高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理同步达标检测题

【精挑】3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理-1作业练习

一．填空题

1．在棱长均为的正三棱柱中，________.

2．自空间一点分别向70°二面角的两个平面引垂线，这两条直线所成的角的大小是_______.

3．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是______.

4．是一个平面，是两条直线，是一个点．若m？α，，且，，则的位置关系不可能是_________.

5．在正方体中，异面直线与所成的角等于_____．

6．直线和平面相交于点A,用集合符号表示_________.

7．平面外的直线与平面所成的角是，则的取值范围是______.

8．如图所示，在平面内，，斜边AB在二面角的棱l上，且AC与平面所成角为，BC与平面所成角为，则二面角的平面角大小为_______．

9．在正方体中，是中点，为中点，则直线与的位置关系是__________。

10．如图，已知三棱锥中，，，，则二面角的平面角的大小为______．

11．已知四面体为正四面体，，分别为的中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为________．

12．正方体中异面直线与所成角的大小为______.

13．如图，在棱长为2的正方体中，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上，若P为动点，Q为动点，则PQ的最小值为_____.

14．在底面是正方形的长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为             .

15．已知长方体中，，则直线与平面所成的角为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】首先画出正三棱柱，求出边长和，最后求面积.

【详解】

因为是正三棱柱，并且棱长都为1，

是腰长为，底边长为1的等腰三角形，

所以底边的高，

.

故答案为：

【点睛】

本题考查几何体中几何量的求法，意在考查空间想象能力，属于基础题型.

2．【答案】70°

【解析】画图分析求解即可.

【详解】

由图可得, 自空间一点分别向70°二面角的两个平面引垂线,两条直线所成的角的大小是.当该点在其他位置时也成立.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了空间中的角度问题.属于基础题型.

3．【答案】

【解析】根据三视图画出空间图形的直观图，取AD中点E，连接BE，PE，CE，将CD平移到BE，根据异面直线所成角的定义可知为异面直线PB与CD所成角，在直角三角形中，求出其正切值即可.

【详解】

作出直观图如图：

取AD中点E，连接BE，PE，CE，

因为CDBE，

根据异面直线所成角的定义可知为异面直线PB与CD所成角，

由条件知，，

.

【点睛】

本题主要考查了异面直线所成的角，空间图形的三视图，考查了空间想象能力．运算能力，属于中档题.

4．【答案】平行

【解析】

试题分析：由已知得n在平面上，m与平面相交，A是和平面相交的点，从而m和n异面或相交，一定不平行．

【详解】

∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，

m？α，n？α，

∴n在平面上，m与平面相交

∵A∈m．A∈

∴A是和平面相交的点

∴m和n异面或相交，一定不平行．

故答案为：平行．

【点睛】

本题考查两条直线的位置关系的判断，考查推理论证能力．运算求解能力．空间思维能力，考查转化化归思想．数形结合思想，是基础题．

5．【答案】

【解析】

连接。因为为正方体，所以，则是异面直线和所成角。可得为等边三角形，则，所以异面直线和所成角为

6．【答案】

【解析】由点．线．面位置关系的符号表示即可得解.

【详解】

由题意可得,

答案为：

【点睛】

本题考查直线与平面相交的符号表示,属于基础题,解题时注意符号的合理运用.

7．【答案】

【解析】根据直线在平面外包含：直线与平面相交．直线与平面平行，即可求解.

【详解】

直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交．直线与平面平行.当直线与平面相交时，，当直线与平面平行时，，所以的取值范围为 .

故答案为：

【点睛】

本题主要考查直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角的范围，属于基础题.

8．【答案】

【解析】过点作，交于，连结，，作，交于点，连结，则是二面角的平面角，由此能求出二面角的平面角大小．

【详解】

过点作，交于，连结，，作，交于点，连结，

则是二面角的平面角，

在平面内，，斜边在二面角的棱上，

与平面所成角为，与平面所成角为，

，，

设，则，，，，，

，，，

，

，

二面角的平面角大小为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查二面角的求法，考查空间中线线．线面．面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题．

9．【答案】相交

【解析】作出辅助图形，考虑与的长度和位置关系来确定直线与的位置关系.

【详解】

如图所示，连接，连接：

因为是中点，为中点，所以，又因为，所以，所以四点共面，

又因为，所以四边形为梯形，所以直线与相交.

故答案为：相交.

【点睛】

本题考查空间中的直线的位置关系的判断，难度较易.空间中的两条直线之间的位置关系可能有以下几种：平行．重合．相交．异面.

10．【答案】60°

【解析】取中点，由等腰三角形三线合一可知，；由二面角平面角定义可知为所求角，根据长度关系可知为等边三角形，从而得到结果.

【详解】

取中点，连接

，，为中点    ，

即为二面角的平面角

又，    为等边三角形

，即二面角的大小为

故答案为：

【点睛】

本题考查立体几何中二面角的求解问题，关键是能够根据二面角平面角的定义，利用垂直关系在图形中得到二面角的平面角.

11．【答案】

【解析】补成一个正方体，在正方体中可解决。

【详解】

补成正方体，如图，

，

截面为平行四边形，可得，

又，且，

，可得，

 当且仅当时取等号。

故答案为：

【点睛】

本题考查立体几何中的截取问题，同时也考查了用基本不等式求最值，属于综合性题目。

12．【答案】

【解析】由正方体的性质可以知道：,根据异面直线所成角的定义,可以知道就是异面直线与所成角,根据正方体的性质可以求出的大小.

【详解】

如图所示：连接,因为,所以就是异面直线与所成角,而

是正方体面的对角线,它们相等,故三角形是等边三角形,所以

,因此异面直线与所成角的大小为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了异面直线所成的角,掌握正方体的性质是解题的关键.

13．【答案】

【解析】建立空间直角坐标系，利用三点共线设出点P(λ，λ，2﹣λ)，0≤λ≤2，以及Q(0，2，μ)，0≤μ≤2，根据两点间的距离公式，以及配方法，即可求解.

【详解】

建立如图所示空间直角坐标系，设P(λ，λ，2﹣λ)，

Q(0，2，μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，

可得PQ=，

∵2(λ﹣1)2≥0，(2﹣λ﹣μ)2≥0，∴2(λ﹣1)2+(2﹣λ﹣μ)2+2≥2，

当且仅当λ﹣1=2﹣λ﹣μ=0时，等号成立，此时λ=μ=1，

∴当且仅当P？Q分别为AB？CD的中点时，

PQ的最小值为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查空间向量法求两点间的距离，将动点用坐标表示是解题的关键，考查配方法求最值，属于中档题.

14．【答案】

【解析】连接,且,为平行四边形,.或其补角即为直线与所成的角.令,则,.在中,.所以异面直线与所成角的余弦值为.

考点：1异面直线所成的角;2余弦定理.

15．【答案】

【解析】根据等体积法求出点到平面的距离，在直角三角中利用“对边比斜边”即可求解.

【详解】

设到平面的距离为，

在长方体中，，

则，，

在中，由余弦定理

，所以

 所以

因为，即，解得

设直线与平面所成的角为，则

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查立体几何中的线面角，解题的关键是找到线面所成角，放在三角形中求解，此题也可以建立空间直角坐标系，采用向量法.