2022-2023学年浙江省杭州市“七彩阳光”联盟高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省杭州市“七彩阳光”联盟高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合交集的定义求解.

【详解】因为 ，，所以，

故选:C.

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由函数解析式有意义，列不等式可求定义域.

【详解】解：由题意得 ，解得且 ，

故函数的定义域为，

故选：D.

3．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】利用全称量词命题的否定可得出结果.

【详解】命题“，”的否定为“，”.

故选：B.

4．已知，那么“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用特殊值，结合基本不等式，从充分性和必要性进行判断即可.

【详解】已知，“”，可取，，此时，不满足，故充分性不满足；

当，，则成立，当且仅当时取得等号，必要性成立；

故“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

5．1859年中国清朝数学家李善兰在翻译《代数学》中首次将“function”翻译成“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.现给出下列四个对应关系，请由函数的定义判断，其中能构成从A到B的函数的是（    ）

A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④

【答案】A

【分析】根据函数定义判断选项即可.

【详解】解：函数的定义中满足“集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数与它对应”，结合定义容易判断①④为从A到B的函数.

故选:A

6．已知，若，则（    ）

A． B．1 C．1或 D．1或

【答案】D

【分析】利用换元法求函数解析式，再由求.

【详解】解：由题意：，令，则，

那么转化为，

故得函数的表达式为，令，

解方程得或

故选：D.

7．函数，则下列结论错误的是（    ）

A．函数在定义域上为奇函数

B．函数在区间上单调递增

C．函数的值域为

D．函数的图像与直线有且只有两个交点

【答案】D

【分析】根据奇函数定义判断A；结合时函数的单调性和奇函数性质判断B；根据时，并结合奇函数性质判断C；根据时，与有一个交点并结合奇函数性质判断D.

【详解】解：函数定义域为，且，故函数为奇函数，故A选项正确；

当时，，该函数在上为增函数，

所以，结合奇函数的性质，可知函数在上为增函数，

所以，函数在区间上单调递增，故B选项正确；

当时，，

所以，结合奇函数性质，可得函数的值域为，故C选项正确；

当时，，与联立方程，解得，

所以，时的图像与直线有一个交点，坐标为

因为也是奇函数，

所以，其图像含有两个交点，分别为，

所以，函数的图像与直线有三个交点，故D选项错误.

故选：D

8．关于的不等式的解集为，且不等式恒成立，则实数t的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用根与系数的关系求出，结合基本不等式求出的取值范围，再利用不等式恒成立则即可求解.

【详解】由题意知方程的两根为，，

则，即，

，当且仅当即时，等号成立；

设，则在上单调递增，

故，

又不等式恒成立，即，，

故实数t的取值范围为

故选:D.

二、多选题

9．下列四组函数中，表示同一函数的有（    ）

A．，

B．，

C． ，

D． ，

【答案】AC

【分析】逐一判断四个选项中两个函数的定义域和对应关系是否相同即可得正确选项.

【详解】解：对于A：函数，的定义域都是，且，，所以两函数为同一函数；A正确，

对于B：，的定义域为R，的定义域为，两函数定义域不同，所以两函数为不同函数；B错误，

对于C：函数 和的定义域都是，且对应关系相同，所以两函数为同一函数；C正确，

对于D： 的定义域为，的定义域为或，两函数定义域不同，所以两函数为不同函数，D错误，

故选：AC.

10．集合，集合则集合可表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】化简集合，结合集合的运算判断各选项的对错.

【详解】不等式的解集为或，所以或，因为，所以或，B正确，，则或，A正确，，

又或， C正确，，

，故D错误.

故选：ABC

11．函数是定义在的偶函数，当时,，下列说法正确的有（    ）

A．函数的图像与x轴有三个不同的交点

B．当时，

C．不等式的解集为

D．对于任意的，，若，则

【答案】ABD

【分析】当，令，求出函数的非负零点，再结合偶函数的对称性求出其负零点，由此判断A，根据偶函数的性质求函数在上的解析式，判断B，先求时，不等式的解，再结合偶函数的性质求不等式的解集，判断C，利用比差法证明恒成立，判断D.

【详解】解：对于A：当时，令可得或，所以或，

由函数是定义在的偶函数可得，，

故函数的图像与x轴有三个不同的交点，A正确；

对于B：设，则，，

设，则，，

当时，，B正确；

对于C：当时，令，则或，所以或，

，

由函数是定义在的偶函数可得，当时，，

综上：不等式的解集为，C错误；

对于D：不妨设，

①当时，

，

②当时，，；

③当时，，

；

④当时，，；

综上：对于任意的，，若，则，D正确，

故选：ABD.

12．德国著名数学家狄利克雷对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.以其名字命名的函数“狄利克雷函数”改变了数学家们对“函数是连续的”的认识.已知狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集.则下列关于“狄利克雷函数”的命题中，属于真命题的有（    ）

A．

B．狄利克雷函数的值域为

C．狄利克雷函数为偶函数

D．对于任意的，，恒成立

【答案】BC

【分析】由题意，根据函数解析式，结合值域定义以及函数求值，奇偶函数定义，可得答案.

【详解】解：对于A，，可得或，且，则，故A错误；

对于B，由解析式易知的值域为，故B正确；

对于C，当时，，当时，，可知对任意，都有，函数为偶函数，故C正确；

对于D，取，，则，，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．集合，若，则__________

【答案】

【分析】分和，并结合集合元素的互异性求解即可.

