高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.1 直线与平面垂直巩固练习

【名师】5.1 直线与平面垂直-1课时练习

一．填空题

1．经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有_____个．

2．已知，P为平面ABC外一点，，点P到两边AC，BC的距离均为2，那么P到平面ABC的距离为____________.

3．如图所示，在四棱锥中，平面，，底面为梯形，∥，，点在棱上，若∥平面，则__________.

4．在棱长为的正方体中，棱，的中点分别为，，点在平面内，作平面，垂足为.当点在内（包含边界）运动时，点的轨迹所组成的图形的面积等于_______.

5．如图1所示，在直角梯形中，，，，将沿折起到的位置，得到图2中的三棱锥，其中平面平面，则三棱锥的体积为___________, 其外接球的表面积为___________,

6．如图，三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面平面，，，，则球的表面积为______．

7．如图，直线平面，垂足为，正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的棱长为1，是直线上的动点，是平面上的动点，求到点的距离的最大值为_______

8．如图，在长方体中，，，，E．F分别为棱．的中点.动点P在长方体的表面上，且，则点P的轨迹的长度为________.

9．已知三棱锥内接于半径为5的球，，，，则三棱锥体积的最大值为________

10．已知四面体中，，，，平面PBC，则四面体的外接球表面积为________．

11．已知三棱锥中，为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的体积为____.

12．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的半径为______；若是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是______．

13．在棱长为的正方体中,为中点,点在正方体的表面上移动,且满足,当在上时,______;点和满足条件的所有点构成的平面图形的面积为_______.

14．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，且是等边三角形，点是侧面内的一个动点，且满足，则点所形成的轨迹长度是_______.

15．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面ABC，，则该球的体积为_________.

参考答案与试题解析

1．【答案】1个或无数个

【解析】设平面外一点为，平面内一点为，对是否与平面垂直分类讨论，即可求出结论.

详解：设平面外一点为，平面内一点为，

若，则过任一平面都垂直，

所以过存在无数个平面与平面垂直；

若不垂直，过点作唯一的直线与平面垂直，

与确定唯一的平面与垂直，

所以过存在唯一的平面与平面垂直.

故答案为：1个或无数个.

【点睛】

本题考查直线与平面的位置关系，考查直线与平面垂直的性质．平面和平面垂直的判定，考查直观想象能力，属于中档题.

2．【答案】

【解析】过点作，交于，作，交于，过作平面，交平面于，连结，，则，从而，由此能求出到平面的距离．

详解：解：，为平面外一点，，

点到两边，的距离均为，

过点作，交于，作，交于，

过作平面，交平面于，

连结，，则，

由题意得，

．

到平面的距离为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线．线面．面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

3．【答案】2

【解析】连接交于点，连接，先由线面垂直的性质定理可知，再结合线面垂直的判定定理得面，从而有．结合为等腰△以及，可推出也为等腰△，，于是，最后根据线面平行的性质定理可证得，，从而得解．

详解：如图所示，连接交于点，连接，

平面，面，，

，，．面，面，

面，．

，，，，

又，，为等腰直角三角形，，

．

平面，面，且平面平面，

，

．

故答案为：2.

【点睛】

本题考查空间中线与面的位置关系，熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感．逻辑推理能力能力和运算能力，属于中档题．

4．【答案】

【解析】分析：设的中心为，得平面，连接．，分别取．的中点，，得平面，平面，连接，即为所求解，由正弦定理求得，再由面积公式可得答案.

详解：

由已知为正三棱锥，设的中心为，则平面，

连接．，分别取．的中点，，连接，，

则，，所以平面，平面，

连接，

即在平面的正投影为，

因为正方体棱长为，所以，

，，

所以，，

，

点的轨迹所组成的图形的面积为，

故答案为：.

【点睛】

根据图形特征转化为正投影,确定轨迹的图形是解题的关键，考查了学生的空间想象能力和计算能力.

5．【答案】     

【解析】先由题意求出，取的中点为，连接，求出，利用面面垂直的性质定理求出平面，平面，得，取的中点为，连接，则就是外接球的半径，代入即可求出结果.

详解：因为，，

，

，

得，

故，

取的中点为，连接，

，

，

则，

又平面平面，

平面；

，

平面平面，

且平面平面，

而，

平面，

得，

取的中点为，连接，

就是外接球的半径，

则三棱锥的体积为；

外接球的表面积为.

故答案为：；.

【点睛】

本题主要考查了利用面面垂直的性质定理得线面垂直，求三棱锥的体积公式以及求球的表面积公式.属于中档题.

6．【答案】

【解析】根据题意以及面面垂直的性质定理可得平面，可得，再由，根据线面垂直的判定定理可得平面，得，取中点，即为外接球的球心，进而求出半径，利用球的表面积公式即可求解.

详解：如图，由，，，

得，则，

又平面平面，且平面平面，

∴平面，

则，又，，

∴，则，

∴平面，得，取中点，

则为三棱锥的外接球的球心，

则外接球的半径．

∴球的表面积为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了面面垂直的性质定理．线面垂直的判定定理以及球的表面积公式，考查了多面体的外接球问题，综合性比较强，属于中档题.

