数学必修 第二册第六章 立体几何初步4 平行关系4.2 平面与平面平行课后测评

【优编】4.2 平面与平面平行-1同步练习

一．填空题

1．如图，在棱长为1的正方体中，是平面与平面的交线，则点到的距离是______.

2．在正方体中，

①平面        ②直线AD与所成角的大小为

③        ④平面平面

请把所有正确命题的序号填在横线上________．

3．如图，在棱长为的正方体中，下列结论正确的是__________.

①；

②平面；

③平面平面；

④点到平面的距离等于.

4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（不包括边界），若B1P//平面A1BM，则C1P长度的取值范围是____．

5．在正方体中，．．分别是棱．．的中点，点在上且．则以下四个说法：________(填序号).

①平面；②平面；③．．三点共线；④平面平面.

6．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB．AD．AA1的中点，又P．Q分别在线段A1B1．A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1).设平面MEF∩平面MPQ

＝l，现有下列结论：

①l∥平面ABCD；

②l⊥AC；

③直线l与平面BCC1B1不垂直；

④当x变化时，l不是定直线.

其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)

7．已知正方体的棱长为4，点为中点，点为中点，若平面过点且与平面平行，则平面截正方体所得的截面面积为______．

8．正四棱柱中，，为中点，若点满足，且平面，则__________．

9．在三棱锥中，为的中心，过点作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线和，则截面的周长为________________.

10．如图，直角梯形纸片中，，，，折叠纸片使经过点，点落在点处，是折痕，且，则的长为______

11．平面过正四棱柱的顶点A，底面边长为3，侧棱长为4，∥平面平面平面则所成角的余弦值为_______.

12．如图，在棱长为 1 的正方体中，点是的中点，动点在底面正方形内（不包括边界），若平面，则长度的取值范围是_______．

13．已知垂直于所在平面为的中点，又与平面所成的角分别为，若,则 __________．

14．下列命题正确的有________(只填序号)

①若直线与平面有无数个公共点,则直线在平面内;

②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;

③若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;

④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;

⑤若平面α∥平面β,直线aα,直线bβ,则直线a∥b.

15．已知正方体,点在底面内运动,且始终保持平面,设直线与底面所成的角为,则的最大值为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由//，得到点到的距离即是两条平行线间的距离，通过A到的距离求出和两条平行线的距离。

【详解】

在正方体中，

平面//平面

//平面，

是平面与平面的交线，

//，

则点到的距离即是和两条平行线的距离，

而A到的距离也是和两条平行线的距离。

在正方体中，,

是正三角形，A到的距离为，

则点到的距离也是。

故答案为：

【点睛】

本题考查了直线与平面平行．平面与平面平行的性质，和两条平行线之间的距离，注意当某些条件不易直接求时，可转换成与其相等的另外条件来求，属于中等题。

2．【答案】①③④

【解析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④.

【详解】

对于①，如下图所示，由于，则四边形为平行四边形，则

面，面，所以平面，故①正确；

对于②，由于，则直线AD与所成角为，故②错误；

对于③，面，面，则，故③正确；

对于④，在正方体中，，则四边形为平行四边形

所以平面，平面，所以平面

同理平面，平面

所以平面平面，故④正确；

故答案为：①③④

【点睛】

本题主要考查了利用判定定理证明线面平行，面面平行，利用线面垂直的性质证明线线垂直，异面直线所成角，属于中档题.

3．【答案】②③

【解析】由题意结合异面直线夹角的求解可判断①，由线面垂直的性质与判定可判断②，由面面平行的判定可判断③，利用等体积法可判断④，即可得解.

详解：对于①，由可得或其补角即为异面直线，所成的角，因为为等边三角形，所以，所以不成立，故①错误；

对于②，连接，如图：

则，由平面可得，所以平面，所以，同理可得，由可得平面，故②正确；

对于③，在正方体中，，，所以平面，平面，又因为，所以平面平面，故③正确；

对于④，三棱锥的体积，是边长为的等边三角形，所以，设点到平面的距离为，

所以，所以，故④错误.

故答案为：②③.

【点睛】

本题考查了线面．面面位置关系的判断及异面直线夹角．点到平面距离的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.

4．【答案】

【解析】取BC中点N，连结B1D，B1N，DN，作CO⊥DN，连结C1O，

因为平面B1DN∥平面A1BM，

所以点P在底面ABCD内的轨迹是线段DN（动点P在底面正方形ABCD内，不包括边界，故不含点N和点D），

在中，，

所以，

过C1O⊥DN，则当P与O重合时，C1P长度取最小值，

所以C1P长度的最小值为，

当P与D重合时，C1P长度取最大值，

∴C1P长度的最大值为C1D＝，

∵P与D不重合，∴C1P长度的取值范围是．

故答案为： .

