北师大版 (2019)必修 第二册5.1 直线与平面垂直当堂检测题

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册5.1 直线与平面垂直当堂检测题，共23页。试卷主要包含了《九章算术》是中国古代张苍等内容，欢迎下载使用。
【精挑】5.1 直线与平面垂直-2同步练习一．填空题1．如图，三棱锥中，平面平面，，若，则该三棱锥的体积的最大值为____________.2．正四棱锥底面边长为，高为，是边的中点，动点在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为_______．3．三棱锥的三条侧棱两两垂直，长分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为_____.4．在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，平面平面，点是内的一个动点（含边界），且满足，则点所形成的轨迹长度是__．5．已知平面平面，直线，且不是平面，的交线.给出下列结论：①平面内一定存在直线平行于平面；②平面内一定存在直线垂直于平面；③平面内一定存在直线与直线平行；④平面内一定存在直线与直线异面.其中所有正确结论的序号是__________________________.6．《九章算术》是中国古代张苍．耿寿昌所撰写的一部数学专著.是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，现有一个羡除如图所示，已知上底面是高为2的等腰梯形，右侧面是高为1的等腰梯形，下底面是梯形，前．后侧面均为三角形.，，，，且平面平面，则该“羡除”的表面积为________.7．如图，在中，，平面，垂直平分，且分别交，于点，，又，，则二面角的大小为_______________.8．设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是（    ）A． B． C． D．9．如图，在中，，，，将绕边翻转至，使面面，是的中点，设是线段上的动点，则当与所成角取得最小值时，线段的长度为______.10．已知是边长为4的等边三角形，，分别是，的中点，将沿折起，使平面平面，则四棱锥外接球的表面积为________，若为四棱锥外接球表面上一点，则点到平面的最大距离为________.11．空间四边形ABCD的两条对角线AC．BD所成角为，设，，则过AB的中点E且平行于BD．AC的截面四边形的面积为__________.12．如图，已知正四面体的棱长为2，是棱上一动点，若于，则线段的长度的最小值是______13．已知球的直径，，是该球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值是______.14．如图，在矩形（图（1））中，，，点，分别在，上，且，以为折痕，把四边形折起后与平面垂直（图（2）），则几何体的外接球的表面积等于______.15．在正三棱锥中，M是SC的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为_______________.
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】利用余弦定理以及三角形的面积公式求出的面积，再以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设出点，由，利用两点间的距离公式求出的最大值，由棱锥的体积公式即可求解.详解：在中，由，，设，则，由余弦定理可得，解得，所以，过作，垂足为，因为平面平面，所以平面，即为三棱锥的高，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，设，由，则，整理可得，当时，取得最大值，所以三棱锥的体积的最大值为，故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理解三角形．锥体的体积公式，属于中档题.2．【答案】【解析】取，的中点，， 根据三角形中位线．面面平面的判定定理．线面垂直的判定定理，可以证明出平面，这样可以确定动点在四棱锥表面上运动的轨迹为△，然后求出周长即可.详解：如图所示，取，的中点，，则，，由线面判定定理可知：平面，平面，而，所以平面平面，设是底面正方形的中心，所以正四棱锥的高为，则，则有，而，所以平面，所以平面，因为，所以有，则动点在四棱锥表面上运动的轨迹为△，，，则动点的轨迹的周长为．故答案为：【点睛】本题考查了立体几何中轨迹问题，考查了线面垂直的判定定理．面面平行的判定定理，考查了推理认证能力和空间想象能力.3．【答案】【解析】根据三条侧棱两两垂直的关系可得到底面面积和三棱锥的高，由三棱锥体积公式可求得结果.详解：不妨设，，，且两两互相垂直，，又，，平面，，平面，.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥体积的求解问题，属于基础题.4．【答案】【解析】利用已知条件，通过直线与平面垂直，推出的轨迹，利用转化思想，求解距离即可．详解：根据题意，连接，，两直线交于点，取上一点，连接，，如图：若满足题意，又，故平面，则点只要在平面与平面的交线上即可，假设如图所示，平面与平面是同一个平面，则点的轨迹就是线段，根据假设，此时直线平面，则，又三角形是等腰直角三角形，设N为AC的中点，三角形是等边三角形，所以，所以平面，所以，又因为，故，故三角形为直角三角形，故，在三角形中，，，，由余弦定理可得：，在菱形中，，故在直角三角形中，，在三角形中，，故，故得．故答案为：【点睛】本题考查空间图形的应用，涉及直线与平面的位置关系，轨迹长度的求解，是难题．5．【答案】①②④【解析】利用直线与直线的位置关系．直线与平面的位置关系即可求解.