数学必修 第二册5.1 直线与平面垂直练习

这是一份数学必修 第二册5.1 直线与平面垂直练习，共21页。试卷主要包含了已知长方体的等内容，欢迎下载使用。
【精选】5.1 直线与平面垂直-2课堂练习一．填空题1．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为的正三角形， ．分别为． 中点，且，则球O的表面积为__________．2．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，且该三棱锥的体积为，平面，，，则球的体积的最小值为______.3．如图，已知三棱锥S–ABC中，SA=SB=CA=CB=，AB=2，SC=，则二面角S–AB–C的平面角的大小为A．30° B．45° C．60° D．90°4．在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面，，分别是线段的中点，点在线段上，若，，，则____________.5．已知长方体的．．的长分为3？4？5，则点到棱的距离为______________.6．如图所示是一个三棱柱形状的容器，平面，，这个容器能装进去的最大的球的体积为（容器壁厚度不计）_______.7．已知两条直线，，两个平面，，给出四个命题：①若，，则    ②若，，，则③若，，则    ④若，，则其中正确命题的序号是_____．8．棱长为1的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴.有下列命题：①圆柱的母线与正方体所有的棱所成的角都相等；②正方体所有的面与圆柱的底面所成的角都相等；③在正方体内作与圆柱底面平行的截面，则截面的面积；④圆柱侧面积的最大值为.其中正确的命题是______.9．长方体中，，设为的中点，直线与底面成角，则异面直线与所成角的大小为________．10．在三棱锥S﹣ABC中，AC＝2AB＝4，BC＝2，AS⊥SC，平面ABC⊥平面SAC，则当△CBS的面积最大时，三棱锥S﹣ABC内切球的半径约为_____．（参考数据：≈0.25）11．在正方体中，点E是的中点，则异面直线BE与AC所成的角为________.12．已知正四面体的棱长为2，动平面交线段，（含端点）于点，，且平面平面，设平面和平面所成二面角的平面角为，则的最大值为______.13．如图，平面平面，，，是正三角形，O为的中点，则图中直角三角形的个数为______.14．如图，正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为_______，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为_______．15．已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为______.
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】利用已知条件可知三棱锥是正三棱锥，结合可得面，即可知是等腰直角三角形，可得且两两垂直，借助于正方体的外接球，即可求出三棱锥的外接球.详解：由题意知为正三棱锥，取中点，连接 ，所以 ， ，且 ，所以平面∴，又 ．分别为． 中点，易知,由已知，所以，所以面，所以，即是等腰直角三角形，因为斜边，所以且两两垂直，则为以为顶点的正方体一部分，，即所以球O的表面积为．故答案为：【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球问题，常借助于长方体或正方体的外接球，属于中档题.2．【答案】【解析】根据体积公式得到，根据余弦定理得到，根据正弦定理得到，根据得到，计算得到答案.详解：，故.根据余弦定理：，即，当时等号成立.设外接圆半径为，故，即.设球的半径为，球心在平面的投影为外心，则，，.故答案为：.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3．【答案】C【解析】【分析】取AB的中点O，连接SO，CO，由题设条件推导出AB⊥平面SOC，由此能二面角S﹣AB﹣C的平面角是∠SOC，在△SOC中，求得∠SOC.【详解】如图，取AB的中点O，连接SO，CO，由SA=SB=CA=CB可得AB⊥平面SOC，∴二面角S–AB–C的平面角是∠SOC．在△SOA中，SO=，同理CO=，在△SOC中，SO=CO=SC=，∴∠SOC=60°，二面角S–AB–C的平面角的大小为60°．故选C．4．【答案】【解析】取的中点，连接，则，可证平面，从而可得平面，即可得，进而可证平面，可得，在直角中，利用等面积法即可求出的长.详解：取的中点，连接，则因为平面，平面，所以，又，，所以平面，所以平面，又平面，所以.又，，平面,所以平面，因为平面，所以.因为分别为的中点，所以，所以,在直角中，，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，等面积法，属于中档题.5．【答案】5【解析】由长方体的性质可得，所以面，面，所以，可得是点到棱的垂线段，由勾股定理可求得答案.详解：由长方体的性质可得，所以面，面，所以，所以是点到棱的垂线段，又，，所以.故答案为：5. 【点睛】本题考查点到线段的距离，关键在于运用长方体的性质找到点到线段的垂线段，属于基础题.6．【答案】【解析】试题分析：由题意分析可知容器能装进去的最大的球就是当球与三棱锥三个侧面都相切时最大，因此最大球半径即为横截面三角形内切圆半径，由等面积法即可求出半径.详解：解：由于，则容器足够长，所以最大的球应与三棱柱的三个侧面相切，作截面如图所示，作，垂足为S.，由余弦定理得，，，.设圆的半径为r，，，球的体积.故答案为：.