北师大版 (2019)必修 第二册5.1 直线与平面垂直巩固练习

【精品】5.1 直线与平面垂直-3课时练习

一．填空题

1．在正方体中,给出下列结论:①;②;③与所成的角为;④与所成的角为.其中所有正确结论的序号为______.

2．如图，在正三棱锥中，，为棱的中点，若的面积为，则三棱锥的体积为______.

3．已知正四棱锥中，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面，平面与截面PAC交线段的长度为2，则平面与正四棱椎表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________.（请将可能的结果序号填到横线上）①2；②；③3； ④.

4．如图，M？N分别是边长为1的正方形ABCD的边BC？CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，有以下结论:

①异面直线AC与BD所成的角为定值.

②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.

③存在某个位置，使得直线MN与平面ABC所成的角为45°.

④三棱锥M-ACN体积的最大值为.

以上所有正确结论的序号是__________.

5．在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，为斜边上的高，，，现将沿翻折，使得四面体为一个鳖臑，则直线与平面所成角的余弦值是______.

6．如图所示，，分别在平面和平面内，在与的交线l上取线段，，，，，，则与所成的角为______：二面角的大小为______.

7．如图，正方体，点是的中点，点是底面的中心，是上的任意一点，则直线与所成的角大小为__________.

8．如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，为等腰直角三角形，，，，则异面直线AB与所成角的余弦值为_______.

9．在三棱锥中，，，为的中点，平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为______.

10．已知直角，，，，分别是的中点，将沿直线翻折至，形成四棱锥.则在翻折过程中，①；②；③；④平面平面.不可能成立的结论是__________.

11．二面角的大小是，线段，，与所成的角，则与平面所成的角的正弦值是__________．

12．若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面ABC，，，且三棱锥的体积为，则球O的体积为________.

13．已知的顶点平面,点B,C在平面异侧,且,,若,与所成的角分别为,,则线段长度的取值范围为______.

14．如图，在三棱锥中，，，，，分别是，的中点.若用一个与直线垂直的平面去截该三棱锥，与棱，，，分别交于，，，四点，则四边形面积的最大值为______.

15．棱长为1的正方体中，为的中点，点为侧面内一动点（含边界），若动点始终满足，则动点的轨迹的长度为_________

参考答案与试题解析

1．【答案】①③

【解析】①通过异面直线垂直判断正确性；②通过异面直线所成角判断正确性；③通过异面直线所成角判断正确性；④通过异面直线所成角判断正确性.

【详解】

①，由于，所以，结论成立.

②，由于，所以是异面直线所成的角.在中，，所以不是直角，所以②错误.

③，由于，所以是异面直线与所成的角，而三角形是等边三角形，所以为，所以③正确.

④，在三角形中，，但，所以不是等腰直角三角形，所以与所成的角不为，故④错误.

故答案为：①③

【点睛】

本小题主要考查异面直线所成角的大小的判断，考查异面直线垂直的判断，考查空间想象能力，属于基础题.

2．【答案】

【解析】设，先由的面积为建立方程求出，然后因为平面，所以

【详解】

设，因为三棱锥是正三棱锥，且

所以和都是边长为的等边三角形

因为为棱的中点，所以

所以，解得

因为

所以平面

所以

故答案为：

【点睛】

正三棱锥是比较特殊的图形，发现，可以简化运算.

3．【答案】①③

【解析】设，因为为正四棱锥，易知平面，过M作∥分别交棱．于点T．L，则平面，由题意，只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案.

详解：设，因为为正四棱锥，易知平面平面，又

，平面平面，平面，所以平面，

过M作∥分别交棱．于点T．L，则平面，由题意，

只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可，

又是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过M作∥分别交棱

．于点E．Q，所以，即，所以，

如图1，则平面为满足题意的平面，因为，所以，所以

，所以，故①正确；

如图2，过T作∥，过L作∥，易知平面为满足题意的平面，

且为两个全等的直角梯形，易知T．H分别为GE．EF的中点，所以，

所以五边形的面积，

故③正确.当∥与∥是完全相同的，所以，综上选①③.

