2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高一上学期10月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高一上学期10月月考数学试题 一、单选题1．设集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为，所以,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2．下列四组对象中能构成集合的是（    ）.A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数 D．倒数等于本身的数【答案】D【分析】根据集合中元素具有确定性判断选项即可得到结果.【详解】集合中的元素具有确定性，对于，学习好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符合确定性；对于，符合集合的定义，正确.故选：.【点睛】本题考查集合的定义，关键是明确集合中的元素具有确定性，属于基础题.3．下列不等式恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由基本不等式，可判定A不正确；由，可判定B正确；根据特例，可判定C、D不正确；【详解】由基本不等式可知，故A不正确；由，可得，即恒成立，故B正确；当时，不等式不成立，故C不正确；当时，不等式不成立，故D不正确.故选：B.4．已知函数．则的值为（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根据题意，令可得的值，将的值代入，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数，若，解可得，将代入，可得，故选：．5．集合或，若，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．【详解】解：，①当时，即无解，此时，满足题意．②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得．当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是．故选：A．【点睛】易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为.6．下列结论中正确的个数是（    ）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“”是全称量词命题；③命题“”的否定为“”；④命题“是的必要条件”是真命题；A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题，则，故③错误；对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C7．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）A． B．1 C．2 D．8【答案】C【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数，确定，然后结合基本不等式得最小值．【详解】的解集为，则的两根为，，∴，∴，，则，即，，当且仅当时取“=”，故选：C.8．已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（    ）A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立【答案】B【分析】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项.【详解】当且 时，的解为全体实数，故对任意的，与 的关系不确定，例如：取而，所以 ，故结论①不成立.当且 时，的解为 ，其中 是的两个根.当 此时 ，但 值不确定，比如：，取 ，则，但 ，故结论②不成立.故选：B 二、多选题9．下列说法正确的是（    ）A．0∈∅ B．∅⊆{0} C．若a∈N，则-a∉N D．π∉Q【答案】BD【解析】利用集合与集合和元素与集合的关系，逐一判断四个选项的正误.【详解】空集中没有元素，A错误；空集是任何集合的子集，B正确；若a＝0，0∈N，C错误；π不是有理数，D正确.故选：BD10．已知函数，则下列x的范围满足不等式的是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】画出函数的图象，由图象可知函数在上为增函数，再利用函数的单调性简化不等式，即可得到结果．【详解】因为函数，画出函数图象如图所示：所以函数在上为增函数，由得，即解得，故选：B C D．11．不等式的解集是，则下列结论正确的是（   ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可.【详解】解：因为不等式的解集是，所以，且，所以所以，，，故AC正确，D错误．因为二次函数的两个零点为，2，且图像开口向下，所以当时，，故B正确．故选：ABC．12．对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（    ）A．函数是偶函数B．方程有三个解C．函数在区间上单调递增D．函数有4个单调区间【答案】ABD【分析】结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.【详解】解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．故选：ABD 三、填空题13．著名的函数，则______.【答案】1【分析】根据函数解析式分类讨论求解即可.【详解】当，；当，，故答案为：114．已知集合，集合，则集合的子集个数为________．【答案】4【分析】先求得，由此求得集合的子集个数.【详解】，，，共有个元素，故集合的子集个数为个.故答案为：415．给出以下四个命题：①若函数的定义域为，则函数的定义域为；②函数的单调递减区间是；③已知集合，，则映射：中满足的映射共有3个；④若，且，则.其中正确命题的个数为______. 【答案】2【分析】根据抽象函数定义域的求法判断①；根据反比例函数的图象和性质判断②；根据映射的定义判断③；根据已知得到,进而判断④．