2022-2023学年浙江省衢州第三中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省衢州第三中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合．则（    ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】C

【分析】先化简集合A，B，再利用并集的运算求解.

【详解】因为集合或，

，

所以或，

故选：C

2．有下列四个命题：

①是空集；

②若，则；

③集合有两个元素；

④集合是有限集.

其中正确命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】根据集合的定义，元素与集合的关系判断．

【详解】①{0}中有一个元素0，不是空集，不正确；

②中当时不成立，不正确；

③中有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确；

④中集合是有限集，正确，

故选：B

3．如果，则正确的是（    ）

A．若a>b，则 B．若a>b，则

C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd

【答案】C

【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.

【详解】对于A:取则，故A错，

对于B:若，则，故B错误，

对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，

对于D:若，则，，故D错误.

故选：C

4．命题“方程有正根”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定的结构形式可得正确的选项.

【详解】命题“方程有正根”即“”，

故其否定为：，

故选：C.

5．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】分别求解一元二次不等式与一元一次不等式，然后结合充分必要条件的判定得答案．

【详解】由，解得或，

由，得，

即由不能得到，反之，由，能够得到．

即“”是“”的必要不充分条件．

故选：B

6．已知命题，若命题是假命题，则的取值范围为（    ）

A．1≤a≤3 B．-1<a<3 C．-1≤a≤3 D．0≤a≤2

【答案】C

【分析】先写出命题的否定，然后结合一元二次不等式恒成立列不等式，从而求得的取值范围.

【详解】命题是假命题，

命题的否定是：，且为真命题，

所以，

解得.

故选：C

7．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s（单位：万元与机器运转时间t（单位：年，）的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间t为（       ）

A．10 B．11 C．7 D．8

【答案】D

【分析】根据题意求出年平均利润函数。利用均值不等式求最值.

【详解】因为每台机器生产的产品可获得的总利润s(万元)与机器运转时间t(年数，)的关系为，

所以年平均利润

当且仅当时等号成立，

所以当每台机器运转的年数t为8时年平均利润最大

故选：D.

8．若，，定义且，则AXB=（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出和即可求解.

【详解】，

,

,

,

所以.

故选：B

二、多选题

9．（多选题）已知集合，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】先化简集合,再对每一个选项分析判断得解.

【详解】由题得集合，

由于空集是任何集合的子集，故A正确：

因为，所以CD正确，B错误.

故选ACD.

【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10．设集合，，若集合，则P可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】首先求，再根据，结合选项，即可判断.

【详解】因为，，

所以或，或，

因为集合，所以集合可以是AB.

故选：AB

11．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（    ）

A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根

C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0

【答案】BCD

【分析】根据必要条件的定义逐一判断即可.

【详解】A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；

B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有，显然能推出a＜2，符合题意；

C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；

D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意，

故选：BCD

12．已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（    ）.

A．

B．若不等式的解集为，则

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，且，则

【答案】ABD

【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解.

【详解】由题意，不等式的解集是，

所以，，所以A正确；

对于B：变形为，其解集为，

所以，得，故成立，所以B正确；

对于C：若不等式的解集为，由韦达定理知：

，所以C错误；

对于D：若不等式的解集为，

即的解集为，由韦达定理知：

，

则，解得，

所以D正确.

故选：D.

三、填空题

13．满足，且中的集合M的个数是__________

【答案】24

【分析】根据集合间的关系及集合的运算，设，求得满足条件集合M的个数，进而得到满足时的集合M的个数.

【详解】由题意，集合，若集合,可得，所以集M的个数为个，即当时，可得集合M的个数为个.

故答案为：24.

14．已知不等式的解集为或，则关于x的不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】根据不等式的解集求得参数的关系，再代入后解不等式．

【详解】由题意，所以，

不等式为，所以，，

，

故答案为：．

15．已知且，则的最小值是___________.

【答案】3

【分析】构造基本不等式求出最小值.

【详解】因为且，所以

所以，

当且仅当，即时取等号.

所以的最小值是3.

故答案为：3.

16．当时，关于x的不等式有解，则实数m的取值范围为__________

【答案】

【分析】不等式有解，只需在区间内的最大值大于0即可.