7．【答案】

【解析】直线与动点的位置关系是：点是以为直径的球面上的点，到的距离为四面体上以为直径的球面上的点到的距离，点到的最大距离为到球心的距离（即与的公垂线）与球的半径之和，由此能求出到点的距离的最大值．

详解：解：由题意，直线与动点的位置关系是：

点是以为直径的球面上的点，

∴到的距离为四面体上以为直径的球面上的点到的距离，

分别取．中点．，连接，，

则，

，

点到的最大距离为到球心的距离（即与的公垂线）与球的半径之和，

到的距离的最大值为：，

到点的距离的最大值为：

，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查点．线．面间的距离计算问题，考查分析问题解答问题的能力．运算求解能力，属于难题．

8．【答案】

【解析】过点构造一个平面，使之与直线垂直，则平面与正方体的表面的交线为动点的轨迹，则可得到答案.

详解：过构造一个平面，使得,当点在平面与正方体的表面的交线上时，就有成立.

连接，则在正方体中E．F分别为棱．的中点.

则.

在侧面内过点作,交于点.

则平面就是需要的平面.

则平面截正方体得到截面为矩形.如图

则动点的轨迹为矩形的四条边组成的图形.

，则.

所以

所以，则

.

所以矩形的周长为:

故答案为：

【点睛】

本题考查满足条件的动点的轨迹的探索，考查线面垂直，属于中档题.

9．【答案】

【解析】要使三棱锥的体积最大，则平面平面，且在底面上的射影为中点，利用已知条件求出三棱锥的高，再由棱锥体积公式求解即可．

详解：解：如图，在三角形中，由，，，

得，

要使三棱锥的体积最大，则平面平面，且在底面上的射影为中点，

连接并延长，交三棱锥的外接球于，则为球的直径，

设，则，解得（舍或．

三棱锥的体积的最大值为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题.

10．【答案】

【解析】根据条件可得为等边三角形，为等腰三角形，然后算出三角形PBC的外接圆的直径，可得出四面体的外接球的半径，然后算出答案即可.

详解：由题意，已知平面PBC，，，

，又PB．平面PBC，所以，，

所以，由勾股定理得：，，

所以，为等边三角形，为等腰三角形，

等边三角形PBC的外接圆的直径为，

所以四面体的外接球直径，

所以，

则四面体的外接球表面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查的是几何体的外接球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

11．【答案】

【解析】将三棱锥外接球转化成正方体的外接球，再求解即可．

详解：如图所示：三棱锥，为正方体所截得的三棱锥

所以三棱锥的外接球，即为正方体的外接球，则其外接球半径为

所以外接球的体积为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的体积求法，以及利用正方体的体对角线等于外接球的直径，同时考查了转化思想．

12．【答案】     

【解析】过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线，则球心在该直线上，可得，然后即可求出球的半径，若是的中点，，重合，过点作球的截面，则截面面积最小时是与垂直的面，即是三角形的外接圆，然后算出答案即可.

详解：

如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形，所以底面外接圆的半径，

过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线，则球心在该直线上，可得，

连接，设外接球的半径为，所以，解得．

若是的中点，，重合，过点作球的截面，

则截面面积最小时是与垂直的面，即是三角形的外接圆，

而三角形的外接圆半径是斜边的一半，即2，所以截面面积为．

故答案为：，

【点睛】

几何体的外接球球心一定在过底面多边形的外心作垂直于底面的直线上.

13．【答案】   

【解析】取的中点分别为连结可得点的运动轨迹为梯形,可求当点在上时,点为的中点,利用勾股定理可求,由于梯形为等腰梯形,可求其面积,即可求得答案.

详解：取的中点分别为,连结

四点共面,且四边形为梯形，

面

点在正方体表面上移动

点的运动轨迹为梯形

如图所示：

正方体的边长为，

当点在上时,点为的中点,

又,

梯形为等腰梯形

等腰梯形高为

故答案为:, 点和满足条件的所有点构成的平面图形的面积为:.

【点睛】

本题主要考查了求正方体中两点距离和正方体中的四边形面积,解题关键是掌握正方体的特征和动点面积求法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.

14．【答案】

【解析】根据题意，Q点在一个过BD，且与直线AC垂直的平面内，且Q点的轨迹是该平面内与平面PBC的交线段的长度.据此进行求解.

详解：根据题意，连接AC，BD，记其交点为O，取PC上一点为M，连接MB，MD，作图如下：

若满足题意，又，故平面DBQ，

则点Q只要在平面DBQ与平面PBC的交线上即可.

假设如图所示：平面DBM与平面DBQ是同一个平面，

则Q点的轨迹就是线段BM.

根据假设，此时直线平面DBM，则.

故三角形MOC为直角三角形.

因为三角形PAD是等边三角形，三角形BAD也是等边三角形，

故AD，又因为BC//AD，故BCPB，

故三角形PBC为直角三角形，故

故在三角形PAC中，

由余弦定理可得：

故在直角三角形MOC中，

在直角三角形PBC中，

=

在三角形BCM中：

故可得：.

故答案为.

【点睛】

本题综合考查立体几何知识，其中的难点在于如何找到动点的轨迹；本题中利用作直线的垂面找到了动点的轨迹，这是常考的知识点.本题属立体几何综合性难题.

15．【答案】

【解析】取正的外心为，过作平面的垂线，在上取点，使得，即得是三棱锥外接球球心，求出球半径可得体积．

详解：如图，是外心，延长线与交于点，是中点，过作平面，取，

∵平面ABC，∴，到的距离相等，∴是三棱锥外接球球心，

，，∴，

所以．

故答案为：．

【点睛】

本题考查求球的体积，解题关键是作出外接球球心．三棱锥外接球球心在过各面中点且与面垂直的直线上．