货车购买n年后的年平均利润为y，则．当且仅当，即n＝8时取“＝”．所以该批小型货车购买后的年平均利润最大值是12万元．20．已知函数(1)当时，求f（x）有意义时x的取值范围；(2)若f（x）在时都有意义，求实数a的取值范围；(3)若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)(3)a=4或a=5 【分析】（1）真数部分大于0，求解不等式即可；（2）由题意可转化为在时恒成立，分离a，可转化为求最值的问题；（3）方程有且仅有一个解，可转化为有且仅有一个解，讨论a与0的关系即可解出.【详解】（1）要使有意义，则，∵  即  解得，所以，x的取值范围为（2）f（x）在时都有意义，即在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立，只需即可令，令，∵，  ，当且仅当，，且，即时等号成立，∴∴，即最大值为1，∴.（3）由已知，有且仅有一个解，即有且仅有一个解，即有且仅有一个解，显然，则有且仅有一个解，当时，方程化为，解得满足；当时，一元二次方程有且只有一个解，则，此时，只有一个解.综上所述，a=4或a=5.21．求已知集合，且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素都有则称集合有性质．(1)判断集合是否具有性质；(2)若集合具有性质．①求证：的最大值大于等于；②求的元素个数的最大值．【答案】(1)该集合不具有性质(2)6 【分析】（1）由即可求解.（2）①设中元素，由，即可解决；②要使的元素个数的最大，由中的元素满足，根据①中结论得，然后逐个讨论的值即可解决.【详解】（1）由题知，集合， ，该集合不具有性质.（2）①证明：，不妨设，则，故，故的最大值大于等于.②要使的元素个数的最大，，不妨设，则中的元素满足，则由①知，又，当 时，由解得，当 时，由解得，当 时，由解得，当 时，由解得，当 时，由解得，故的元素个数的最大值为6，此时集合.