2022-2023学年上海外国语大学附属外国语学校高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海外国语大学附属外国语学校高一上学期期中数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海外国语大学附属外国语学校高一上学期期中数学试题一、单选题1．若函数的图像经过第一、三、四象限，则必有（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】函数的图像是由的图像向下平移个单位长度得到，根据题意得到且，计算得到答案.【详解】由指数函数图像的性质知函数的图像过第一、二象限，且恒过点，而函数的图像是由的图像向下平移个单位长度得到的，故若函数的图像过第一、三、四象限，则且，从而且，故选：D.【点睛】本题考查了函数图像的平移，意在考查学生对于函数图像的应用能力.2．设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（    ）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)【答案】B【解析】函数y＝x3与y＝的图象的交点的横坐标即为的零点，将问题转化为确定函数的零点所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．【详解】设，则是增函数，又.所以，所以x0所在的区间是(1，2)故选：B【点睛】本题考查函数图象的交点，考查函数的零点，解题的关键是构建函数，正确运用函数零点存在定理，属于中档题.3．函数是R上的严格增函数，、为实数，则是的（    ）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】讨论的大小关系，结合函数的单调性及不等式的性质判断的大小.【详解】，即，则，即；，即，则，即；，即，则，即；其它情况，不妨假设i若，即时，则，故，所以；ii若时，则，故，，，即时，则，故，所以；，即时，则，故，所以，即时，则，故，则；iii若，即时，则，故，所以；综上，时有，反之也成立；时有，反之也成立；时有，反之也成立.所以是的充要条件.故选：C4．函数（其中P，M为实数集R的两个非空子集）又规定,给出下列四个判断，其中正确的判断有（    ）①若，则  ②若，则  ③若，则  ④若，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由函数的表达式知，可借助两个函数与的图像来研究，分析可得答案【详解】由题意知函数的图像如图所示：设 ， ， 则 而 ，故①错误；同理可知②正确；设 ， ，则 ，故③错误④由③的判断知，当 ，则 是正确的，故④正确故选：B 二、填空题5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．【答案】【分析】由题设有求解集，即可得定义域.【详解】由题设，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：6．设f（x）为一次函数，且f[f （x）]＝4x+3，则f （x）的解析式_________．【答案】或【详解】试题分析：设，由题意可得，即解得或，所以函数解析式为或【解析】求函数解析式7．已知函数满足，则__________．【答案】10【分析】整体代换求解，即可得到结果.【详解】令得，所以，.故答案为：10.8．已知，且，若，，则__________．【答案】【分析】利用对数的运算性质可得，结合已知即可求结果.【详解】由且，则，则，所以，而，，则，所以，故.故答案为：9．若函数在区间D上是减函数，请写出一个符合条件的区间__________．【答案】【分析】根据复合函数的单调性法则：同增异减.【详解】设，则函数可以看成由与复合而成，根据复合函数的单调性法则：同增异减.又为R上的减函数，要使函数在区间D上是减函数，则函数在区间D上是增函数.因为函数在区间上单调递减.所以，即可.故答案为：.10．函数是奇函数的充要条件是__________．【答案】【分析】假设函数为奇函数，求出a、b的值，再代入函数中检验.【详解】假设函数是奇函数，则有，，即整理得，又  ∴b=0  ∴a=0即是函数是奇函数的必要条件；当，，有.即是函数是奇函数的充分条件.综上可得，函数是奇函数的充要条件是.故答案为：.11．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是__________．【答案】【分析】结合a是否等于0进行分类讨论，再结合二次函数的性质可求得答案.【详解】当a=0时，y=-1不满足条件，舍去；当时，函数为二次函数，对称轴为要使函数在上是增函数，则有，    解得，故答案为：12．若函数的定义域为，则的取值范围为______．【答案】【分析】首先根据题意得到，从而得到恒成立，再根据即可得到答案.【详解】函数的定义域为，所以恒成立，等价于恒成立，即，解得.故答案为：13．设是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称，则=_________．【答案】0【详解】试题分析：的图像关于直线对称，所以，又是定义在上的奇函数，所以，，，所以.【解析】函数图象的中心对称和轴对称.14．已知是偶函数，当时，，且对任意的时，都成立，则的取值范围是__________．【答案】【分析】由偶函数的性质，求解时的值域，得出m，n的取值范围.【详解】∵是偶函数，∴在上的值域与在上的值域相同，求解在上的值域， ，当且仅当 时，取得最小值4，而 所以在 上的值域为 ，由于 时 恒成立，则，，则，故答案为：15．设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________．