高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.1 空间图形基本位置关系的认识当堂达标检测题

【精编】3.1 空间图形基本位置关系的认识-1练习

一．填空题

1．在三棱柱中，平面，四边形是正方形，且，E在棱 上，且，则异面直线与BE所成角的余弦值为________．

2．在空间四边形中，分别是中点，且又，则与所成角的大小为____________.

3．m与n是异面直线，，，则a与b的位置关系是______．

4．在正方体的所有棱中，若任取其中两条，则它们所在的直线是异面直线的概率为________．

5．在棱长为2的正方体中，点P是棱的中点，点Q是底面上的动点，且，则下列说法正确的是________．

①与所成角的大小为；②四面体的体积为定值；

③的面积有最小值；④平面截正方体所得截面面积为定值．

6．关于直线m，n与平面，，有以下四个命题：

①若，且，则；②若，且，则；

③若，且，则；④若，且，则．

其中真命题的序号是______ ．

7．已知正方体棱长为1，则直线与直线的距离为___________.

8．设分别是空间四边形的边的中点，若，则四边形的形状是_________.

9．如图，圆柱的体积为，正方形为该圆柱的轴截面，为的中点，为母线的中点，则异面直线，所成的角的余弦值为______．

10．在四面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．

11．如图所示，在正方体中，点是棱的中点，动点在体对角线上（点与点，不重合），则平面可能经过该正方体的顶点是___________.（写出满足条件的除点以外的所有顶点）

12．设m？n是两条不同的直线，α？β是两个不同的平面，则下面四个命题中正确的是___________；

①若m⊥n，m⊥α，nα，则nα；

②若mα，α⊥β，则m⊥β；

③若m⊥β，α⊥β，则mα；

④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β；

13．已知异面直线a，b所成角为70°，过空间定点P与a，b成55°角的直线共有____________条．

14．在空间四边形中，，？分别是对角线？的中点，若异面直线？所成角的大小为，则的长为___________.

15．给出下列说法：

①若直线平行于平面内的无数条直线，则；

②若直线在平面外，则；

③若空间中三条直线满足，则直线与一定垂直；

④垂直于同一直线的两条直线平行

其中正确说法的是__________

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：先证明，则（或补角） 为异面直线与BE所成的角，利用余弦定理求的余弦值即可.

详解：如图，取的四等分点F（点F靠近），

连接EF，BF．

∵，∴,∴，

则（或其补角）为异面直线与BE所成的角．

设，∵四边形是正方形，则.

∵平面，∴，∴，

而四边形是正方形，∴，

又,∴面,∴.

在直角三角形EFA1中，,

.

过F作FG⊥于G,连结BG,则,

∴，

在三角形BEF中，由余弦定理得：，

即异面直线与BE所成角的余弦值为.

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

2．【答案】

【解析】分析：将平移到一起，利用勾股定理求得线线角为.

详解：解：取中点，连接，

中，分别为的中点，

且，

同理可得且，

与所成的直角或锐角就是异面直线与所成角，

中，，

，得

即异面直线与所成角等于，

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：平移法是立体几何中求线线角的常用方法之一，平移时通常结合三角形中位线定理把欲求的角平移到一个三角形中，然后再解三角形即可.

3．【答案】异面或相交

【解析】分析：以正方体为载体，列出所有情况，即可写出答案.

详解：在正方体中，取，此时m与n是异面直线，

当时，a与b的位置关系是相交；

当时，a与b的位置关系是异面.

故答案为：异面或相交.

4．【答案】

【解析】分析：根据正方体的性质判断每条棱对应的异面棱的条数，即可确定任取其中两条是异面直线的概率.

详解：正方体中共有12条棱，每条棱在余下的11条棱中与其中4条异面，

∴任选两条棱是异面直线的概率为.

故答案为：

5．【答案】②③④

【解析】分析：由已知先确定点在线段（为中点），取中点，结合正方体中的平行关系，可得与所成的角即为（或补角），通过解，可判断①；再由点到平面的距离为，可求出四面体的体积，可判断②；面积最小只需最小，求出的最小值，即可判断③；平面截正方体即为平面截正方体，即可判定④.