故答案为：①③

【点睛】

本题空间立体几何中的截面问题，考查学生空间想象能力，数形结合的思想，是一道有一定难度的题.

4．【答案】①③④

【解析】试题分析：设中点，连接，，得到平面，从而可证①正确；假设，从而得到平面，与已知矛盾，从而证明②错误，根据，得到与平面所成的角等于与平面所成的角，即，根据的范围，从而证明③正确；，从而得到体积最大的情况，求出最大值，可得④正确.

【详解】

设中点，连接，，

正方形，，，

所以，，

平面，，

所以平面，

而平面，所以，

即异面直线与所成的角为定值.

故①正确.

若，而，平面，

所以平面，

而平面，所以，

而中，，

所以不可能为直角，故假设错误，

所以②错误.

因为？分别是？的中点，所以，

所以与平面所成的角等于与平面所成的角，

在平面的射影在上，

所以是与平面所成的角，

而，所以一定存在某个位置满足，

即存在某个位置，使得直线MN与平面所成的角为45°.

故③正确；

，底面，

所以当平面平面时，到平面的距离最大，

此时三棱锥的体积最大，

，

所以此时，

故④正确.

故答案为：①③④

【点睛】

本题考查证明异面直线垂直，求线面角，等体积转化求三棱锥的体积，属于中档题.

5．【答案】

【解析】作于交于,可证明平面,则即为与平面的夹角.根据线段关系即可求解.

【详解】

作于交于

因为

且

所以平面

而平面

所以平面平面

又因为平面平面,且

所以平面

则即为与平面的夹角

因为直角中,,

所以

则

所以

在直角三角形中,

故答案为:

【点睛】

本题考查了空间几何体中直线与平面的夹角求法,直线与平面垂直关系的判定,对空间想象能力和计算能力要求较高,属于中档题.

6．【答案】     

【解析】作出图形，由异面直线所成角及二面角的定义直接可以得解.

【详解】

解：如图，在平面内过点A作，且，又，则为矩形，连接，，

∵，

∴，

又，，平面，平面，

∴平面，

∴，

∴，，即，则与所成的角为：

又，则，又，为二面角的平面角，

又，则.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查二面角的计算，属于中档题.

7．【答案】90°

【解析】是动直线，因此猜想这个角可能是90°，为此证明平面，把平面在正方体中补全(如图)，即可证．

【详解】

如图，分别取的中点，连接，显然，，∴共面，

∵平面，平面，∴，

在正方形中，易得，∴，

∴，∴，

又，∴平面，，则平面，

∴，

∴直线与所成的角为90°．

故答案为：90°．

【点睛】

本题考查求异面直线所成的角，考查证明线面垂直．掌握线面垂直的判定定理是解题关键．

8．【答案】

【解析】由于，所以或其补角为异面直线AB与所成的角，取AC的中点D，再结合已知可得，再.取的中点E，可证得，从而可求出，在中利用余弦定理可得的余弦值，也可建空间直角坐标系，利用空间向量求解.

详解：解法一：在三棱柱中，，所以或其补角为异面直线AB与所成的角.取AC的中点D，连接，BD，因为为等腰直角三角形，D是AC的中点，所以，又，所以.因为四边形为菱形，，所以，.在中，，，，所以，即.又，所以平面ABC.取的中点E，连接，CE，易知，，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面ABC，即平面，又平面，所以.连接，在中，，，所以，在中，，，，由余弦定理得，所以异面直线AB与所成角的余弦值为.

解法二：取AC的中点D，连接，BD，因为为等腰直角三角形，，D是AC的中点，所以，.又四边形为菱形，，所以，.在中，，，，所以，即.又，所以平面ABC，所以以D为坐标原点，以DB，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以异面直线AB与所成角的余弦值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，考查考生的运算求解能力．逻辑思维能力和空间想象能力，属于中档题.

9．【答案】

【解析】结合立体图形，找出球心的位置建立等量关系求解方程组，即可得解.

