高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.1 直线与平面垂直巩固练习

【优质】5.1 直线与平面垂直-3课时练习

一．填空题

1．已知异面直线，所成角为，直线与，均垂直，且垂足分别是点，,若动点，，，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是_______.

2．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为的鳖臑中，平面，且，，则该鳖臑外接球的表面积为_________．

3．如图，已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，则线段的长为______，在底面上投影的面积是______.

4．如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成，构成四棱锥，若为线段的中点，在翻转过程中有如下四个命题：①平面；②存在某个位置，使；③存在某个位置，使；④点在半径为的圆周上运动，其中正确的命题是__________．

5．如图,在四棱锥中,平面,底面是菱形,且,则异面直线与所成的角的余弦值为______,点到平面的距离等于______.

6．如下图①，在直角梯形中，，，，点在线段上运动.如下图②，沿将折至，使得平面平面，则的最小值为______.

7．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”，底面，，，则该“阳马”的最长棱长等于______；外接球表面积等于______.

8．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，△ABD沿对角线BD翻折，形成三棱锥A﹣BCD．

①当时，三棱锥A﹣BCD的体积为；

②当面ABD⊥面BCD时，AB⊥CD；

③三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为定值．

以上命题正确的是_____．

9．在四棱柱中，四边形ABCD的边长都是1，且，侧棱底面ABCD，P为棱的中点，Q为线段AP上的点，若，则四棱柱体积的最大值为________.

10．已知正方体的棱长为为的中点，若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为_________．

11．已知在四面体中，分别是的中点，若，则与所成的角为       

12．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为______．

13．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，.给出下列三个论断：①；②；③以其中一个论断作为条件，余下两个论断作为结论，写出一个真命题：________________.（用论断序号和推出符合“”作答）

14．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．

①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形

②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥

③存在点D，使CD与AB垂直并且相等

④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上

其中真命题的序号是           

15．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，为中点，，则球的体积为_______.

参考答案与试题解析

1．【答案】.

【解析】线段的中垂面为，易知，在平面的投影为，在平面的投影为，设相交于点，为中点，以为原点，为轴建立直角坐标系，得到，讨论得到答案.

详解：如图所示：线段的中垂面为，易知，

在平面的投影为，在平面的投影为，设相交于点.

在平面的投影为，在平面内的投影为，连接，

则为中点，以为原点，为轴建立直角坐标系，

设，，，则，解得，

故，

当，时，；当，时，；

当，时，；当，时，.

如图所示，解得，，，，

故面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了异面直线夹角，轨迹问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

2．【答案】

【解析】根据鳖臑的体积可求出,由勾股定理可求出,确定外接球球心为中点，即可得到球半径，求出球的表面积.

详解：如图，

鳖臑四个面都是直角三角形，且平面，所以，

故,

所以,

由知,

即，

在直角三角形中斜边上的中点到各顶点距离相等，可知AD中点O到A，B，C，D的距离相等,

所以鳖臑外接球的球心为,半径，

球的表面积,

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了三棱锥外接球的半径，球的表面积，棱锥的体积，属于中档题.

3．【答案】3    2 

【解析】取中点，可知平面，由此可得所求三角形的投影为且；利用勾股定理求得；由求得投影面积.

【详解】

取中点，连接

分别为中点        平面

在平面上的投影为，

故答案为：；

【点睛】

本题考查正方体内的投影面积和线段长度的求解问题，关键是能够根据正方体的结构特征确定线面垂直的关系，从而得到投影图形.

4．【答案】①③④

【解析】【详解】

对于①，取中点,连接,则∥，∥,所以平面平行平面,所以平面，故正确；

对于②，因为在平面中的射影为，与不垂直，所以存在某个位置,使不正确，故不正确；

对于③，由,可得平面平面时,，故正确；

对于④，因为的中点是定点,，所以点是在以为圆心，为半径的圆上，故正确

故答案为 ①③④

5．【答案】     

【解析】因为底面是菱形,可得,则异面直线与所成的角和与所成的角相等,即可求得异面直线与所成的角的余弦值.在底面从点向作垂线 ,求证垂直平面,即可求得答案.

【详解】

根据题意画出其立体图形:如图

底面是菱形,

则异面直线与所成的角和直线与所成的角相等

平面,平面

又 ,底面是菱形

即

故:异面直线与所成的角的余弦值为:

在底面从点向作垂线

平面,平面

,

平面

故是到平面的距离

故答案为:,.

【点睛】

本题考查了求异面直线的夹角和点到面距离,解题关键是掌握将求异面直线夹角转化为共面直线夹角的解法,考查了分析能力和推理能力,属于基础题.

6．【答案】

【解析】过点作交于,由平面平面，则平面.设，,，,在三角形中, ,则所以，可得出答案.