详解：解：在正方体中，

取的中点分别为M，N，连接，

则，所以四边形是平行四边形，

所以，又底面是正方形，

分别为中点，所以，

由，则点Q在线段上．

①由，与所成的角即为（或补角），

在中，，

，

所以，

，故①错误．

②，故②正确．

③当时．的面积最小，

此时，

故③正确

④平面截正方体即为平面截正方体，

所以截面面积为定值，故④正确．

故答案为：②③④

6．【答案】②③

【解析】分析：根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理，对四个结论逐一进行分析，可得到答案．

详解：解：若，且，则，可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；

若，且，则，一定垂直，故②正确；

若，且，则，一定垂直，故③正确；

若，且，则，可能相交？平行也可能异面，故④错误；

故答案为：②③．

7．【答案】1

【解析】分析：根据题意作出图形，取，的中点并连接，可证明为公垂线，由此根据的长度可求直线与直线的距离.

详解：连接，连接，连接，

由正方体的结构特点可知：平面，平面，

且平面，平面，

所以，

所以为的公垂线，

所以直线与直线的距离为，又，

所以直线与直线的距离为，

故答案为：.

8．【答案】矩形

【解析】分析：根据三角形中位线定理．结合平行四边形的判定方法．矩形的定义．平行线的性质进行求解即可.

详解：因为分别是空间四边形的边的中点，所以且，

因为分别是空间四边形的边的中点，所以且，

因此且，因此四边形是平行四边形，

因为分别是空间四边形的边的中点，所以，

因为，所以，因此平行四边形是矩形，

故答案为：矩形

9．【答案】

【解析】分析：由圆柱体积求得底面半径，母线长，设底面圆心为，可得为异面直线与所成的角（或其补角）．在对应三角形中求解可得．

详解：设圆柱底面半径为，则母线长为，由得．

设底面圆心为，连接，．则，所以为异面直线，

所成的角．

在中，，，．

所以．

故答案为：．

【点睛】

思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

10．【答案】

【解析】分析：将四面体补成长方体，易知，所以或其补角为异面直线与所成的角，然后求出长方体的各棱长，由余弦定理可得答案.

详解：如图，将四面体放入长方体中，

连接，交于点，易知，

所以或其补角为异面直线与所成的角．

设，，，

则，，，

得，，．

在中，，，

所以，

故异面直线与所成角的余弦值为．

故答案为：

11．【答案】，

【解析】分析：取中点E，取中点F, 在平面两侧，在平面两侧，分析即得解.

详解：

见上面左图，取中点E，因为ME,所以A,M,E,四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;

见上面右图，取中点F,因为,所以四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;

综上，平面可能经过该正方体的顶点是.

故答案为：.

12．【答案】①④

【解析】分析：利用线线，线面，面面的位置关系判断选项.

详解：①若m⊥n，m⊥α，nα，则nα，故①正确；

②若mα，α⊥β，则m⊥β，或，或与相交，但不垂直，故②不正确；

③若m⊥β，α⊥β，则mα或，故③不正确；

④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故④正确.

故答案为：①④

13．【答案】3

【解析】分析：根据条件先将直线平移至过点，然后根据直线所成角的角平分线以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的条数.

详解：将直线平移，使两直线经过点，如下图所示：

设直线所成角的角平分线为，过点垂直于直线所在平面的直线为，

因为所成角为，当直线经过点且直线在直线所在平面内且垂直于直线，

此时与直线所成角均为；

当直线在直线所在平面内时，若绕着点旋转，此时与直线所成角相等，

且所成角从变化到，再从变化到，所以此时满足条件的有条，

综上所述：过空间定点与成角的直线共有条，

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：已知异面直线所成角为，过空间任意一点作直线，使得与成等角：

（1）当时，此时不存在；

（2）当时，此时有一条；

（3）当，此时有两条；

（4）当时，此时有三条；

（5）当时，此时有四条.

14．【答案】

【解析】分析：取的中点，连接，利用三角形中位线定理可得∥,∥，由异面直线所成角的定义，异面直线，所成的角即为或其补角，在中，利用余弦定理求解即可

详解：解：取的中点，连接，

因为，？分别是对角线？的中点，

所以∥,∥，,

所以，异面直线，所成的角即为或其补角，

因为异面直线？所成角的大小为，

所以或，

当时，在中，由余弦定理可得

当时，在中，由余弦定理可得

综上，的长为，

故答案为：

15．【答案】③

【解析】分析：根据空间中线线．线面的位置关系逐一判断①②③④的正确性，即可得答案.

详解：对于①：若直线平行于平面内的任意一条直线，直线，若直线平行于平面内的无数条直线，则，，故①不正确；

对于②：若直线在平面外，则或与相交，故②不正确；

对于③：若，则直线与一定垂直，故③正确；

对于④：垂直于同一条直线的两条直线可以相交．平行．异面，故④不正确；

故答案为：③.