【详解】设，二次函数图像抛物线开口向上，当时，关于x的不等式有解，所以有或，解得，则实数m的取值范围为

故答案为：

四、解答题

17．在；② ““是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合，．

(1)当时，求；

(2)若          ，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)选择①，的取值范围为；选择②，的取值范围为；选择条件③，的取值范围为

【分析】（1）解分式不等式求得集合，由参数得集合，由并集定义计算；

（2）选①，由题意有，再根据子集定义列不等式组求解；选②，由题意有，再由真子集定义求解；选③，根据交集定义与空集定义列不等式求解．

【详解】(1)当时，集合，，

所以；

(2)若选择①，则，则，因为，所以，

又，所以，解得，

所以实数的取值范围是；

若选择②，“ “是“”的充分不必要条件，则，

因为，所以，又，

所以，解得，

所以实数的取值范围是．

若选择③，，因为，，

所以或，解得或，

所以实数的取值范围是．

18．已知集合，.

（1）若,求实数的取值；

（2）当，且时，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)化简集合A,B，由知B含二元素且，由根与系数的关系求；

(2)由可得，列出集合的所有可能，利用判别式及根与系数的关系求a的范围.

【详解】（1）由条件，为二元集合，

又集合的元素为一元二次方程的根，从而必有，

从而必有为方程的两个实根，从而可得

.

（2）当，，由，则,

且，则集合的所有子集为.

当时，方程无实根，得.

当，则由根与系数的关系可得此时，与条件矛盾

当，则必有；

当时，由根与系数的关系可得与条件矛盾.

综上所述，实数的取值范围是.

19．命题：任意，成立；命题：存在，成立．

(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；

(2)若命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）因为为真命题，对应的二次函数，开口向上，所以只需，求解即可；

（2）命题至少有一个为真命题，只需要两个命题为真命题，然后分别求出的范围，取并集即可.

【详解】(1)由题可知恒成立，所以，即，解得；

(2)由（1）可知当为真命题时，；

当为真命题时，存在，，所以，解得或，

所以命题至少有一个为真命题，则或或，即：或.

20．今年的新冠肺炎疫情是21世纪以来规模最大的突发公共卫生事件，疫情早期，武汉成为疫情重灾区，据了解，为了最大限度保障人民群众的生命安全，现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库.已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的距离（千米）的关系为：.若距离为1千米时，隔离病房建造费用为100万元.为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造病房与修路费用之和.

(1)求的表达式；

(2)当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值.

【答案】(1)；

(2)当时，费用取得最小，最小值为75万元.

【分析】(1)根据距离为1km时隔离病房建造费用为100万元，求出k的值，由此可得的表达式；

(2)由(1)可得，利用基本不等式计算即可求解.

【详解】(1)由题意知，距离为1km时，隔离病房建造费用为100万元，

所以，得，

所以；

(2)由(1)知，

，

当且仅当即时，等号成立，

即当时，函数取到最小值75万元，

所以隔离病房与药物仓库距离5km时，可使得总费用最小，最小值为75万元.

21．已知二次函数.

(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式；

(2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）设二次函数的两个零点分别为，，由求出t，直接解得；

（2）由根的分布情况列不等式组，求出实数t的取值范围．

【详解】(1)设二次函数的两个零点分别为，，

由已知得，

而，所以，故，

不等式即，解得或，

故不等式的解集为或.

(2)因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即，

解得：，即实数t的取值范围为.

22．设．

(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

(2)解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据条件不等式对一切实数x恒成立，转化为对一切实数x恒成立；分a=0和a≠0两种情况讨论，即可得出结论；

（2）不等式代入化简得ax2+（1-a）x-1＜0，对a的取值进行分类讨论，即可得不等式的解集．

【详解】(1)，恒成立等价于，，

当时，，对一切实数不恒成立，则，

此时必有，即，解得，

所以实数的取值范围是.

(2)则，

①当a=0时，不等式等价于：x-1＜0，∴x＜1，

不等式的解集为（-∞，1）；

当a≠0时，方程（x-1）（ax+1）=0有两个实根，1和；

②当a＞0时，1＞，不等式等价于（x-1）（x+）＜0，

∴不等式的解集为（，1）；

③当a＜0时，不等式等价于（x-1）（x+）＞0，

当-1＜a＜0时，1＜，

不等式的解集为（-∞，1）∪（-，+∞）；

当a=-1时，1=，不等式的解集为{x|x≠-1}．

当a＜-1时，1＞，

不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）；

综上：当a=0时，不等式的解集为（-∞，1）；

当a＞0时，不等式的解集为（，1）；

当a＜0时，不等式的解集为（-∞，1）∪（-，+∞）；

当a=-1时，不等式的解集为{x|x≠-1}．

当a＜-1时，不等式的解集为（-∞，）∪（1，+∞）；