详解：平面平面，直线，且不是平面，的交线，根据直线与直线的位置关系，如图：故①正确；根据面面垂直的性质定理由图可知②正确；若与两平面的交线相交，则平面内不存在直线与直线平行，则③错误；由图可知④正确；故答案为：①②④【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系．直线与平面的位置关系．面面垂直的性质定理等基础知识；考查空间想象能力．逻辑推理能力，属于基础题.6．【答案】【解析】分别取的中点，连接，由已知条件可得，从而求出，再在三个等腰梯形中分别求出的长，从而可求出的面积，再求出三个等腰梯形的面积即可得答案.详解：解：分别取的中点，连接，则由题意可知，分别是等腰梯形，，的高，则 ，因为平面平面，，所以，所以，因为四边形，，均为等腰梯形，，，，，所以，所以，梯形的面积为梯形的面积为梯形的面积为所以该“羡除”的表面积为，故答案为：【点睛】此题考查了求几何体的表面积，面面垂直的性质，等腰梯形和等腰三角形面积的求法，属于基础题.7．【答案】60°【解析】首先证得是二面角的平面角，解直角三角形求得的大小.【详解】由于，是的中点，所以，由于，所以平面，所以.由于平面，所以，而，所以平面，所以，所以是二面角的平面角.设，则，所以，所以在中，，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.8．【答案】D【解析】【分析】由等体积法有,可求出答案.【详解】设点到平面的距离是,由等体积法有,有所以，解得：故选：D9．【答案】.【解析】取中点,连接可知与所成角即为与所成角,再根据线面垂直的性质分析所成角取得最小值时的位置再计算即可.【详解】取中点,连接可知与所成角即为与所成角,再连接.根据线面相交的性质可知,的最小值当且仅当为直线与平面的线面角时取得.又,,,故.故,故.又面面且交于,故平面,故.故当时有平面,此时为直线与平面的线面角.即当与所成角取得最小值时.又.故.又,故.故,.故此时.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据空间中夹角的最值问题求解线段长度的问题,需要分析到当角度取最小值时的线面垂直关系,再利用平面几何中的解三角形知识求解边角关系.属于难题.10．【答案】      【解析】由题意画出图形，找出四棱锥外接球的球心，利用勾股定理求半径，代入球的表面积公式求球的表面积，再由球的对称性可知，球表面上的点到平面距离的最大值为半径加球心到面的距离.详解：解：如图，取的中点，连接，交于，可知，则为等腰梯形的外接圆的圆心，过作平面的垂线，再过折起后的的外心作平面的垂线，设两垂线的交点为，则为四棱锥外接球的球心，因为的边长为2，所以，所以四棱锥外接球的半径,所以四棱锥外接球的表面积为，由对称性可知，四棱锥外接球的表面上一点到平面的最大距离为：故答案为：；【点睛】此题考查空间中点．线在．面间的距离计算，考查空间想象能力，属于中档题.11．【答案】6【解析】作出截面四边形，再利用四边形的面积公式，即可得答案；详解：取BC,CD,AD的中点M,N,P，连结EM,MN，NP，EP，，则平行四边形为所求截面，或为异面直线AC与BD所成的角，或，，因为，，截面四边形MNPE的面积，故答案为：6.【点睛】本题考查空间中截面的面积．异面直线所成的角，考查空间想象能力．运算求解能力.12．【答案】【解析】取的中点为，取的中点为，连接，在上取一点，使得，取的中点为，连接，则平面，则点在以点为球心．为直径的球面上，且轨迹是以点为圆心的一段圆弧，结合几何知识即可求出答案．详解：解：∵，∴点在以为直径的球面上，取的中点为，∵点在中，由于一个平面截一个球所得的是一个圆面，∴点的轨迹为一段圆弧，取的中点为，连接，在上取一点，使得，在等边中，易得点为的中心，∴在正四面体中，易得平面，取的中点为，连接，则，则平面，由于一个平面截一个球所得的是一个圆面，且球心与这个圆的圆心所在直线与该平面垂直，∴点的轨迹是以点为圆心的一段圆弧，又，∴球的半径为，在中，，，∴，则，∴，∴，∴圆的半径，而，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查几何体外接球问题，考查直观想象能力，考查数形结合思想，属于难题．13．【答案】2【解析】由题意画出图形，可知要使 的体积最大，则面⊥面，求出A到平面BCD的距离，则三棱锥A-BCD的体积最大值可求．详解：因为球的直径，且，所以，，（其中为点到底面的距离），故当最大时，的体积最大，即当面面时，最大且满足，即，此时.【点睛】本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．14．【答案】【解析】找到外接球球心的位置，计算出外接球的半径详解：依题意可知：四边形是边长为的正方形，四边形是长为，宽为的矩形.依题意可知：平面平面.设正方形．矩形的对角线交点分别为，过作平面，过作平面，，则是几何体外接球球心.设是线段中点，连接，,则为矩形，，，所以几何体外接球的半径.所以几何体外接球的表面积等于.故答案为：【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.15．【答案】【解析】取中点，连接；根据等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得平面，从而得到；根据线面垂直的判定定理知平面，根据线面垂直性质知，；由正三棱锥的结构特征知两两互相垂直，从而可将所求外接球转化为正方体的外接球；根据正方体外接球半径为体对角线的一半可求得半径，进而得到所求表面积.详解：取中点，连接，三棱锥为正三棱锥    ，    ，，平面，    平面，平面    ，又，平面，    平面，平面    ，，由正棱锥侧面全等可知：，即两两互相垂直，可将三棱锥放入如下图所示的正方体中，其中，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球，    正方体外接球半径：，所求外接球的表面积：，故答案为：【点睛】本题考查几何体外接球表面积的求解问题，关键是能够根据线面垂直的关系找到三条棱两两互相垂直的关系，从而将问题转化为正方体外接球表面积的求解问题，属于中档题.