详解：由，，则

过点作交于,由平面平面，则平面.

设，

则在直角三角形中，，

在三角形中,

所以

由，所以当时，有最小值

所以的最小值为

故答案为：

【点睛】

本题考查线面垂直的应用，考查余弦定理解三角形，考查空间线段的长度的最值.属于难题.

7．【答案】3     

【解析】分别求各边长即可得最长棱,通过补成长方体可得球半径.

【详解】

如图，底面，底面为长方形，且，，

所以.

最长棱为:3.

该几何体可以通过补体得长方体,所以其外接球的半径为.

则其外接球的表面积为，故答案为：3；.

【点睛】

本题主要考查了四棱锥的几何特征及外接球问题,属于基础题.

8．【答案】③

【解析】在①中，由题意可得平面ACD，利用即能求出三棱锥A﹣BCD的体积；在②中，过点A作AE⊥平面BCD，交BD于E，则AE⊥CD，即可得 AB与CD不垂直；在③中，三棱锥A﹣BCD外接球的球心为O，半径为，从而三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为定值．

详解：∵在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，

∴AC=BD，

△ABD沿对角线BD翻折，形成三棱锥A﹣BCD．

在①中，当时, ，，

∴，，

又，∴平面ACD，

∴，故①错误；

在②中，当面ABD⊥面BCD时，过点A作AE⊥平面BCD，交BD于E，

则AE⊥CD，又CD与平面ABD不垂直，故AB与CD不垂直，故②错误；

在③中，取BD的中点O，连接OA．OC，

∵OA＝OB＝OC＝OD，

∴三棱锥A﹣BCD外接球的球心为O，半径为，

∴三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为定值，故③正确．

故答案为：③．

【点睛】

本题考查了空间位置关系及三棱锥体积．外接球相关问题的求解，考查了推理论证能力，属于中档题．

9．【答案】

【解析】作交AB的延长线于点H，连接,根据条件可得平面，进一步得到平面，所以，设记，，因为，所以，由，有，四棱柱的体积为，设，对函数求导讨论单调性，从而得到体积的最大值.

详解：如图，作交AB的延长线于点H，连接，

因为底面ABCD，所以平面底面ABCD.

又平面底面,由.

所以平面，则,又

所以平面，所以.

记，，因为，所以.

易证，则，得，

所以，得，

所以四棱柱的体积为.

令，，则，令，则，

令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，

故，故四棱柱体积的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查空间中的线面位置关系及四棱柱的体积，考查考生分析问题．解决问题的能力，考查直观想象核心素养，属于难题.

10．【答案】

【解析】根据线面垂直的条件先确定平面，再根据截面形状求周长即可得解.

详解：在正方体中，，，

面，，

取的中点，的中点，连接，，，

易知，

由面可得，面，，

面，取的中点，由可知点在面上，

平面截正方体所得截面为，

由正方体棱长为2易得截面周长为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定和截面的性质，考查了空间思维能力，属于中档题.

11．【答案】

【解析】【详解】

取中点，连结EG，FG，则，为与所成的角．．

考点：异面直线成角．

12．【答案】

【解析】取中点，，根据球的性质可知；利用线面垂直关系可确定所求角为，利用球的表面积可求得，结合勾股定理可求得，由此得到，从而确定结果.

详解：取中点，连接且，则为的中心，

由球的性质可知：平面，又，，

为等边三角形，，

又平面，平面，，

平面，，平面，

直线与平面所成角为.

球的表面积为，，又，

，，

，即直线与平面所成角的正弦值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查立体几何中线面角的求解问题，涉及到三棱锥外接球问题的求解；解题关键是能够根据三棱锥外接球的性质和球的表面积确定球心位置和球的半径，进而得到所需的长度关系.

13．【答案】②①③.

【解析】根据直线与平面垂直，则直线与平面内的任意一条直线垂直可得②①；根据平面内的一条直线与另一个平面垂直，则两个平面垂直可得②③.

【详解】

解：②①③.

证明如下：因为，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，

且，

，故②①成立.

，故②③成立.

综上：②①③成立.

故答案为：②①③

【点睛】

本题考查直线与平面垂直的判定和直线与直线垂直的判定，解决此类题型要牢记判定定理.

14．【答案】③④

【解析】∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，

∴AC=BC=，AB=，当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2

此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可

∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确

考点：立体几何点，线，面的位置关系．

15．【答案】

【解析】由题意画出图形，证明三棱锥为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球的体积．

详解：解：如图，由，是边长为2的正三角形，可知三棱锥为正三棱锥，

则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，取的中点，连接并延长，交于，

则，又，，平面，平面，可得平面，则，

，分别是，的中点，，

又，所以即，，平面，平面，所以平面，

正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，

把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，

其直径，，

所以，则球的体积为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．