2022-2023学年上海市青浦高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市青浦高级中学高一上学期期中数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市青浦高级中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．如图，表示全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D．【答案】A【分析】根据韦恩图写出阴影部分的集合表达式即可.【详解】由韦恩图知：阴影部分为.故选：A2．下列不等式恒成立的是（     ）A． B．C． D．【答案】B【分析】取可判断A；可判断B；可判断C；可判断D.【详解】对于A，取，则不正确，所以A不正确；对于B，，所以，所以B正确；对于C，取，则不正确，所以C不正确；对于D，，所以，所以D不正确.故选：B.3．“”是关于的不等式的解集为R的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】B【分析】取，时可判断充分性；当不等式的解集为R时，分，，讨论可判断必要性.【详解】若，取时，不等式，此时不等式解集为；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当，且时，不等式，所以，若关于的不等式的解集为R，则.综上，“”是关于的不等式的解集为R的必要非充分条件.故选：B4．设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（    ）.A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集B．集合是“和谐集”C．若都是“和谐集”，则D．对任意两个不同的“和谐集”，总有【答案】D【分析】根据已知中关于“和谐集”的定义，利用题目四个结论中所给的运算法则，对所给的集合进行判断，特别是对特殊元素进行判断，即可得出答案.【详解】解：A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A项为真命题；B项中，设，则，，所以集合是“和谐集”，故B项为真命题；C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C项为真命题；D项中，取，，都是“和谐集”，但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D项为假命题.故选：D. 二、填空题5．集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=_____．【答案】{2}【分析】直接利用交集的定义求解．【详解】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∩B={1，2}∩{2，3}={2}．故答案为：{2}．6．已知集合，若，则实数a的值为___________.【答案】2【分析】根据集合元素的性质可求实数a的值.【详解】因为，故或，若，则，与元素的互异性矛盾，舍；若，则或（舍），而时，符合元素的互异性，故实数a的值为2，故答案为：2.7．设a，b为实数，则___（填“＞，≥，＜或≤”）【答案】【分析】利用作差法比较即可.【详解】因为所以故答案为：8．关于的方程的两根为，则______.【答案】2【分析】利用韦达定理求出两根关系即可求出.【详解】由题意得，，所以．故答案为：2.9．已知，，则__．【答案】72【分析】把对数式化成指数式，再利用指数幂运算求得式子的值.【详解】由，所以.故答案为：7210．命题“若，则”是真命题，实数a的取值范围是__________.【答案】【分析】利用充分条件的概念和集合间的包含关系即可求解.【详解】由题意得，是的充分条件，由可得或，从而或，从而.故数a的取值范围是.故答案为：.11．若关于的不等式组的解集是，则实数的取值范是_______.【答案】【分析】分别求出和的解集，由不等式组的解集是，即可得出答案.【详解】由可得：，又因为可得，因为不等式组的解集是，所以，解得：，所以实数的取值范是：.故答案为：.12．集合，，若，则对应的实数对有_____对.【答案】4【分析】解出集合，再根据交集的性质，子集的定义分类讨论即可求出．【详解】因为，，，而，所以，或或或或，解得：或或或．故答案为：4．13．已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是_____.【答案】【分析】根据三个“二次”的关系，分类讨论即可解出．【详解】因为不等式有解，当时，显然不等式有解；当时，不等式有解等价于方程有两相异实根，所以，解得：，综上，实数的取值范围是．故答案为：．14．已知非零实数、满足，则的最小值是_______.【答案】1【分析】利用基本不等式结合已知条件求出的取值范围，再由结合不等式的基本性质可求得结果.【详解】因为，当且仅当时，等号成立.所以，.若，则，可得，此时；若，则，可得，此时.综上，.所以，.所以的最小值是1.故答案为：115．已知非空集合M满足：对任意，总有且，若，则满足条件的M的个数是_______.【答案】11【分析】根据集合M的元素特征以及有限集的子集个数即可解出．【详解】因为非空集合M至少含有一个元素，而且根据题意可知，集合M中不能含有，且不能同时存在于集合，所以由集合的非空子集个数为， 再排除不符合题意的，故满足题意的M的个数是．故答案为：11．16．三个同学对问题“已知，且，求的最小值”提出各自的解题思路：甲：，可用基本不等式求解；乙：，可用二次函数配方法求解；丙：，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，可求得当________时，（，）有最小值.【答案】【分析】甲的思路应用的条件是分母相加为常数，乙的思路的应用条件是通分后分子应为常数，丙的思路为1的代换，注意基本不等式取等号的条件.