2022-2023学年天津市五校（杨村、宝坻、蓟州、芦台、静海一中）高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市五校（杨村、宝坻、蓟州、芦台、静海一中）高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．设集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别解出集合和集合，再根据交集的定义即可得到答案.

【详解】由题得则，

，

故选：D．

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题求解即可

【详解】命题“”的否定是，

，

故选：B

3．设，且则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：取，满足，但不满足，故A错误；

对B：因为，又，不能同时为零，

故，即，故B正确；

对C：取，满足，但，故C错误；

对D：当时，，故D错误.

故选：B.

4．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据命题的充分必要性直接判断.

【详解】对于不等式，可解得或，

所以可以推出，而不可以推出，

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：A.

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先根据题意得到为奇函数，排除C，D，再根据，排除B，即可得到答案.

【详解】，定义域为，

，

所以函数为奇函数，排除C，D．

因为，排除B，

故选：A

6．已知函数若，则实数（    ）

A．－5 B．5 C．－6 D．6

【答案】A

【分析】先求，再由列方程求解即可.

【详解】由题意可得，

因为，即，

所以，得，

故选：A

7．函数的单调增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复合函数的单调性求解.

【详解】解：因为函数，

令，解得或，

所以函数的定义域为，

又t在上递增，在上递增，

由复合函数的单调性知：的单调增区间为，

故选：C

8．已知正数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知可得出，将与相乘，利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的取值范围.

【详解】因为，，则，，

所以，，

所以，

当且仅当时，即，时等号成立．

又恒成立，所以．

故选：C.

9．若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件，要使函数是R上的增函数，每一段函数在其定义域内必须为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组求解即可.

【详解】因为函数是R上的增函数，

所以，解得：，

故选：.

二、填空题

10．当时，幂函数为减函数，则_________．

【答案】2

【分析】利用幂函数定义即可得到结果.

【详解】函数为幂函数，则，解得或，

又因为函数在上单调递减，

可得，可得，

故答案为：2

11．若函数的定义域为R，则a的范围是_____________.

【答案】

【分析】由函数的定义域为R，可知在R上恒成立，然后即可求解a的范围.

【详解】解：由题意得：

函数的定义域为R

在R上恒成立

当时，函数在定义域 R上恒成立

当时，，解得：

所以综上：a的范围是

故答案为：

12．若是偶函数，且都有，若，则不等式的解集为_____________.

【答案】

【分析】由题意，可转化为或，再利用的单调性和奇偶性即可求得答案.

【详解】根据题意得，在上是单调递增函数，且为偶函数，则，由，得，根据为偶函数，

则或，在上单调递减，在上是单调递增，所以，，解得，，解集为

故答案为：

13．若，，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】根据题中所给等式可化为，再通过平方关系将其与联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.

【详解】因为且，则两边同除以，得，

又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.

故答案为:

三、解答题

14．已知集合U为全体实数集，或，.

(1)若，求；

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）把代入求出N，然后结合集合的补集交集运算即可.

（2）根据函数的包含关系即可求解参数的取值范围.

【详解】（1）解：由题意得：

当时，集合U为全体实数集

或，

（2）若，则当时，，解得：；

当时，成立，且或成立，解得：；

综上：实数a的取值范围或

15．已知关于x的不等式的解集为或.

(1)求a，b的值；

(2)当时，解关于x的不等式.

【答案】(1)

(2)答案见解析；

【分析】（1）根据不等式的解集可知是方程方程的两根，然后利用韦达定理即可.

（2）根据（1）的结论可知，然后对参数进行分类讨论即可.

【详解】（1）解：由题意得：

x的不等式的解集为或

所以是方程方程的两根

则，解得

（2）由上一问的结论可知：

当时，不等式的解集为；

当时，方程的两根分别为

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

16．某创新科技公司为了响应市政府的号召，决定研发并生产某种新型的工业机器人，经过市场调查，生产机器人需投入年固定成本为100万元，每生产x个，需另投入流动成本为万元．在年产量不足80个时，（万元）；在年产量不小于80个时，（万元），每个工业机器人售价为6万元，通过市场分析，生产的机器人当年可以全部售完．

(1)写出年利润（万元）关于年产量x（个）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本）

(2)年产量为多少个时，工业机器人生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)；

(2)年产量为个时，工业机器人生产中所获利润最大为万元.

【分析】（1）根据题意写出、的解析式，然后应用分段函数形式表示；

（2）利用二次函数、基本不等式分别求出、上的最大值，比较大小即可得结果.

【详解】（1）当时，；当时，；

所以.

（2）时，，故最大值为万元；

时，，当且仅当，即时等号成立，

所以最大值为万元；

综上，年产量为个时，工业机器人生产中所获利润最大为万元.

17．已知函数是偶函数.当时，.

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；

(3)当时，记在区间上的最小值为，求的表达式.

【答案】(1)

(2)或

(3)

【分析】（1）由时，，结合偶函数的定义得出解析式；

（2）由函数的图像得出实数a的取值范围；

（3）分类讨论的值，结合图像得出的表达式.

【详解】（1）当时，，则

即

（2）函数的图像如下图所示

由图可知，因为函数在区间上单调，所以或

即或

（3）当时，，此时

当时，，在上单调递减，在上单调递增

则

当时，，此时函数在上单调递增，

综上，

18．已知函数.

(1)若，判断的奇偶性并加以证明；

(2)当时，

①用定义法证明函数在上单调递增，再求函数在上的最小值；

②设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围.

【答案】(1)见详解

(2)见详解

【分析】（1）利用奇偶性的定义即可证明.

（2）①定义法判断单调性即可求得最小值. ②先求值域结合已知即可求得k的取值范围.

【详解】（1）由已知，

，

故为奇函数.

（2）①当时，，，且

又因为，所以 ，，所以

即 ，故函数在为单调递增，

函数在上的最小值为

②由①知，，所以，

当时，，成立，符合题意.

当时，在为单调递增，

对任意的，总存在，使得

故，即，解得

当时，在为单调递减，

同理：，即，解得

综上可知：k的取值范围为.

四、双空题

19．已知，函数.①若，则之值为___________；②若不等式对任意都成立，则的取值范围是___________

【答案】         

【分析】①根据题意，分类讨论当和时，代入分段函数，分别解方程即可；

②将不等式对任意都成立，转化为恒成立且恒成立，其中对于恒成立，利用一次函数的单调性求解，对于恒成立，利用参变分离转化求最值求解，取交集后即可得出答案.

【详解】解：由题可知，，

①当时，则，，

解得：；

当时，则，，

解得：；

综上得：.

②由题可知，，

由不等式对任意都成立，

所以有恒成立且恒成立，

对于恒成立时，即恒成立，

则，解得：；

对于恒成立时，即恒成立，

当时，明显成立，

当时，恒成立，又，解得：；

综上得：.

所以的取值范围是：

故答案为：①；②.

【点睛】本题考查由分段函数求参数值和通过不等式恒成立问题求参数范围，利用一次函数的性质和参变分离求最值问题时关键，考查分类讨论思想.