北师大版 (2019)必修 第二册3.1 空间图形基本位置关系的认识巩固练习

【优编】3.1 空间图形基本位置关系的认识-2练习

一．填空题

1．给出下列说法：

 ①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；

 ②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；

 ③有三个不同公共点的两个平面重合；

 ④两两相交且不过同一点的四条直线共面．

 其中正确说法的序号是______ ．

2．若三个不重合的平面两两相交，则交线有______条

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足______时，PC⊥平面BDM(只填写一个认为正确的条件即可)．

4．在直三棱柱中(侧棱与底面垂直的三棱柱)，，，四边形为正方形，M为中点，则直线与直线所成角的余弦值为___________.

5．如图，在中，，，，点为边上一个动点，将沿翻折，使得点到达的位置，且平面平面.当______时，取到最小值.

6．在空间，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的______条件．

7．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段？？和在原正方体中相互异面的有___________对

8．空间中三条直线两两垂直，若直线与直线所成角都为，则_______

9．已知在直四棱柱，，，，，则异面直线与所成角的大小为___________

10．如图，在正方体中，点分别是棱上的动点．给出下面四个命题

①直线与直线平行；

②若直线与直线共面，则直线与直线相交；

③直线到平面的距离为定值；

④直线与直线所成角的最大值是．

其中，真命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

11．正方体的平面展开图如图所示，则还原成正方体后，AB与CD所成角的大小为___________.

12．已知两条异面直线a．b所成角为，P是空间一点，过P作与a．b所成的角都是的直线，这样的直线共有______条．

13．在正方体中，，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值是_______．

14．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点？，且，则下列结论中正确的是___________.

（1）？？？四点共面

（2）

（3）三棱锥的体积为定值

（4）的面积与的面积相等

15．已知直线？，平面？，给出下列命题：

①若，，且，则；

②若，，且，则；

③若，，，则；

④若则；

其中正确的命题序号是___________

参考答案与试题解析

1．【答案】④

【解析】如图，在正方体中，，，但是 异面，故①错误.又交于点，但不共面，故②错误.如果两个平面有3个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误.如图，因为，故共面于，因为，故，故即，而，故，故即即共面，故④正确.

2．【答案】1或3

【解析】分析：首先，对平面内的三个平面的放置情形进行分类，然后，确定它们的交线的条数．

详解：解：当三个平面有公共的一条交线时，

显然满足题意，此时交线只有一条；

当该三个平面为三棱锥的三个侧面时，

此时，交线则有3条，

故答案为：1或3.

3．【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)

【解析】分析：根据题意可得BD⊥AC．根据线面垂直的性质定理，可得BD⊥PA．根据线面垂直的判定定理，即可得答案.

详解：连接BD，AC．

∵四边形ABCD各边都相等，即四边形ABCD为菱形，

∴BD⊥AC．又PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA．

∵PA∩AC＝A，

∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．

∴当DM⊥PC或BM⊥PC时，PC⊥平面BDM．

故答案为：（或）

4．【答案】

【解析】分析：取中点，连结，，可得或其补角为异面直线所成角，在中，计算可得结果.

详解：不妨设，因为，，所以，

取中点，连结，，所以，所以或其补角为异面直线所成角，

因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以，

因为，，所以平面，

所以，因为，

所以，

在中，，，所以，

则.

故答案为：

【点睛】

思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

5．【答案】

【解析】分析：设，，作交或的延长线于点，作交或的延长线于点，用表示各边长，即可求得，得出最值.

详解：设，，作交或的延长线于点，作交或的延长线于点，则.

∵，，，

，∴.

∵

，

∴当，即时，取最小值，此时平分.

在中，，，

由角平分线定理得，即，所以.

故答案为：.

6．【答案】必要非充分

【解析】分析：先判断与的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系．

详解：解：在空间中，两条直线没有公共点，这两条直线可能是异面直线，

即由“两条直线没有公共点”不能推知“这两条直线平行”；

反过来，由“两条直线平行”可知“这两条直线没有公共点”．

因此，在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件.

故答案为：必要非充分.

7．【答案】3

【解析】分析：还原正方体，标记出各点所处的位置，观察图象可得结果.

