高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.2 平面与平面垂直课时训练

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2．已知正方体的棱长为2，为体对角线上的一点，且，现有以下判断：①；②若平面，则；③周长的最小值是；④若为钝角三角形，则的取值范围为，其中正确判断的序号为______.
3．在四棱锥中，底面为矩形，平面，，.以为直径的球与交于点（异于点），则四面体外接球半径______.
4．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，则该四棱锥的外接球的表面积为______.
5．在所有棱长都相等的三棱锥中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个命题：
（1）平面PDF；（2）平面；
（3）平面平面；（4）平面平面．
其中正确命题的序号为________．
A．（2）（3）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（1）（4）
6．在棱长为2的正方体中，是棱的中点，则棱与平面所成角的正弦值等于______.
7．已知正四棱锥侧棱和底面边长均为2，则该几何体的侧面与底面所成的二面角的大小为________(结果用反三角函数表示)
8．正方形沿对角线折成直二面角，下列结论：①异面直线与所成的角为；②；③是等边三角形；④二面角的平面角正切值是；其中正确结论是______.（写出你认为正确的所有结论的序号）
9．如图（1），在等腰直角中，斜边，D为的中点，将沿折叠得到如图（2）所示的三棱锥，若三棱锥的外接球的半径为，则_________.
图（1） 图（2）
10．已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC=AB=2，E，F分别为PA和BC的中点，则直线EF与PC所成的角为___________．
11．已知正四棱锥（底面是正方形且侧棱都相等）中，，是侧棱的中点，则异面直线与所成角的大小为 .
12．已知球内接三棱锥中，平面ABC，为等边三角形，且边长为，又球的体积为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为________.
13．已知六棱锥的七个顶点都在球的表面上，若，底面，且六边形是边长为的正六边形，则球的体积为____________________.
14．如图，在三棱锥中，若底面是正三角形，侧棱长，．分别为棱．的中点，并且，则异面直线与所成角为______；三棱锥的外接球的体积为______．
15．体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，， 则球的表面积的最小值为________.
参考答案与试题解析
1．【答案】
【解析】先根据底面ACD面积为定值，确定四面体ABCD的体积最大时，平面,再确定外接球球心位置，解得球半径，代入球的表面积公式得结果.
【详解】
因为，所以底面ACD面积为定值，
因此当平面时，四面体ABCD的体积最大.
设外接圆圆心为,则四面体ABCD的外接球的球心满足,且，
因此外接球的半径满足
从而外接球的表面积为
故答案为：
【点睛】
本题考查四面体外接球的表面积，考查综合分析求解能力，属中档题.
2．【答案】①②④
【解析】利用线面垂直证明线线垂直，由此判断①正确.在直角三角形中，利用射影定理求得，由此判断②正确.将和展开成平面，由此求得的最小值，进而求得三角形周长的最小值，由此判断③错误.先求得为直角三角形时的值，由此确定的取值范围
【详解】
在正方体中，平面，又平面，故，①正确；
由平面，在中，,由于，由射影定理得,即，,可得，故②正确；
将和展开，可得的最小值为，又，故③错误；
利用平面，可得当为直角三角形时，，故当为钝角三角形时，的取值范围为，④正确.
所以正确判断为①②④.
故答案为：①②④
【点睛】
本小题主要考查正方体中的线线．线面垂直有关命题真假性判断，考查距离和的最值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
3．【答案】
【解析】过点作的垂线，垂足即为，可求出，易证平面，从而可得到平面平面，分别取，的中点，，可得，平面，由是直角三角形，可知直线上任意一点到三个顶点的距离相等，作线段的垂直平方线，垂足为，交于点，则点为三角形的外接圆圆心，且为四面体外接球球心，由正弦定理可求得三角形的外接圆半径，即为所求外接球半径，求解即可.
【详解】
由题意，平面，底面为矩形，，，
可得，，，
过点作的垂线，垂足即为，
，所以，，
因为，，，所以平面，
则，，即.
因为平面，平面，所以平面平面，
分别取，的中点，，则，平面，
因为是直角三角形，所以直线上任意一点到三个顶点的距离相等，
作线段的垂直平方线，垂足为，交于点，则到三个顶点的距离都相等，即四面体外接球球心为，且的外接圆圆心为，
中，，
由正弦定理，，即的外接圆半径为，四面体外接球半径.
故答案为：.
【点睛】
本题考查空间几何体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
4．【答案】
【解析】设正方形的中心，三角形的外心，取的中点， 分别以，为邻边作一个矩形，可证明，点就是该外接球的球心，求出球半径，进而可得结果.
【详解】
设正方形的中心，三角形的外心，
取的中点，连，，则，，
分别以，为邻边作一个矩形，如图，
因为侧面底面，
则平面，平面，
则，
所以点就是该外接球的球心，
由，可得，
在中，，
外接圆的表面积为，
故答案为：.
【点睛】
要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径（球心在过底面多边形的外心且与底面垂直的直线上）.
5．【答案】C
【解析】（1）根据三角形中位线得，根据线面平行判定定理可知（1）正确；
（2）根据位置关系可知与平面相交，（2）错误；
（3）假设垂直关系成立，根据面面垂直的性质可证得平面，由线面垂直性质得到，根据等腰三角形三线合一可得，则，不成立可知假设错误，故（3）错误；
（4）根据线面垂直的判定定理可证得平面，由面面垂直判定定理可证得结论，知（4）正确.
【详解】
（1）分别为中点
平面，平面 平面，（1）正确；
（2），平面 平面，（2）正确；
（3）假设平面平面
，为中点 ，又
平面平面，平面 平面
平面
，为中点 ，显然不成立
故假设错误，（3）错误；
（4）三棱锥所有棱长都相等
又，为中点 ，
平面， 平面
又平面 平面平面，（4）正确
【点睛】
本题考查立体几何中直线与平面．平面与平面的位置关系的判定，涉及到线面平行的判定．面面垂直的判定．线面垂直和面面垂直性质的应用等知识；考查学生对于立体几何中平行与垂直的判定与性质定理的应用情况.
6．【答案】
【解析】易知：平面平面，在平面中，过点作于O点，
则为棱与平面所成角.
【详解】
连接，易知：平面平面，
在平面中，过点作于O点，
∴为棱与平面所成角，
在中，，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了直线与平面之间所成角，考查空间想象能力．运算能力和推理论证能力，属于基础题．
7．【答案】
【解析】根据题意画出正四棱锥,正四棱锥侧棱和底面边长均为2,设正方形中心为,取中点,连接,,,证明,,则为侧面与底面所成的二面角.
【详解】
正方形中心为,取中点,连接,,
正四棱锥,则底面