5．【答案】②③

【解析】观察正方体不难发现①因为直线在平面内；（4）平面与平面相交，是错误的；②在平面内找到直线和它平行③利用相似可以说明是正确的．

详解：

解：①，连接．，

得．交与点，即面，所以面是错误的；

②平面延展，可知．在平面上，，所以面，是正确的；

③由，以及②△，所以，，，三点共线，是正确的；

④直线延长到，则在平面，又在平面，面面是错误的．

故答案为②③

【点睛】

本题考查直线与平面平行，平面与平面平行的判定，三点共线问题，考查空间想象能力，是基础题．

6．【答案】④

【解析】详解：连接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，则PQ∥平面MEF，

又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，

∴l∥平面ABCD，故①成立；

又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；

∵l∥EF∥BD，故直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；

当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．

即不成立的结论是④.

7．【答案】

【解析】如图所示，取中点，则平面即平面，过点作的平行线与交于点，则，

过点作的平行线与交于点，则，平面截正方体所得的截面为，

且，，由此可求得的面积为．

故答案为：.

8．【答案】

【解析】先猜想点为的中点，取的中点，连接．，再证明平面．结合正四棱柱和中位线的性质可推出四边形为平行四边形，从而，然后由线面平行的判定定理可证得平面．

详解：如图所示，分别取．的中点．，连接．，此点即为所求．

证明如下：

．分别为．的中点，

，，

为中点，

，

又，

，，

四边形为平行四边形，

，

平面，平面，

平面．

由于为的中点，

所以．

故答案为：．

【点睛】

本题考主要查空间中线与面的平行关系，对于找点问题，一般可采用先猜后证的思想，熟练掌握线面平行的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感．逻辑推理能力，属于中档题．

9．【答案】8

【解析】过点G作交PA．PC于点E．F，过E．F分别作．分别交AB．BC于点N．M，连结MN，所以EFMN是平行四边形，∴，即，，即，所以截面的周长.

考点：线线平行．截面的周长.

10．【答案】6

【解析】先判断出，然后在中求出的长度，继而在中求出．

详解：，

，

（折叠的性质），

，，

，

在中，，

在中，．

故答案为：6

【点睛】

本题考查了翻折变换的知识，涉及了解直角三角形的相关知识，解答本题的关键是判断出为直角，，难度一般．

11．【答案】

【解析】如图：平面,平面平面可知,,

在中,与所成角的余弦值即为所求.

【详解】

作图如下:

因为平面,

平面,

所以,

又,

，

由平面

所以，

即.

同理可得,

,

所以在中,与所成角的余弦值即为所求.

因为为正四棱柱,

所以,

.

.

故答案为:

【点睛】

本题主要考查空间直线角度相关问题．点线面位置关系．面面平行和线面平行的性质定理;利用面面平行和线面平行的性质定理把所成角转化为与所成角是求解本题关键;重点考查学生的空间想象能力;

12．【答案】

【解析】建立空间直角坐标系，设点，，平面的法向量，的方向向量，由题意可知，即，，则，求解取值范围即可.

【详解】

以为原点，，，所在直线分别为，，建系如图

则，，，，.

设，则的方向向量

设平面的法向量，，，，

，即取，则

若平面，则

即，则

又

即

，，

即

故答案为：

【点睛】

本题考查空间中的距离问题，属于一道较难的题.

13．【答案】

【解析】画图分析线面垂直的关系,再设长为算出底面的所有线段长度,再利用互补利用余弦关系求解即可.

【详解】

画出图像,

易得分别为.

设长为,则,设

, ,

故在中,

,

代入得,

所以,故,

得,.所以

故答案为：

【点睛】

本题主要考查立体几何中的解三角形问题,底面分成两个三角形,故可以利用互补的两个角度的余弦值互为相反数,再利用余弦定理求解即可.

14．【答案】①④

【解析】根据空间线线．线面和面面位置关系有关定理，对五个命题逐一分析，由此得出正确命题的序号.

【详解】

对于①，根据公理，直线有两个点在平面内，则直线在平面内，故①正确.

对于②，当直线和平面相交时，直线上有无数个点不在平面内，故②错误.

对于③，若两条异面直线中的一条与一个平面平行，另一条直线可能在该平面内，故③错误.

对于④，当直线和平面平行时，与平面没有公共点，故直线和平面内的直线平行或异面，故④正确.

对于⑤，两条直线可能异面，故⑤错误.

综上所述，正确的命题序号是：①④.

故填：①④.

【点睛】

本小题主要考查空间中线线．线面和面面位置关系的命题真假性判断，属于基础题.

15．【答案】

【解析】画出立体图形,因为面面,在底面内运动,且始终保持平面,可得点在线段上运动,因为面面,直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等,即可求得答案.

【详解】

连接和

,

面面

在底面内运动,且始终保持平面

可得点在线段上运动,

面面,

直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等

面

直线与底面所成的角为:

有图像可知:

长是定值,

当最短时,,即最大,即角最大

设正方体的边长为

,

故

故答案为:

【点睛】

本题考查了求线面角的最大值,解题是掌握线面角的定义和处理动点问题时,应画出图形,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.