【详解】①：若函数的定义域为，由得:,所以函数的定义域为，故①错误;②：函数的单调递减区间是和，故②错误；③：对于集合，映射中满足的映射共有：，，，共3个，故③正确；④：若，则，又，所以,，故④正确.故答案为：2.16．问题某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第层楼时，上下楼造成的不满意度为.但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，环境不满意度降低.设住第层楼时，环境不满意程度为.则此人应选第_______楼，会有一个最佳满意度.【答案】【解析】设此人应选第层楼，此时的不满意程度为，可得出，利用基本不等式结合双勾函数的单调性可求得结果.【详解】设此人应选第层楼，此时的不满意程度为，由题意知，，当且仅当，即时取等号，但考虑到，所以，当时，当时，即此人应选楼，不满意度最低.故答案为：.【点睛】利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解． 四、解答题17．已知集合， .（1）求;（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；；（2）a>3.【分析】（1）先化简集合B，再利用集合的并集、补集和交集运算求解；（2）根据，结合，利用数轴求解.【详解】（1）因为集合，所以，或，或;（2）因为，且，所以a>3，所以的取值范围是.18．某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足P＝3﹣（其中0≤x≤2）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）万元/万件.（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1），0≤x≤2；（2）当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.【分析】（1）根据题意，结合已知数据，即可列出函数关系式；（2）根据（1）中所求函数解析式，求函数的最大值即可.【详解】（1）当促销费用为万元时，付出的成本是：销售收入是：，故整理可得，0≤x≤2.（2）根据（1）中所求，，当且仅当时取得最大值.故当促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，最大利润为13万元.【点睛】本题考查分式函数模型的应用，涉及利用基本不等式求和的最小值，属综合基础题.19．设：实数满足，：.(1)若，且，至少有一个为真命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求得都是假命题时的取值范围，由此求得至少有一个是真命题时的取值范围；（2）根据是的充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围.【详解】（1）对于，，由于，所以解得，设，对于，，设，或.当时，或.当都是假命题时，或.所以当至少有一个是真命题时，的取值范围是.（2）由于是的充分不必要条件，所以，所以（等号不能同时成立），解得，所以的取值范围是.20．已知函数.(1)讨论函数的奇偶性（直接写出结论，无需证明）；(2)若，求证：函数在区间上是增函数；(3)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）利用定义法直接讨论函数的奇偶性；（2）利用定义法证明函数的单调性；（3）利用根据函数的单调性，利用定义法可转化为不等式恒成立问题，进而可得参数取值范围.【详解】（1）当时，函数，，函数为偶函数，当时，函数，，函数为非奇非偶函数，综上所述，当时，函数为偶函数，当时，函数为非奇非偶函数；（2）当时，，任取，，且，即，则，又，，所以，所以，即，所以函数在区间上是增函数；（3）任取，，且，即，所以，又函数在区间上是增函数，所以，即恒成立，又，所以，，即，所以.21．已知函数.(1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)是否存在实数，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)；(3)存在，. 【分析】（1）根据对称轴和区间端点的相对位置即可求得的取值范围.（2）分类讨论当时函数的最大值小于恒成立即可求得的取值范围.（3）分类讨论得函数的值域结合已知条件求得的值.【详解】（1）函数图象开口向下且对称轴是，要使在上单调递减，应满足，解得.（2）函数图象的对称轴是.当时，恒成立，故，所以；当时，恒成立，故；所以 综上所述：的取值范围（3）当，即时，在上递减，若存在实数，使在上的值域是，则即，此时无解.当，即时，在上递增，则即解得.当，即时，在上先递增，再递减，所以在处取得最大值，则，解得或，舍去.综上可得，存在实数，使得在上的值域恰好是.22．设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【分析】（1）方法一：由结合不等式的性质，即可得出证明；（2）方法一：不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立．【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法，.均不为，则，．［方法二］：消元法由得，则，当且仅当时取等号，又，所以．［方法三］：放缩法方式1：由题意知，又，故结论得证．方式2：因为，所以．即，当且仅当时取等号，又，所以．［方法四］：因为，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，不妨设则.［方法五］：利用函数的性质方式1：，令，二次函数对应的图像开口向下，又，所以，判别式，无根，所以，即．方式2：设，则有a，b，c三个零点，若，则为R上的增函数，不可能有三个零点，所以．（2）［方法一］【最优解】：通性通法不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立．［方法二］：不妨设，因为，所以，且则关于x的方程有两根，其判别式，即．故原不等式成立．［方法三］：不妨设，则，关于c的方程有解，判别式，则．故原不等式成立．［方法四］：反证法假设，不妨令，则，又，矛盾，故假设不成立．即，命题得证．【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．