【点睛】本题考查球的体积，关键是利用等面积法求球体半径，属于中档题.7．【答案】①③【解析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断即可.详解：对①，由线面垂直的性质以及判定定理可知，①正确；对②，若，，，则异面或者平行，②错误；对③，由面面垂直的判定定理可知，③正确；对④，若，，则可能在内或与平行或与相交，④错误；故答案为：①③【点睛】本题主要考查了判断直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.8．【答案】①②④【解析】根据正方体的特性分析可知①②正确，作出一个与圆柱底面平行的截面，举出反例得到③错误，利用几何法找出圆柱的底面半径，列式计算圆柱侧面积，结合均值不等式计算得到④正确，得到答案.详解：如图所示：易知圆柱的母线与平行，由正方体的对称性可知与其每条侧棱间的夹角都相等，①正确；设分别为对应棱的中点，易知共面，易证，，则平面，平面，故，同理可得，故平面，又圆柱的底面与垂直，故平面与圆柱的底面平行，根据正方体的特点可知，平面与正方体所有侧面的夹角相同，故正方体所有的面与圆柱的底面所成的角都相等，②正确；此时截面的面积为，③错误；设圆柱底面半径为，则圆柱的底面必与过点的三个面相切，且切点分别在线段上，设在上的切点为，为圆柱的一条高，根据对称性知：，则圆柱的高为，，当，即时等号成立，④正确.故答案为：①②④.【点睛】本题以正方体与圆柱的综合为载体，考查了空间几何体中线面夹角．面面夹角的计算．正方体的截面等知识点，难度较大.解答时要灵活运用正方体的特点，将问题灵活转化；截面面积及最值问题难点在于分析截面的位置及形状，利用几何关系列出关于面积的表达式然后设法求出最值.9．【答案】【解析】连接，根据线面角求出矩形的高，取的中点，连接，，作出与异面直线所成角相等的角，在中即可求解.详解：连接，由直线与底面成角，则，所以，设，则，所以所以，所以取的中点，连接，，则，且，所以平面，即，在中，,所以.故答案为：【点睛】本题考查了求异面直线所成角．线面角，考查了基本运算求解能力与空间想象能力，属于基础题.10．【答案】0.5【解析】在中，，由，可得，利用面面垂直的性质定理可得，平面，因此，又，可得平面，于是，可得，利用基本不等式的性质可得，当且仅当时取等号，此时，设三棱锥内切球的半径为，利用体积变形即可求得.详解：解：在中，，所以，所以，因为平面ABC⊥平面SAC，平面ABC∩平面SAC=AC，所以平面，所以，因为，，所以平面，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，此时，所以,设三棱锥内切球的半径为，则，解得，故答案为：0.5【点睛】此题考查了面面垂直的性质定理．勾股定理及其逆定理．基本不等式的性质．三棱锥内切球的性质．三棱锥的体积计算公式，考查计算能力，综合性强，属于中档题.11．【答案】.【解析】利用线面垂直的判定与性质证明直线BE与AC垂直即可.【详解】连接,因为正方体故,平面.故.又,故平面.故.所以异面直线BE与AC所成的角为.故答案为：【点睛】本题主要考查了线线垂直的判定,属于基础题.12．【答案】【解析】设在平面上的投影为，为中点，连接，，为与平面所成角，结合计算得到答案.详解：设在平面上的投影为，则平面，平面平面，故平面，正四面体，故为中心.为中点，连接，，则，，，故平面，故为与平面所成角，中，，，，故，设平面平面，于，于，连接，平面，平面，故，，则平面，故，，故为平面和平面所成二面角的平面角，，故，当时等号成立.故答案为：.【点睛】本题考查了二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，转化能力.13．【答案】6【解析】由面面垂直的性质定理可得：平面，再逐一判断即可得解.详解：解：，O为的中点，.又平面平面，且交线为，平面.平面，，为直角三角形.∴图中的直角三角形有，，，，，，共6个.故答案为：6.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，重点考查了空间想象能力，属基础题.14．【答案】90°      【解析】取CD中点E，连接AE．BE，作AF⊥BE于点F，空1：根据等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行求解即可；空2：根据线面垂直的性质和判定定理，结合线面角定义．锐角三角函数定义进行求解即可.详解：取CD中点E，连接AE．BE，作AF⊥BE于点F.空1：因为，所以CD⊥AE，CD⊥BE，AEBE＝E，平面ABE，∴CD⊥平面ABE，平面ABE，∴CD⊥AB，∴异面直线AB与CD所成的角为90°；空2：∵CD⊥平面ABE，平面ABE，∴CD⊥AF，又AF⊥BE， 平面BCD，∴AF⊥平面BCD，∴∠ABF是直线AB与底面BCD所成角，正四面体ABCD中，因为AF⊥平面BCD，所以点F是三角形BCD的中心，设正四面体的棱长为a，所以则．故答案为：90°；【点睛】本题考查了求异面直线所成的角和线面角的计算，考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.15．【答案】【解析】先找到外接圆的圆心，得到球心一定在过点且垂直面垂线上，然后在内使用正弦定理求得外接球的半径，最后可得结果.【详解】由题意知：的中点为外接圆的圆心且平面平面.过作面的垂线，则垂线一定在面内.如图，根据球的性质，球心一定在垂线上，∵球心一定在面内，且球心也是外接圆的圆心.在中，由余弦定理得.所以由正弦定理得：，解得，∴三棱锥外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，难点在于球心的位置，重点在于外接球的半径的求法，属难题.