【详解】

在中，，，

所以的外接圆的半径，

结合图形分析：

圆心到点的距离为4.另设三棱锥的外接球球心到平面的距离为，设外接球的半径为，

则中，，

直角梯形中，，

解得，，所以.

故答案为：

【点睛】

此题考查与锥体有关的解决锥体外接球的问题，关键在于熟练掌握球的几何特征，建立等量关系求解半径.

10．【答案】①②④

【解析】，在中求解，根据条件可证平面，进而有，，根据边的关系，可得出，①不成立；，判断②不成立；当时，可得出，③可能成立；作出平面与平面的交线，进而求出二面角的平面角，并判断平面角不为直角，所以④不成立.

【详解】

如图所示：

①易知，∵，，

，∴平面，

∴平面，，∵，

∴，∴①不成立；

②由，∴与所成角为，∴②不成立；

③当时，可得平面，

∴，即③可能成立；

④平面和平面交于点，

由线面平行性质定理可知两个平面的交线，

，就是两个平面所成的平面角，

又∵，∴为锐角，∴④不成立.

综上所述，不成立的有①②④.

故答案为:①②④.

【点睛】

本题以平面图形翻折为背景，考查空间角的大小关系．线面垂直．面面垂直的判断，要注意翻折前后的不变量，垂直间的相互转化，属于较难题.

11．【答案】

【解析】

过点作平面的垂线，垂足为，在内作，垂足为，连接，

则即是二面角的平面角，

∴，

设，则，，，，

∴．

即与平面所成角的正弦值是．

12．【答案】

【解析】根据几何体特征补图成长方体，长方体的体对角线就是该锥体外接球的直径，即可求得体积.

【详解】

平面ABC，，，且三棱锥的体积为，

即，解得，

由题可得两两互相垂直，

对几何体补图成如图所示的长方体，不共面的四点确定一个球，

所以长方体与三棱锥有同一个外接球，球的直径为长方体体对角线长，

即，

所以外接球半径为，

体积.

故答案为：

【点睛】

此题考查求三棱锥外接球的体积，关键在于准确求出外接球的半径，解决此类问题，多做积累，特殊几何体常见的处理办法.

13．【答案】

【解析】由题意画出图形，分别过作底面的垂线，垂足分别为，，

根据可知，线段长度的最大值或最小值取决于的长度，而，即可分别求出的最小值与最大值．

【详解】

如图所示：

分别过作底面的垂线，垂足分别为，．

由已知可得，，，，．

∵， 而，

∴当，所在平面与垂直，且在底面上的射影，，在点同侧时，长度最小，此时，最小为；

当，所在平面与垂直，且在底面上的射影，，在点异侧时，长度最大，此时，最大为．

∴线段长度的取值范围为．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查直线与平面所成的角的定义以及应用，向量数量积的应用，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．

14．【答案】

【解析】把三棱锥放置在长方体中，由已知可得四边形MNPQ为平行四边形，再由平行线截线段成比例，可得,求出PN与PQ所成角，代入三角形面积公式，再由基本不等式求最值.

详解：把三棱锥放置在长方体中,如图，

分别是,的中点,且平面，

可知，则四边形为平行四边形，

再由平行线截线段成比例知，

，且，

所以

可得，

因为长方体侧面DC的长宽分别为，

所以长方形对角线长为2，

由正三角形可知侧面两条对角线所成锐角为60°,

又

则，

，

当且仅当时等号成立，

四边形面积的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了空间中直线与直线．直线与平面位置关系的应用，考查“分割补形法，利用基本不等式求最值，属于中档题.

15．【答案】

【解析】如图，取的中点，.先找到一个平面总是保持与垂直，即面，又点在侧面及其边界上运动，并且总是保持与垂直，得到点的轨迹为面与面的交线段，结合平面的基本性质知这两个平面的交线是.

详解：

先找到一个平面总是保持与垂直，取的中点，.连接，，，

在正方体中，有面，又点在侧面及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点的轨迹为面与面的交线段.

在直角三角形中，，

故答案为：

【点睛】

本题考查线面垂直的定义及判定定理，考查数形结合思想，属于中等题型