详解：如图，将各点在原图中标记出来，观察发现，在．．和四条线中，

相互异面的只有3对：和．和．和.

故答案为：3.

8．【答案】

【解析】分析：因三直线两两垂直，可以认为三直线就是正方体中同一顶点的三条棱，，，由此能够求出．

详解：因三直线两两垂直，可以认为三直线就是正方体中同一顶点的三条棱，，，如图：

直线与这三条直线所成的角都为，

，

从而．

故答案为：．

9．【答案】

【解析】分析：连接，则∥，所以为异面直线与所成角，然后在中求解即可

详解：解：连接，则∥，所以为异面直线与所成角，

因为在直四棱柱中，，，，

所以，，

因为，所以，

所以为等边三角形，所以，

所以异面直线与所成角的大小为，

故答案为：

10．【答案】B

【解析】如图1，当与重合时，与重合时，直线与直线是异面直线，故①错误．

如图2，当与重合时，与重合时，四边形为矩形，

故直线与直线平行，故②错误．

因为平面平面，而平面，故平面，

所以直线到平面的距离为定值（正方体的棱长），故③正确．

建立如图3所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则，，其中，

而，故， ，

设直线与直线所成角为，

则，

若直线与直线不平行，则，故，

故直线与直线所成角的最大值是，所以④正确．

故选：B．

11．【答案】

【解析】分析：还原几何体，利用平移直线即得异面直线所成的角．

详解：由题意还原几何体，连接CE,DE，所以AB与CD所成角即 CE与CD所成的角，

是正三角形，所以CE与CD所成的角为 ，即AB与CD所成角为．

故答案为：

12．【答案】2

【解析】分析：把异面直线，平移到相交，使交点为，此时，过点作直线平分，直线从向两边转到时与，所成角单调递增，必有经过，由此能求出结果．

详解：解：把异面直线，平移到相交，使交点为，

此时，

过点作直线平分，这时与，所成角为，

过点作直线垂直和，这时与，所成角为，

直线从向两边转到时与，所成角单调递增，必有经过，

由题意满足条件的直线有2条．

故答案为：2.

13．【答案】

【解析】分析：利用线线平行，将异面直线所成角转化为平面角，再利用余弦定理即可解出答案.

详解：如图所示：

在中，分别是，的中点，

所以为的中位线.

所以

所以异面直线与所成角为.

设正方体边长为,则，，.

所以.

故答案为：.

14．【答案】（2）（3）

【解析】分析：由正方体的性质以及异面直线的定义可判断（1）错误；由线面垂直的判定定理可证明平面，进而可判断，从而判断（2）正确；由到平面的距离为定值以及△BEF的面积为定值可判断（3）正确；A到B1D1的距离大于B到B1D1的距离可判断（4）错误.

详解：解：（1）由正方体的几何性质可知：与异面，又为线段上的两点，

则与异面，所以四点不共面，故（1）错误；

（2）因为为正方体，则，又，，

所以平面，平面，所以；故（2）正确；

（3）到平面的距离为，△BEF的面积为定值，

∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故（3）正确．

（4）B到B1D1的距离为BB1＝1，A到B1D1的距离大于上下底面中心的连线，

则A到B1D1的距离大于1，∴△AEF的面积大于△BEF的面积，故（4）错误；

故答案为：（2）（3）.

【点睛】

知识点点睛：（1）异面直线的定义：过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线；（2）判断三棱锥的体积是否为定值，可判断底面面积和顶点到底面的距离是否为定值；

15．【答案】①④

【解析】分析：①用平面与平面垂直的判定定理判断；②用运动思想寻找反例判断；③根据线面位置关系用运动思想寻找反例判断；④用直线与平面平行的判断定理判断．

详解：解：对于①，如图，在空间取点，在平面．外，在直线．外，

过作交于点，过作交于点，

设确定的平面为，，

为二面角的平面角；

，；，，

即为直线与的成角，

显然有，

所以四点．．．共圆，所以；

于是，所以①对；

对于②，，，且，此时与可能相交，未必，所以②错；

对于③，，，，此时与可能平行，未必，所以③错；

对于④，，，，，所以④对；

故答案为：①④．