【详解】按照甲的思路：因为，所以 由基本不等式得，，当且仅当，，即时等号成立.按照乙的思路：，发现与设想不一样，故放弃此思路.按照丙的思路：因为，所以 由基本不等式得，，当且仅当，，即时等号成立.故当时，（，）有最小值.故答案为：. 三、解答题17．已知，，且，求证：与中至少有一个小于2．【答案】证明见解析.【分析】假设与都大于或等于2，即，两式相加得出与已知矛盾，可证得原命题成立．【详解】证明：假设与都大于或等于2，即，因为，，故可化为，两式相加，得，与已知矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．【点睛】本题考查反证法的证明，考查学生逻辑思维能力，属于中档题．18．已知关于的绝对值不等式：.(1)当时，求不等式的解集；(2)若对于任意的实数，以上不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）分类讨论，和，解不等式即可求出答案；（2）由的几何意义求出的最小值为2，即2>，解不等式即可得出答案.【详解】（1）当时，原不等式变为：由当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得.故所求不等式的解集为：.（2）由在数轴上表示到-1与1的距离之和（或由三角不等式），的最小值为2，则有2>，可化为，所以.19．1.已知集合，集合．(1)求常数m、n的值；(2)设，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）把不等式的解集转化为方程的两个根，用韦达定理求解；（2）先求集合B，注意对a进行分类讨论，利用p是q的充分不必要条件，转化为集合之间的包含关系，求解a的取值范围【详解】（1）因为，所以-1和3是方程的两个根，由韦达定理得：，，解得：，（2），解得：当时，集合，当时，集合，当时，解集为因为p是q的充分不必要条件，，当时，，此时p是q的必要不充分条件，不满足题意，舍去当时，需要满足，此时，解得：当时，需要满足，此时，解得：综上：实数a的取值范围为20．运货卡车以千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规限制(单位千米/时，假设汽油价格是每升元，汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元.（1）求这次行车总费用(元)关于(千米/时)的表达式；（2）当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值.【答案】（1）；（2）当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元.【解析】（1）计算本次行车所用时间，然后乘以每小时耗油量以及汽油价格为汽车的费用，再加上司机的费用即为行车总费用；（2）利用均值不等式求出最小值以及取最小值时的的值.【详解】解：（1）行车所用时间，根据汽油的价格是每升元而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元可得行车总费用为（2）当且仅当即时，等号成立所以当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元.【点睛】本题考查函数的应用，属于中档题.方法点睛：（1）首先计算行车所用时间；（2）行车总费用包含汽车的费用和司机的费用；（3）行车总费用为行车时间乘以每小时耗油量乘以汽油的价格；（4）司机的费用为司机每小时的价格乘以时间.求和即可.21．对正整数，记，.（1）用列举法表示集合；（2）求集合中元素的个数；（3）若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”.证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14.【答案】(1)；(2)46；(3)证明见解析.【分析】(1)根据给定集合的意义计算列举写出即可；(2)由每一个k值可得中的7个元素，再去掉计算过程中出现的重复元素即可得解；(3)根据给定定义，证明时不能分成两个不相交的稀疏集的并，再证明能分成两个不相交的稀疏集的并即可得解.【详解】(1)依题意，，则；(2)显然每一个k值，m值可取1，2，3，4，5，6，7七个不同数，即可得7个的值，当时，中m=1，m=2，m=3所对应的3个元素为1，2，3，另四个元素为4，5，6，7，当时，中m=2，m=4，m=6所对应的3个元素1，2，3为重复元素，另四个元素为分数，当时，均为无理数，没有相同数，因此，由计算可得个数，其中计算得到的数1，2，3各重复1次，则中元素的个数为，所以集合中元素的个数是46；(3)假设当时，能分成两个不相交的稀疏集的并，设，为不相交的稀疏集，使，不妨设，显然，则，即，同理，，又推得，但，与为稀疏集矛盾，于是得当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并，即，若，则当时，可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取，，则，为稀疏集，且.当时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分成下面个两稀疏集的并：，，当时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分成下面两个稀疏集的并：，.最后，集合且中的数均为无理数，它与中的任何其他数之和都不是整数，则把且中的元素任意分成两个不相交的集合的并均可，不妨令这两个稀疏集为与，因此，令，，则和是不相交的稀疏集，且，综上，所求的最大值为14.【点睛】思路点睛：涉及求符合某个条件的集合元素个数问题，充分利用集合元素的性质，特别是互异性，可以通过列举法列出特例元素，以排除重复元素.