【详解】解：因为，

所以，若，则可得或2，

当时，，不满足互异性，舍去，

当时，，满足题意;

若，则，此时，不满足互异性，舍去；

综上

故答案为：

14．若，且，则_____________．

【答案】

【分析】由，可得，，，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.

【详解】解：因为，所以，，，又，

所以，

所以，所以，

故答案为：.

15．实数x，y满足，，那么的取值范围是__________

【答案】

【分析】结合已知条件，利用不等式的性质可求的取值范围.

【详解】解：令，，则，，

由已知可得，，

则，，，

故答案为：.

16．写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则__________

①定义域为R

②在定义域内是偶函数

③的图像与x轴有三个公共点

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据给定的条件①②，设出一个4次偶函数，再由条件③计算判断，即可作答.

【详解】由条件①②，设，由条件③知，点在的图像上，即有，

由得：，，显然有两个不等实根，有，取，得，

显然是定义域为R的偶函数，其图象与x轴三个公共点，，，所以.

故答案为：

四、解答题

17．

(1)计算：

(2)化简： ，

【答案】(1)

(2)

【分析】根据指数幂运算规则计算即可.

【详解】（1）；

（2） ；

综上，（1）原式 ；（2）原式 .

18．已知a，b为正实数且，求下列式子的最值

(1)求的最大值;

(2)求的最小值;

(3)求的最小值.

【答案】(1)

(2)

(3)9

【分析】（1）利用不等式计算即可；

（2）根据基本不等式“1”的用法，将小问中分母与构造为相乘可约的形式；

（3）根据化简式子，再根据不等式求出最小值.

【详解】（1）

当且仅当取到最大值

（2）

当且仅当，时取到最小值

（3）

当且仅当时取到最小值9

19．已知命题“，关于x的方程有解”是假命题，

(1)求实数a的取值所构成的集合

(2)在（1）的条件下，设不等式的解集为N，若是的必要条件，求b的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求得原命题的否定，结合一元二次方程根的情况，列出不等式即可求得结果；

（2）求得绝对值不等式从而得到集合，再根据集合之间的包含关系，列出不等关系，求解即可.

【详解】（1）因为命题p是假命题，则命题p的否定即为真命题，

即：，，所以，

即

（2），，即；

因为是的必要条件

当时，，满足题意；当时，，

综上，实数的取值范围是.

20．已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增

(1)求函数的解析式;

(2)设函数，求函数在区间上的最小值

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据幂函数的定义和性质列关系式求即可；(2) 分别在，，条件下，结合二次函数的单调性求函数在区间上的最小值即可.

【详解】（1）因为幂函数在区间上单调递增，

所以，故或1，

当时，不满足偶函数，故舍去；

当时，满足偶函数，

故；

（2）因为，由(1)可得，函数的图象的对称轴为，

当即时，

函数在区间上单调递增，

所以，

当即时，

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，

当即时，函数在区间上单调递减，所以，

综上所述：

21．已知函数的定义域是，对任意的正实数m，n满足：，且当时，

(1)判断函数的单调性并加以证明：

(2)若当时，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】(1)函数在定义域内单调递增，证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据单调性的定义设，作差判断符号，即可得单调性;

（2）先化简抽象不等式，利用单调性可得在上恒成立，利用二次函数的性质可得出结果

【详解】（1）函数在定义域内单调递增;

证明如下：

因为，所以，

设，则，

所以由题意可得，

函数在定义域内单调递增；

（2）要使不等式有意义，则解得，

即，

即，

因为函数在定义域内单调递增，

所以原不等式恒成立可转化为在上恒成立，

显然，当时，不等式；

当时，，解得，此时，

综上所述：实数k的取值范围为.

22．改革开放不断深化.在重要领域和关键环节推出一批重大改革举措，供给侧结构性改革深入推进.“放管服”改革取得新进展.市场主体总量超过5亿户.高质量共建“一带一路”稳步推进.推动区域全面经济伙伴关系协定生效实施.货物进出口总额增长，实际使用外资保持增长.生态文明建设持续推进.污染防治攻坚战深入开展，主要污染物排放量继续下降，地级及以上城市细颗粒物平均浓度下降.第一批国家公园正式设立.生态环境质量明显改善.---摘自李克强总理2022年3月5日《政府工作报告》

某汽车企业为了响应号召，打开国际市场，决定从甲乙两款新能源车型中，选择一款新能源车型进行投资生产.已知投资生产这两款新能源汽车的有关数据如下表单位：万元

其中月固定成本与月生产量无关，为待定常数，其值由生产甲车型的配件价格决定，预计，另每月销售x辆乙车时需缴纳万元的特别关税（假设生产出来的车辆都能在当月销售出去）

(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种车型的月利润，与生产相应车辆数x之间的函数关系，并指明其定义域;

(2)如何投资才能获得最大月利润?请你做出规划.

【答案】(1)投资甲车型，定义域为；投资乙车型，定义域为；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据已知条件，直接写出函数解析式以及定义域即可.

（2）根据（1）中所求函数解析式，分别计算最大月利润，求得利润相当的取值，结合函数单调性，即可求得结果.

【详解】（1）投资甲车型，定义域为，

投资乙车型，定义域为.

（2）投资甲车型的最大月利润为，

投资乙车型的最大月利润为，当且仅当，，

令，解得，又为单调减函数，

故当时，选择投资甲车型；当，甲乙两种车型获利相当；当时，选择投资乙车型.