为中点, 为中点
故 且
侧面为等边三角形, 为中点

在 中求得
在中,
所以该几何体的侧面与底面所成的二面角的大小为:
故答案为:.
【点睛】
本题考查面与面所成的二面角问题,解题的关键是作出相应的立体图形,属于基础题
8．【答案】①②③④
【解析】作出翻折后的空间图形，取为的中点，根据面面垂直的性质有平面,然后对各个选项进行分析计算，从而判断其真假.
【详解】
设正方形的边长为2,取的中点为，连结.
由,有。
又因为直二面角,所以 平面.
在直角三角形中，.则.
对①，取的中点分别为，连结.
则∥且=1，∥且=1.
所以异面直线与所成的角为,
直角三角形中,,所以为等边三角形.
则，所以①正确.
对②,由,有,
则可以得到平面,又平面。
所以，所以②正确.
对③，由题意可知,是等边三角形.
所以③正确.
对④，由∥，则,
又,则,所以为二面角的平面角.
在直角三角形中，,所以所以④正确.
故答案为：①②③④.
【点睛】
本题考查空间的垂直，异面直线所成角，二面角等属于中档题.
9．【答案】
【解析】根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决．
【详解】
解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．
根据题意，CD⊥平面A'BD，
取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，
因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，
所以A'和B关于平面CDG对称，
在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过
O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，
则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，
因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，
即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R，
∴A'F2，
所以，BF＝2，
所以四边形A'DBF为菱形，
又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，
∴OE2，
∴三角形A'DF为等边三角形，
∴∠A'DF，
故∠A'DB，
故填：．
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．
10．【答案】45°
【解析】取的中点为,证明为与所成的角，在中求.
【详解】
取的中点为，连接,,
E，F分别为PA和BC的中点,
且,且,
为与所成的角，为与所成的角，
,
,
又,
,
故答案为.
【点睛】
本题考查的是异面直线所成角的求法，作出异面直线所成角是关键，是中档题.
11．【答案】
【解析】设与相交于点，连接。因为是正方形，所以是中点。而是中点，所以，则是异面直线与所成角。因为是正四棱锥，所以面，从而可得面面。因为，所以面，从而。因为，所以，所以是等腰直角三角形，从而可得
12．【答案】
【解析】先根据正弦定理求出小圆的半径,根据球的体积求出球的半径,再根据垂径定理求得,根据勾股定理求得,,取的中点,连,可得就是直线PC与平面PAB所成的角,在直角三角形中可求得.
【详解】
如图:
由正弦定理得小圆的半径为:,则,
又由,得球的半径R,
所以,取的中点,连接, ,则就是直线PC与平面PAB所成的角,
又,
,
所以.
直线PC与平面PAB所成角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了直线与平面所成的角,垂径定理,属中档题.
13．【答案】
【解析】根据底面为正六边形，可知底面外接圆的半径为，由勾股定理可求外接球的半径，即可求出体积.
【详解】
解：在六棱锥中，由于底面正六边形的边长为1，
故底面外接圆半径，
，底面，
设外接球的半径为
则解得
故答案为：
【点睛】
本题考查锥体的外接球的体积计算，属于基础题.
14．【答案】
【解析】根据题意得出三棱锥是正三棱锥，易证出平面，再根据，可得，从而得出异面直线与所成角；判断出三棱锥是正方体的一部分，从而得出球的直径，即可得出球的体积.
【详解】
由三棱锥中，若底面是正三角形，侧棱长知，三棱锥是正三棱锥，则点在底面中的投影为底面的中心，为中点如图，
因此,所以平面,平面,
,又．分别为棱．的中点，
则,因此，异面直线与所成角为；
,
平面,又，则平面,又三棱锥是正三棱锥，
因此三棱锥可以看成正方体的一部分且为正方体的四个顶点，故球的直径为，
则球的体积为.
故答案为：；.
【点睛】
本题主要考查的是异面直线所成角，线面垂直的判定定理，以及球的体积，考查学生的理解能力，是中档题.
15．【答案】
【解析】设出三角形的三边长，利用三棱锥的体积列方程.计算出三角形的外接圆半径，由此计算出球的半径的表达式，并求得球的半径的最小值，进而求得其表面积的最小值.
【详解】
设三条边长为，则
①.
由于平面，所以三棱锥的体积为，所以②.
设的外心为，球的球心为.
由正弦定理得外接圆的半径为.
由图可知，球的半径，将①代入上式得
，当且仅当时等号成立.故球表面积的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本小题主要考查有关几何体外接球表面积的最小值的计算，考查三棱锥的体积公式，考查基本不等式求最值，考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查空间想象能力，属于中档题.