数学必修 第二册第四章 三角恒等变换2 两角和与差的三角函数公式2.4 积化和差与和差化积公式练习

【特供】2.4 积化和差与和差化积公式-1随堂练习

一．填空题

1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为（7，5），OP绕点O逆时针方向旋转到OQ，则点Q的坐标为_______．

2．当函数取得最大值时，=__________．

3．若函数是奇函数，其中，则__________．

4．已知，则_______．

5．若，则_____

6．函数的最小值是________.

7．若，，，且，，则的值为______．

8．已知锐角满足，则（    ）

A． B． C． D．

9．已知，且，则_________.

10．在△中，角所对的边分别为，,，则______.

11．若是第三象限角,且则_______.

12．计算：=_______________.

13．已知，且是第一象限角，则________.

14．若2tanα=tan420°，则=__________．

15．若点在直线上，则=___________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】求出的表达式，设出点Q的坐标，根据OP绕点O逆时针方向旋转到OQ，结合两角和的正弦．余弦公式可以求出点Q的坐标.

【详解】

，其中，

设点Q的坐标为，，由意可知：

，

，

故点Q的坐标为.

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标表示，考查了两角和的正弦公式．余弦公式，考查了数学运算能力.

2．【答案】

【解析】利用辅助角将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的与的关系，从而求得，，可得结果.

【详解】

因为函数，其中，，当时，函数取得最大值，此时，∴，，

∴

故答案为：

【点睛】

本题考查了两角差的正弦公式的逆用，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，属于中档题.

3．【答案】

【解析】定义域上的奇函数，则

【详解】

函数是奇函数，所以,

又，则

所以填

【点睛】

定义域上的奇函数，我们可以直接搭建方程，若定义域中则不能直接代指.

4．【答案】

【解析】先利用同角的三角函数的基本关系式可求，再根据两角和的正弦可求．

【详解】

因为，所以，

而，

代入的值后可得，

故答案为：．

【点睛】

本题考查同角的三角函数的基本关系式和两角和的正弦，属于基础题．

5．【答案】

【解析】用两角和与差的正弦公式．同角三角函数的基本关系式将已知条件左边展开，化简后求得的值.

【详解】

由得，，

，

.所以.

故填：.

【点睛】

本小题主要考查两角和与差的正弦公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查运算求解能力，属于基础题.

6．【答案】

【解析】利用两角和差余弦公式可将原函数化为，利用辅助角公式可化为；根据余弦函数的最小值可求得所求函数的最小值.

【详解】

当时，

本题正确结果：

【点睛】

本题考查三角函数最值的求解问题，关键是能够熟练应用两角和差余弦公式．辅助角公式将所求函数化为余弦型函数的形式，根据余弦函数值域求得结果.

7．【答案】

【解析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.

【详解】

∵，

∴(？2β)3？2sinβcosβ？2λ=0，

即(？2β)3+sin(？2β)？2λ=0.

由可得.

故？2β和是方程x3+sinx？2λ=0的两个实数解.

再由，，，

所以和的范围都是，

由于函数x3+sinx在上单调递增，

故方程x3+sinx？2λ=0在上只有一个解，

所以，，∴，

则的值为.

【点睛】

本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8．【答案】D

【解析】根据为锐角可求得，根据特殊角三角函数值可知，从而得到，进而求得结果.

【详解】

    ，又

，即   

本题正确选项：

【点睛】

本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够熟悉特殊角的三角函数值，根据角的范围确定特殊角的取值.

9．【答案】1

【解析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．

【详解】

解：，且，则

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查两角差的余弦．同角基本关系式的应用，属于基础题．

10．【答案】

【解析】由已知利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求的值，进而根据正弦定理可求的值．

【详解】

因为，所以，

因为，

所以.

【点睛】

本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

11．【答案】

【解析】逆用两角和的正弦公式可化简条件为，根据角所在象限求出，利用公式求解即可.

【详解】

由

可得：，

因为是第三象限角，

所以，

所以，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了两角和正弦公式的逆用，同角三角函数间的关系，正切的半角公式，属于中档题.

12．【答案】

【解析】

考点：两角和的正切公式

点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.

13．【答案】或

【解析】先解出，的值再带入

【详解】

【点睛】

本题考查半角的正切公式。

14．【答案】

【解析】∵2tanα=tan420°=tan60°=，∴tanα=，∴=–3，故答案为：．

15．【答案】

【解析】根据点在直线上可代入求得，利用两角和差正切公式可求得结果.

【详解】

在直线上       

本题正确结果：

【点睛】

本题考查两角和差正切公式的应用，属于基础题.