【答案】或3【分析】首先换元，设，函数变为，再分和两种情况讨论的范围，根据的范围求二次函数的最大值，求得实数的范围.【详解】令t＝ax(a>0，且a≠1)，则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．①当0<a<1，x∈[－1，1]时，t＝ax∈，此时f(t)在上为增函数．所以f(t)max＝f＝－2＝14.所以＝16，解得a＝－ (舍去)或a＝.②当a>1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈，此时f(t)在上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．综上得a＝或3.【点睛】本题考查了二次型函数求值域，考查了分类讨论的思想，属于中档题型.16．设实数a，x，y，满足则xy的取值范围是____．【答案】【详解】实数a，x，y，满足，①2﹣②解得：2xy＝3a2﹣6a+4，∵a2+2a﹣3≥0，∴a≥1或a≤﹣3．根据圆心到直线的距离小于或等于半径，得：，解得，令g（a）＝（3a2﹣6a+4），对称轴a＝1，1∉[2﹣，2+]，∴a＝2﹣时：g（a）最小：﹣，a＝2+时：g（a）最大：+，xy∈[﹣，+]，故答案为：17．设、是关于x的方程的两个实数根,则_______．【答案】【分析】根据韦达定理将,之间的关系找到,然后用换底公式进行化简,找到之间的关系,将用换底公式进行化简,代入即可.【详解】解:由题知的两个实数根是、,根据韦达定理有,即,即,.故答案为:  三、解答题18．已知偶函数在上是严格增函数．(1)求函数的解析式；(2)解关于的不等式．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据函数的性质列出关系式，解出n的值；（2）求解与偶函数以及单调性相结合的不等式问题时，借助绝对值来求解.【详解】（1）∵在上是严格增函数∴   解得，又， 所以，n=0或n=1或n=2.当n=0时，不是偶函数，舍去；当n=1时，是偶函数，满足条件；当n=2时，不是偶函数，舍去.所以，.（2）由（1）知，是偶函数，所以，，.则，则等价于又是上是严格增函数，所以，有所以，.整理得，解得，或.所以，不等式的解集为.19．某水库共可蓄水130000立方米，该地区去年8月1日零时至8月22日24时为大汛期，在大汛期中第n天注入水库的水量为立方米，其中P为定值．已知8月1日零时水库的存水量为110000立方米，且大汛期的第一、二天注入水库的总水量为1700立方米．(1)求P的值；(2)该水库有两个泄洪闸，每打开一个闸门，一天可泄水6000立方米，为了保证水库的安全，又要减轻下游地区的抗洪压力，指挥部于8月8日零时打开了第一个泄洪闸，问第二个泄洪闸最迟应在哪一天打开？【答案】(1)500(2)8月17日 【分析】（1）根据第一、二天注入水库的总水量为1700立方米，代入求解即可；（2）由（1）可得是等差数列，结合等差数列的前项和，根据题意列出方程求解，即可得到结果.【详解】（1）因为第n天注入水库的水量为立方米，且大汛期的第一、二天注入水库的总水量为1700立方米，将值代入可得，求得；（2）由（1）可知，即可看作首项为，公差为的等差数列，其前项和，设第天第二个泄洪闸打开，则，解得（舍）或，所以最迟8月17日.20．已知、是定义在上的函数，且在上是严格增函数，设满足，且对于中的任意两个相异的实数、，恒有．(1)求证：在上是严格增函数；(2)设，，，求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）令，结合已知条件判断的大小关系，即可证结论；（2）由题设，只需证，根据（1）的结论即可证结论.【详解】（1）令，则，又在上是严格增函数，故，由，当时，则，当时，则，即，故，综上，，即在上是严格增函数；（2），，且，所以，要证，即证，而，由，，故，根据（1）的结论，，所以，即，得证.21．已知函数（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（2）若的最小值为，求实数的值；（3）若对任意实数、、，均存在以、、为三边边长的三角形，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）问题等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；（2），令，则，分k＞1，k＝1，k＜1三种情况进行讨论求出f（x）的最小值，令其为﹣3即可解得k值；（3）由题意得f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立，当k＝1时易判断；当k＞1，k＜1时转化为函数的最值问题解决即可，借助（2）问结论易求函数的最值.【详解】（1）因为4x+2x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，即k＞﹣2x﹣2﹣x恒成立，因为﹣2x﹣2﹣x＝﹣（2x+2﹣x）≤﹣2，当且仅当2x＝2﹣x，即x＝0时取等号，所以k＞﹣2.（2），令，则，当k＞1时，无最小值，舍去；当k＝1时，y＝1，最小值不是﹣3，舍去；当k＜1时，，最小值为，解得.综上所述，k＝﹣11．（3）由题意，f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意x1，x2，x3∈R恒成立．当k＞1时，因，且，故，即1＜k≤4；当k＝1时，f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝1，满足条件；当k＜1时，，且，故，解得；综上所述，【点睛】本题考查复合函数的单调性、函数恒成立、函数最值等问题，考查转化和分类讨论思想，综合性较强，属于中档题．